1、立体几何之空间角 黄金解题技巧立体几何之空间角 异面直线所成的角一 线面角二 二面角三 角度中的探索性问题四一、异面直线所成的角异面直线所成的角平移法利用模型求异面直线所成的角向量法 异面直线所成的角平移法例1：S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC，且 ，M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角的余弦值2CSSCS 答案：510 异面直线所成的角平移法例2：长方体 中，若 ， ， 求异面直线 与 所成角的余弦值 1111DCBAABCD3BC 4AA1DB11BC5AB 答案：5027 异面直线所成的角平移法方法一：中位线平移法 异面直线所成的角平移法方法二：直
2、接平移法 异面直线所成的角平移法方法三：补形平移法 异面直线所成的角平移法平移法方法总结：1. 中位线平移法 2. 直接平移法 3. 补形平移法利用模型求异面直线所成的角模型1(三余弦定理）：已知平面的一条斜线AP与平面所成的角为 ，平面内的一条直线b与斜线a所成的角为，与它的射影a所成的角为 。则 。21coscoscos12利用模型求异面直线所成的角例3：如图，MA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角。ABCDM解：由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB，直线MB与平面ABCD所成的角为45，直线AC与直线MB的射影AB所成的角为4
3、5，所以直线AC与直MB所成的角为，满足cos=cos45 cos45= ，所以直线AC与MB所成的角为6021利用模型求异面直线所成的角变式：1. 如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，BAD=90，AD/BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角，AEPD于D。求异面直线AE与CD所成的角的余弦值。PEDFABC 答案：42利用模型求异面直线所成的角模型2： 四面体ABCD两相对棱AC、BD间的夹角为 ，则有BDAC2DCABBCADcos2222利用模型求异面直线所成的角例4：长方体 中， ， ， 求异面直线 与 所成角的余弦值.答案：
4、551111DCBAABCD2cmAAAB111CA1BD1cmAD利用模型求异面直线所成的角变式：如图，四面体ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且ABBC6，BD8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值.答案：57ABCDE668异面直线所成的角向量法向量法： 设直线l，m的方向向量分别为 ， ，若两直线l，m所成的角为 ( ) ，则ab02cosa ba b 二、线面角 线面角射影法等积求高法空间向量法 线面角射影法射影法：在线上取一点作面的垂线，斜足与垂足的连线与斜线所成的角即线面角. 例5：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1 的中点. 求D1E与平面ADE所成的
5、角正弦值. 答案： 1554求斜线与平面所成的角可以分三步求斜线与平面所成的角可以分三步1.作出斜线在平面内的射影作出斜线在平面内的射影2.证明角是直线与平面所成的角证明角是直线与平面所成的角3.解直角三角形或解三角形，求出结果解直角三角形或解三角形，求出结果 线面角射影法 线面角等积求高法例例5： 线面角空间向量法空间向量法：设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线与平面所成的角为 ( )，则an02sina na n 例5： 线面角空间向量法xyz三、二面角 二面角二面角方法总结：1、几何法几何法 2、三垂线法、三垂线法 3、射影面积法、射影面积法 4、法向量夹角法、法向量夹角法
6、 二面角例6：如图：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，F是AA1的中点，AB=BC=1，AA1= ，求平面D1FB与底面ABCD所成的角.D1C1B1FCAA1BD2 二面角几何法方法一：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线，连接BD.A1B1BDAFC1D1CP 二面角三垂线法 三垂线定理： 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直. 二面角三垂线法方法二：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，过A点作AE垂直于PB，交PB于E，连接EF.A1D1C1B1FADBECP 二
7、面角射影面积法 射影面积法： 通常使用于无棱的二面角的大小的计算。 即二面角的余弦值 原影SScos 这种“射影面积法” 更适用于在选择和填空题！ 二面角射影面积法方法三：由题意可知，这是一个直四棱柱，D1FB 在底面上的射影三角形就是ABD，故由射影面积关系可得D1C1B1FCBDAFBDABD1SScos 二面角空间向量法方法四：设二面角的两个半平面的法向量分别为 与 ，即二面角和 与 的夹角相等或互补.A1D1C1B1ABCDxzFymmnn注意：1、合理建系. 本着“左右对称 就地取材”的建系原则.2、视图取角. 二面角变式1：如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC
8、，BC的中点，若CF平面ABC，ABBC，CFDE, BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小答案：3四、角度中的探索性问题四、角度中的探索性问题 角度中的探索性问题用空间向量法解决角度中的探索问题 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件； 然后运用空间向量将立体几何问题转化为空间向量问题并进行计算、求解； 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在. 角度中的探索性问题例7：如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB=B
9、P=2，AD=AE=1， 且AEBP线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 ？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由,AEAB25答案：存在，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 .25 角度中的探索性问题变式1：如图，PC平面ABC，DAPC，ACB90，E为PB的中点，ACADBC1，PC2. 设Q为PB上一点， 试确定 的值，使得二面角QCDB的大小为 .答案：4522总结异面直线所成的角： 中位线平移法 直接平移法 补形平移法线面角: 射影法 等积求高法 空间向量法总结二面角: 几何法 三垂线法 射影面积法 法向量夹角法角度中的探索性问题: 用空间向量法解决角度中的探索问题
