1、立体几何解题的基本策略立体几何解题的基本策略单三步单三步教学目标1.1.初步掌握初步掌握“立体几何立体几何”中中“探索性探索性”“”“发散性发散性”等命题的解法。等命题的解法。2 2。提高立体几何综合运用能力。能正确地分析出几。提高立体几何综合运用能力。能正确地分析出几何体中基本元素及其相互关系。能对图形进行分解、何体中基本元素及其相互关系。能对图形进行分解、组合和变形。组合和变形。3 3。能用立体几何知识解决生活中的问题。能用立体几何知识解决生活中的问题。一、点、线、面间关系的转化 立体几何的知识告诉我们，最核心的内立体几何的知识告诉我们，最核心的内容是线面间的的垂直、平行关系，而它们又容是
2、线面间的的垂直、平行关系，而它们又通过判定定理、性质定理而相互转化。定理通过判定定理、性质定理而相互转化。定理的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与转化。转化。 点面点面点点点点 点线点线 线面线面 面面面面 线线线线单三步单三步33DECECD 在在RtCDE上作高上作高CH，由，由RtACD中中, CAD = 30CAD = 300 0为二面为二面角的平面角角的平面角. AD =10, 得得AC = 5 , CD = 5; 又在又在RtABC 中，中，ACB = 600 ,有有CE=AB =15, 最后在最后在 RtACD102103中，由中，由CE=
3、AB =15, 得得DE = 5 , 从而从而CH = = 例例1 1 ( (如图如图) ) 二面角二面角 AB AB 的平面角为的平面角为 30300 0，在，在上作上作ADABADAB，AD=10AD=10，过，过D D作作 CDCD于于C,C,若若ACB = 60ACB = 600 0，求，求ACAC与与BDBD的的 距离。距离。解解 作作BEAC，CEAB,连连EC,ED，则，则AC面面BDE，直线，直线AC到到面面BDE的距离就是的距离就是AC到到BD的的 距离距离.这时，这时，AC上任一点到面上任一点到面BDE的距离的距离就是所求就是所求. CBEAHD 由由DC; 又又AD AB
4、，根据三垂线定理，根据三垂线定理 ，AC AB.但但ABCE,故故AC CE.从而从而AC 面面CDE 。又。又 BEAC ,得得BE 面面CDE, 进而面进而面BDE面面CDE，单三步单三步三个步骤三个步骤:一、一、线线线线距离转化为距离转化为线面线面距离距离ABCDEH二、再转化为二、再转化为点面点面距离距离三、计算距离三、计算距离单三步单三步解法二解法二 用体积法计算用体积法计算 V VD-BCED-BCE=V=VC-BDEC-BDE. .解法三解法三 外接于一个长方体用外接于一个长方体用补形补形的方法解决的方法解决CEBADH单三步单三步二二、 平平 面面 化化 的的 思思 考考 在空
5、间在空间, ,选取一个恰当的平面选取一个恰当的平面, ,使问题在这个平面上获得突使问题在这个平面上获得突破性的进展破性的进展, ,甚至全部解决甚至全部解决, ,是一种自然而重要的思考是一种自然而重要的思考, ,怎样选怎样选取平面呢取平面呢? ?有以下几个主要有以下几个主要方法方法1、 截面法截面法2、隔离法、隔离法3、展平法、展平法4、投影法、投影法单三步单三步例例2 2、 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，设中，设C1 D1 B 所在的半所在的半平面为平面为 ，C D1 B所在的半平面为所在的半平面为 ，BD1 所在的直线是所在的直线是 与与 的交线。求二面角的交线。求二面角 BD
6、1 的度数的度数ABCDA1B1C1D1MN 因为二面角的平面角的度数是因为二面角的平面角的度数是由相应平面角的来表示的，所以解由相应平面角的来表示的，所以解题的一个方向是找平面角。题的一个方向是找平面角。分析分析解解 在平面在平面 A B C1 D1 上，由上，由点点 A 向向 B D1 引垂线，与引垂线，与BD 1 交交于于M,与与BC1 交于交于N，连，连CM，由，由于正方体关于面于正方体关于面BB1D1D的对称的对称性，必有性，必有CMBD1 ，因此，因此， NMC就是二面角的平面就是二面角的平面设正方体的棱长为，则设正方体的棱长为，则AC2=CD12 =2a2 ，AM2 =MC2 =
7、 a2 ,在在 AMC中，由余弦定中，由余弦定理得理得 AMC=1200 ，从而，从而 NMC=600 ，即二面角，即二面角BD1 的度数为的度数为600。32单三步单三步MCDABNABCDMN 例例3、若空间四边形的两组对边相等，则两条对角线的中点若空间四边形的两组对边相等，则两条对角线的中点连线垂直对角线。连线垂直对角线。三、三、 图图 形形 变变 换换证明证明 如图，空间四边形如图，空间四边形ABCD中，中，M,N是对角是对角AC,BD的中的中点，现将点，现将A与与C交换交换,B与与D交换，得到同一位置的空间四边形，交换，得到同一位置的空间四边形，而这个四边形又可看作一个绕着某一轴而这
8、个四边形又可看作一个绕着某一轴（轴对称）（轴对称）旋转旋转1800 得到另一个，由得到另一个，由A与与C关关M于对称，于对称，B与与D关于关于N 对称知，对称知，对称对称轴轴必经过必经过MN，从，从MNAC，MNBD。 单三步单三步ABCDMMCDABN证明证明2、 将将ACD 绕绕AC展平到面展平到面ACD上，得上，得 ABCD，则，则 BD与与AC相交与相交与M，BM=MD。再将图形复原，由。再将图形复原，由BM=MD，BN=ND知知MN是等腰三角形是等腰三角形MBD 底边上的高，有底边上的高，有 MNBD。同理同理MNAC。单三步单三步DCBANM 图形变换包括图形变换包括1、空间的对称
9、 2、空间的空间的旋转 3、空间的折叠4、空间的展平 直观上补充成为长方体，则MN是上下底面中心的连线，它与上下底面都垂直，当然是同时垂直于AC,BD.单三步单三步C1C1CAABCDDB1D1互动、互动、 如图，已知给一个长方体，其共顶点的如图，已知给一个长方体，其共顶点的3 3条棱互不条棱互不相等，现在要由一顶点沿表面到对角顶点，求最短的线路。相等，现在要由一顶点沿表面到对角顶点，求最短的线路。ABDCA1B1C1D1分析分析： 将长方体各面展于同一将长方体各面展于同一平面上（可省去底面平面上（可省去底面ABCD）由两点间距离最短知，由两点间距离最短知， 有三条相对短的走法，设有三条相对短
10、的走法，设三条共点棱长为三条共点棱长为AB=a, AD=b， AA1 =c，且由勾，且由勾股定理可算股定理可算 得得AFC1最短。最短。FF单三步单三步A1 四、四、 体体 积积 法法 用用两种方法两种方法计算计算同一体积同一体积，从而得出未知数的等量关，从而得出未知数的等量关系，这是平面几何的面积法的直接推广，用这种方法求点系，这是平面几何的面积法的直接推广，用这种方法求点到平面的距离时，可免去找距离线段或论证垂直关系的推到平面的距离时，可免去找距离线段或论证垂直关系的推理过程，在种方法多用于四面体和长方体，因为它们对底理过程，在种方法多用于四面体和长方体，因为它们对底面的选择有很大的自由度
11、，可以方便地面的选择有很大的自由度，可以方便地“换底换底”练习练习: : 如图，已知如图，已知ABCDABCD是边是边长为长为4 4的正方形，的正方形，E E，F F 分别是分别是 AB ,AD AB ,AD 的中点，的中点，CG CG 垂直于垂直于 ABCD ABCD 所在的平面，且所在的平面，且 CG=2CG=2，求求 B B 点到平面点到平面 GEF GEF 的距离。的距离。EFCABDG单三步单三步EFABCDGH解解连连BFBF，BG ,BG ,有有ABCDFEGSS81=2记记 H 为为AC与与EF的的交点，由交点，由CG为平为平面面AC的垂线，的垂线，ACEF知，知，CHEF,且
12、由且由23HC2222HCGCGH22EF ， 知，知， 11221GHEFSEFG根据等积关系根据等积关系 ，有，有FEGBFEBGVVh11231223111112h得到得到 B 到平面到平面 GEF 的距离是的距离是 .单三步单三步 五、五、 基基 本本 图图 形形 法法 立体几何中的立体几何中的基本图形基本图形是是正方体正方体，熟练掌握正方体的基，熟练掌握正方体的基本性质和各类线面关系，对于解题是非常有益的，一旦遇到本性质和各类线面关系，对于解题是非常有益的，一旦遇到新问题，我们或者补充为一个正方体，或者分割成几个正方新问题，我们或者补充为一个正方体，或者分割成几个正方体，体，“能割善
13、补能割善补”是学习立体几何的诀窍。是学习立体几何的诀窍。 练习练习: 有三个边长为有三个边长为a a的正方形，分别将每一个正方形的的正方形，分别将每一个正方形的一个角按两邻边中点连线剪下，按图分别接在边长为一个角按两邻边中点连线剪下，按图分别接在边长为 a a的的 正六边形各边上，然后沿正六边形各边将其余部分折起，如正六边形各边上，然后沿正六边形各边将其余部分折起，如图，求所成立体图形的体积。图，求所成立体图形的体积。22单三步单三步PPPHHHKKKGGGABCDEFGKFEDCBAPH解法一解法一 （分割）将（分割）将 立体图形分割为一个正六棱立体图形分割为一个正六棱锥锥PABCDEF与三
14、个三棱锥与三个三棱锥PGAF, PHBC,PKDE之之和。和。单三步单三步HPKGABCDEF解法二解法二 （补充）将立体图形补充为一（补充）将立体图形补充为一个正方体如图，个正方体如图，得得V = a321则所求的则所求的立体图形体积立体图形体积是正方体体积的一半是正方体体积的一半单三步单三步 六、六、 投投 影影 法法 投影投影是实现平面化思考的一条途径是实现平面化思考的一条途径,同时也是处理更广同时也是处理更广泛空间问题的一个通法泛空间问题的一个通法. 例例7 设设PP1 , QQ1是空间中两条异面直线是空间中两条异面直线,A,B,C是直线是直线QQ1上上3点点,且点且点B在在A,C之间
15、之间,A1,B1， C1是由是由A,B,C向直线，向直线，PP1所引垂线的垂足所引垂线的垂足,证明证明 BB1 max AA 1, CC1 PQP1Q1OABCA1B1C1A2B2C2单三步单三步证明证明 作平面作平面 垂直于垂直于PP1 ，则直线，则直线PP1在平面在平面 上上 的投的投影为一点，记为影为一点，记为O，由，由 AA1 PP1，BB1 PP1, CCPP1 知知, AA1 , BB1 , CC1 从而从而 AA1在在 上的投影上的投影OA2=AA1, BB1在在上的投影上的投影OB2=BB1, CC1在在上的投影上的投影OC2=CC1且由且由B在在A,C 之间知之间知, B2
16、在在A2 ,C2 之间之间在在 OA2C2中中, 有有 maxOB 2A 2 , OB 2 C2 900 从而从而 OB2 maxOA2 OC2 即即 BB1 maxAA1 CC1 .单三步单三步课堂小结课堂小结 点、线、面关系的相互转化; 选择恰当的平面，或对平面展开、投影、拓展等处理； 对整体图形的展开、旋转、放置等变换； 等体积法解决点到面的距离； 基本常规图形的能割善补； 作垂线用投影。课后作业课后作业 完成完成“优化探究优化探究”（高考专题复习）：（高考专题复习）：专题一专题一 函数与导数；函数与导数； 完成完成“2010年高考数学最新调研模拟卷年高考数学最新调研模拟卷二；周三下午上交。二；周三下午上交。单三步单三步
