1、 1 / 第一章第一章 行列式行列式 知识点名称知识点名称 内容内容 二阶行列式二阶行列式与三阶行列与三阶行列式式 1. 二阶行列式：2= | = 2. 三阶行列式：3= |111213212223313233| = 112233+ 122331+ 132132 132231122133 112332。 引入三个二阶行列式：11= |22233233|，21= |12133233|，31= |12132223| 1= (1)+11 ( = 1,2,3)，即11= 11， 21= 21，31= 31，称1为元1在3中的余子式，称1为元1在3中的代数余子式。 n n 阶行列式阶行列式 3. N 阶
2、行列式由 n 行、n 列元素组成，记为： 行列式展开行列式展开定理定理 4. 行列式展开定理：n 阶行列式D = |等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即: D = 11+ 22+ ( = 1,2，n)或D = 11+ 22+ ( = 1,2，n) 5. 上三角和下三角行列式计算，只需对角线数字相乘即可。 行列式的性行列式的性质质 6. 行列式和它的转置行列式相等，即 D=D。 7. 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD。这也就是说，行列式可以按行和按列提出公因数。 8. 互换行列式的任一两行（列） ，行列式的值改变符号。推论：如果
3、行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。 9. 如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。 10. 行列式可以按行（列）拆开。 11. 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为 D。 行列式的计行列式的计算算 12. 利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（1） ，在按行或按列提取公因子 k 时，必须在新的行列式前面乘上 k。 自考押题 vx 344647 公众号/小程序 顺通考试资料 2 / 13. 把原行列式按选定的某一行或
4、某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质 6 在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按包含 0 最多的行或列展开. 克拉默法则克拉默法则 14. 设含有 n 个方程的 n 元线性方程组为： 如果其系数行列式 则方程组必有唯一解： 其中，是 D 中第列换成常数项后得到的行列式 15. 设含有个方程的元齐次线性方程组： 如果其行列式值不等于零，则该方程组只有零解： 第二章第二章 矩阵矩阵 知识点名称知识点名称 内容内容 矩阵的相等矩阵的相等 16. 设A = ()，B = ()，若 m=k，n=l 且= ，i=1,2, ,m;j=1,2, ,n,则称矩阵 A与矩阵 B 相等
5、，记为 A=B。 矩阵的加、矩阵的加、减法减法 17. 只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可以相加。设 A,B,C 都是 mn 矩阵，O 是 mn 零矩阵，则交换律：A+B=B+A;结合律： （A+B）+C=A+（B+C）;A+O=O+A=A;消去率A+C=B+C,则 A=B. 数乘运算数乘运算 18. 对于任意一个矩阵A = ()和任意一个数 k，规定 k 与 A 的乘积为kA = (k) 19. 结合律：（） = () = ，和为任意实数。分配率( + ) = + ,( + ) = + ，和为任意实数。 乘法运算乘法运算 20. 矩阵乘法结合律（AB）C=A(BC). 3 / 21. (A
6、+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC. 22. 两种乘法的结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),k 为任意数。 23. = ,= （其中，分别为 m 阶和 n 阶单位矩阵） 矩阵的转置矩阵的转置 24. 设 A 为一个nm矩阵，把 A 中行与列互换，得到一个mn矩阵，称其为 A 的转置矩阵，记为TA，即： nmmnmmnnaaaaaaaaaA=212222111211，mnmnnnmmTaaaaaaaaaA=212221212111 n 维行（列）向量的转置矩阵为 n 维列（行）向量. 方阵的行列方阵的行列式式 25. 设为一个阶方阵，则由 A 中元素按原来的顺序构成的一个阶行
7、列式，成为方阵 A 的行列式，记为A。 26. 矩阵的行数和列数未必相等，但行列式的行数和列数必须相等。 27. 方阵的行列式的性质：设 A，B 为阶方阵，为数，则： （）（）（）。 方阵多项式方阵多项式 28. 任意给定一个多项式1110( )mmmmf xa xaxa xa=+和任意给定一个 n 阶方阵 A，都可以定义一个 n 阶方阵nmmmmEaAaAaAaAf0111+=）（。称()f A为A的方阵多项式，它也是一个 n 阶方阵.注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵nEa0而不是常数0a，方阵多项式是以多项式形式表示的方阵. 可逆矩阵可逆矩阵 29. 设 A,B 为同阶的可逆矩阵，
8、常数 k0，则： （1）A1为可逆矩阵，且（A1）1= 。 （2） AB为可逆矩阵，且（AB）1= B1A1。设1,2,是 m 个同阶的可逆矩阵，则12也可逆，且(12)1= 11111（3）kA 为可逆矩阵，且(kA)(-1)=1/k A(-1)。 （4）A为可逆矩阵，且(kA)1=1A1。 （5）可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去。即当 P为可逆矩阵时，有 PA=PBA=B；AP=BPA=B。 （6）设 A 是 n 阶可逆矩阵。我们记0=E，并定义k= (A1)，其中 k 是任意正整数。则有k= k+，(k)= k。这里，k 和 l为任意整数（包括负整数、零和正整数） 。 伴随矩阵伴随矩阵
9、30. 设A = ()，为|A|的元的代数余子式（i，j=1,2,，n， ）,则矩阵(112111222212)称为 A 的伴随矩阵，记为A。n 阶方阵 A 为可逆矩阵，则|A|0，反之亦成立。求逆矩阵公式A1=1|A。推论：设 A,B 均为 n 阶矩阵，并且满足 AB=E，则 A，B 都 4 / 可逆，且A1= ，B1= 。 方阵可逆条方阵可逆条件和求逆运件和求逆运算率算率 31. 可逆矩阵 A 的逆矩阵是唯一的。 32. n 阶方阵A可逆0A，且1*1=AAA. 33. 设 A，B 均为 n 阶方阵，且满足=ABE，则 A，B 都可逆，且1=AB，1=BA. 分块矩阵的分块矩阵的转置转置
10、34. 分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置，这一现象不妨称为“内外一起转” 分块矩阵的分块矩阵的乘法和分块乘法和分块矩阵求逆矩阵求逆 35. 设矩阵( )pmijaA=，( )npijbB=，利用分块矩阵计算乘积AB时，应使左边矩阵A的列分块方式与右边矩阵B的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘时，A的各子块分别左乘B的对应的子块. =rtrrttCCCCCCCCCCAB212222111211 其中sjisjijiijBABABAC+=2211（ri, 2 , 1=，tj, 2 , 1=） 初等变换初等变换 36. 互换矩阵
11、中两行（列）的位置； 37. 用一个非零常数 k 乘 A 某一行（列） ； 38. 用一个数乘 A 某一行（列）以后加到另一行（列）上. 注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵作初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵. 初等方阵初等方阵 39. )(kDi左（右）乘A就是用非零数 k 乘 A 的第i行（列）. 40. )(kTij左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行上. 41. )(kTij右乘A就是把A中第i行的k倍加到第j行上. 矩阵的等价矩阵的等价标准形标准形 42. 任意一个nm矩阵A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式
12、的nm矩阵：OOOEr这是一个分块矩阵，其中rE为r阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵.称OOOEr为 A 的等价标准形。注意：等价标准形中的 r 总是不变的，它由 A 完全确定. 43. 对于任意一个nm矩阵 ，一定存在m阶可逆矩阵P和 n 阶可逆矩阵Q，使得=OOOEPAQr 5 / 用矩阵的初用矩阵的初等变换求解等变换求解矩阵方阵矩阵方阵 44. 设A是n阶可逆矩阵，B是mn矩阵，求出矩阵X满足BAX =. 原理 若找到n阶可逆矩阵P使nEPA =，则1= AP，而且有()()()BAEPBPABAPn1,= 上式右边矩阵的最后m列组成的矩阵就是X，即BAX1=. 45. 方法：用初等行
13、变换把分块矩阵()BA,化成()BAE1,，即()()BAEBA1,. 设A是n阶可逆矩阵，B是nm矩阵，求出矩阵X满足BXA =.注意：矩阵方程BXA =的解为1= BAX，而不可以写成BAX1=. 方法:用初等行变换把()TTBA ,化成()()TnBAE1,，可求出()TTBAX1=.具体过程为()()TnTTXEBA, 矩阵的秩矩阵的秩 46. 设( )nmijaA=，则( )nmAr,min 47. ()( )ArArT=，实际上，A与TA中的最高阶非零子式的阶数必相同. 48. n阶方阵A为可逆矩阵( )nArA=0.所以，可逆矩阵常称为满秩矩阵.秩为m的nm矩阵称为行满秩矩阵.秩
14、为n的nm矩阵称为列满秩矩阵. 阶梯形矩阵阶梯形矩阵 49. 满足以下两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵（）若存在全零行（元素全为零的行） ，则全零行都位于矩阵中非零行的下方（）各非零行中从左边数起的第一个非零元素的列指标随着行指标的递增而严格增大。 矩阵与线性矩阵与线性方程组方程组 50. 设元线性方程组为 可 以 表 示成 矩 阵形 式 A ， 其中 A（）为 线 性 方程 组 的系 数 矩阵 ， 称为未知列向量，为常数列矩阵。当时，方程组为齐次线性方程组。线性方程组的增广矩阵是一个（）矩阵。 对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解
15、线性方程组，然后求出方程组的解。 第第三三章章 向量空间向量空间 知识点名称知识点名称 内容内容 6 / n n 维向量及维向量及其线性运算其线性运算 51. 如果 n 维向量()naaa,21=与 n 维向量()nbbb,21=的对应分量都相等，即()nibaii, 2 , 1=，则称向量与相等，记作=. 52. （向量的加法）设n维向量()naaa,21=，()nbbb,21=，则与的和是向量()nnbababa+=+,2211。 53. （数与向量的乘法）设()naaa,21=是一个n维向量，k为一个数，则数k与的乘积称为数乘向量，简称为数乘，记作k，并且()nkakakak,21=。
16、54. 向量的运算律：设,都是n维向量，lk,是数，则： +=+（加法交换律） ； ()()+=+（加法结合律） ； =+； ()=+； =1； ()kkk+=+（数乘分配律） ； ()lklk+=+（数乘分配律） ； ( )()lkkl=（数乘向量结合律）. 线性相关性线性相关性概念概念 55. 任意一个含零向量的向量组必为线性相关组。 56. 单个向量线性相关0=；单个向量线性无关0。 57. 两个非零的n维向量,线性相关存在不全为零的数lk,，使得=+lk，即kl=或lk=。 58. n个n维列向量n,21,线性无关矩阵()nA,21=的行列式不等于 0。 59. 当nm 时，m个n维列
17、向量m,21一定线性相关.这是由于当nm 时，齐次线性方程组0=Ax中的变量个数m大于方程个数n,它必有可以任意取值的自由变量，因此，它必有非零解。 求相关系数求相关系数的方法的方法 60. 求线性相关系数的方法如下： 设12,m 为m个n维列向量，则12,m 线性相关 存在m个不全为零的数02211=+mmkkk. m元齐次线性方程组1122mmxxx+= 0有非零解，即0=Ax有非零解.非零 7 / 解就是一个相关系数. 矩阵12(,)m=A 的秩小于m。 向量组的极向量组的极大线性无关大线性无关组组 61. 向量组 T 与它的任意一个极大无关组等价，因而 T 的任意两个极大无关组等价。
18、62. 设有两个n维向量组rR,21=和sS,21=，且已知向量组R可由向量组S线性表出。 若sr ，则R必为线性相关组. 若R为线性无关组，则必有sr 63. 任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。 64. 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同。 向量组的秩向量组的秩及极大无关及极大无关组的求法组的求法 65. 对矩阵施行初等变换，不改变它的行秩和列秩。 66. 设A为nm阵，则( )AAr=的行秩A=的列秩。 第第四四章章 线性方程组线性方程组 知识点名称知识点名称 内容内容 齐次线性方齐次线性方程组的解程组的解 67. 齐次线性方程组关于解的结论： 0=Ax的解
19、的全体所组成的向量集合0|=AV，V有以下性质： 性质 1 若21,是齐次线性方程组0=Ax的解，则21+也是0=Ax的解. 性质 2 若是齐次线性方程组0=Ax的解，k是任意实数，则k也是0=Ax的解 68. 齐次线性方程组的基础解系与通解。 设s,21为齐次线性方程组0=Ax的一个解向量集，如果它满足以下两个条件： s,21是线性无关的向量组； 0=Ax的任意一个解都可表示为s,21的线性组合，即 sskkk+=2211，skkk,21是常数. 则称s,21是0=Ax的一个基础解系. 定理 1 设A是nm矩阵，( )rAr=，则 0=Ax的基础解系中的解向量个数为rn； 0=Ax的任意rn
20、个线性无关的解向量都是它的基础解系. 推论（1） ：设A是nm矩阵，则 a.0=Ax只有零解( )nAr=；此时，0=Ax没有基础解系； b.0=Ax有非零解( )nAr；此时，0=Ax有无穷多个基础解系（基础解系的解向量有 8 / rn个）. 当nm 时，0=Ax必有非零解，因此必有无穷多个基础解系. （2）当A是n阶方阵时，0=Ax只有零解0 A；0=Ax有非零解0= A. 注意：基础解系必须满足三个条件： 基础解系中每一个向量都是0=Ax的解； 基础解系的向量个数必须为rn； 基础解系的向量组线性无关. 设向量组rn,21是0=Ax的任意一个基础解系，则其通解为: rnrnkkk+=22
21、11，这里rnkkk,21为任意实数. 齐次线性方齐次线性方程组的通解程组的通解的求法的求法 69. 对方程组0=Ax先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系。 非齐次线性非齐次线性方程组有解方程组有解条件条件 70. 设bAx =为n元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是()( )ArbAr=,。 71. 当n元非齐次线性方程组bAx =有解时，即()( )rArbAr=,时，那么，bAx =有唯一解rn=； （2）bAx =有无穷多解rn。 72. n元齐次线性方程组bAx =有非零解的充要条件是r( )rn=A。 设A为n阶方阵，则n元
22、齐次线性方程组bAx =有非零解0=A。 设A为nm矩阵，且nm ，则n元齐次线性方程组必有非零解 非齐次线性非齐次线性方程组的解方程组的解的结构的结构 73. 如果21,是bAx =的解，则21=是0=Ax的解。 74. 如果是bAx =的解，是0=Ax的解，则+是bAx =的解。 非齐次线性非齐次线性方程组的求方程组的求通解方法通解方法 75. 对非齐次线性方程组bAx =，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解。 第第五五章章 特征值与特征向量特征值与特征向量 知识点名称知识点名称 内容内容 特征值与特特征值与特征向量的定征向量的定义义和性质和性质 76. 设
23、n,21是n阶方阵()ija=A的全体特征值，则必有： ( )Atraniiinii=11，=niiA1 这里，( )Atr为矩阵A的n个对角元之和，称为A的迹，A为A的行列式 77. 设已知0为A的特征值， 为相应特征向量，即0=A，那么对任意多项式)(xf必有0( )()ff=A ，特别0mm=A 。 9 / 78. n阶方阵A的属于不同特征值的特征向量必线性无关。 关于特征值关于特征值和特征向量和特征向量的若干结论的若干结论 79. 实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量。 80. 三角矩阵的特征值就是它的全体对角元素。 81. 一个向量不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特
24、征向量。 82. A的同一特征值的不同特征向量21,的线性组合仍是A属于的特征向量。 83. n阶方阵A和它的转置矩阵TA必有相同的特征值。注意：A和TA未必有相同的特征向量,即当=A时未必有=TA。 84. 若是A的特征值，则m是mA的特征值，而且mA与A有同一特征向量。 85. 若是A的特征值且0，则1是1A的特征值而且1A与A有相同的特征向量。 86. 设A为n阶方阵，( )0111axaxaxaxfmmmm+=，为m次多项式， ( )nmmmmEaAaAaAaAf0111+= 关于求特征关于求特征值与特征向值与特征向量的一般求量的一般求法法 87. 求特征值与特征向量的一般步骤： （）
25、求出矩阵的特征多项式 （）求出特征值 （）求出特征向量 矩阵相似的矩阵相似的定义与相似定义与相似矩阵的基本矩阵的基本性质性质 88. 反身性：AA ，这说明任意一个方阵都与自己相似.事实上，有矩阵等式。nnnnAEEAEEA1= 89. 对称性 ：若BA 则AB ，这说明A和B相似与B和A相似是一致的.事实上，有()11111=BPPPBPAAPPB 90. 传递性： 若BA ，CB 则CA ，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。 方阵可相似方阵可相似对角化条件对角化条件 91. 若阶方阵 A 能相似于一个阶对角矩阵，则说方阵 A 是可以相似对角化的，有以下基本定理： 定理：阶方
26、阵 A 可相似对角化A 有个线性无关的特征向量。 推论：当阶方阵 A 有个互不相同的特征值时，A 必能相似对角化。 方阵相似对方阵相似对角化角化 92. 相似对角化步骤： 第一步，解特征方程0= AE，求特征值n,21； 10 / 第二步，对应于每个特征值()nii, 2 , 1=，解齐次线性方程组()0=xAEi的基础解i就是特征向量（ni, 2 , 1=） ； 第三步，若对每一特征值来说，相应齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数等于的重数，则A可对角化； 第四步，以上述解向量为列作成一个n阶矩阵P，即令相似变换矩阵()nP,21=，有12n=-1P AP=. 向量内积向量内积 93. 设
27、为两个维列向量，把实数称为向量与的内积。 94. 无论两个行向量还是两个列向量只要是同维就有内积，他们的内积是数，内积的大小等于各对应分量乘积的和。 95. 向量的内积具有对称性、线性性和正定性。 正交矩阵正交矩阵 96. 如果n阶实方阵A满足T=AAE，则称A为正交矩阵。于是A为正交矩阵T1=AAT=A AE*A为正交矩阵A的列（行）向量组为标准正交向量组。当A为正交矩阵1= A，当A，B 为正交矩阵AB 为正交矩阵 实对称矩阵实对称矩阵的的相似标准相似标准形形 97. 对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵P，使得=nTAPPAPP211 第第六六章章 实二次型实二次型 知识点
28、名称知识点名称 内容内容 实二次型的实二次型的定义定义 98. 元实二次型指的是含有个未知量的实系数二次齐次多项式： ，这里，则可把二次型写成矩阵形式：，其中 11 / A 为阶实对称矩阵，它与二次型一一对应，把 A 称为二次型的矩阵，称是以 A 为矩阵的二次型。 二次型的标二次型的标准形准形 99. 矩阵的合同：设 A,B 为两个阶方阵，若存在一个可逆矩阵 P，使，则称 A 与 B合同。 100. 二次型的标准形：只有平方项而没有交叉项的二次型。 用配方法求用配方法求二次型的标二次型的标准形准形 101. 求二次型的标准形的方法是， 先求出对称矩阵 A 的所有特征值，再求出个两两正交的单位特
29、征向量组。 二次型的规二次型的规范形范形 102. 所有平方项的系数均为，或的标准二次型称为规范二次型。 103. 规范定理：对任意一个元二次型，一定可以经过可逆线性变换化为规范形： ，而且，其中的和由矩阵 A 唯一确定，为规范形中系数为的项数，就是 A 的秩，称为的正惯性指数，为负惯性指数。 实二次型的实二次型的分类分类 104. 元二次型和对应的阶实对称矩阵 A，可分成以下五类： （）如果对于任何非零列向量，都有，则称为正定二次型，称 A 为正定矩阵； （）如果对于任何实列向量，都有，则称为半正定二次型，称 A 为半正定矩阵； （）如果对于任何非零实列向量，都有，则称为负定二次型，称 A
30、为负定矩阵； （）如果对于任何实列向量，都有，则称为半负定二次型，称 A 为半负定矩阵； （）其他的实二次型称为不定二次型，其他的实对称矩阵称为不定矩阵。 正定矩阵正定矩阵 105. 实对角矩阵为正定矩阵当且仅当中的所有对角元全大于零.因此，单位矩阵一定是正定矩 12 / 阵。 106. 设n阶矩阵( )ijaA =是正定矩阵，则A中所有对角元0iia,ni, 2 , 1=。 107. 设A与B是两个合同的实对称矩阵，则A为正定矩阵当且仅当B为正定矩阵 108. 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵。 109. n阶对称矩阵( )ijaA =是正定矩阵A的n个特征值全大于零。具有以下推论： （1）n阶对称矩阵( )ijaA =是正定矩阵A的正惯性指数为n； （2）n阶对称矩阵( )ijaA =是正定矩阵A合同于单位矩阵； （3）任意两个同阶的正定矩阵必是合同矩阵.（4）n阶对称矩阵( )ijaA =是正定矩阵A的n个顺序主子式0kD, nk, 2 , 1=.
