1、1 1 矩阵的定义与运算矩阵的定义与运算一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 1. 线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 , 2 , 1,njiaij n,ibi21 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究. .2. 2. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,DA,B,C,D四城四城市之间开辟了若干航线市之间开辟了若干航线 , ,如图如图所示表示了四城市间的航班图所示表示了四城
2、市间的航班图, ,如果从如果从A A到到B B有航班有航班, ,则用带箭则用带箭头的线连接头的线连接 A A 与与B.B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示: :发站发站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班. .把表中的把表中的 改成改成1,1,空白地方填上空白地方填上0,0,就就得到一个数表得到一个数表: :二、矩阵的定义二、矩阵的定义 由由 个数个数nm njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 矩阵矩阵. .简称简称 矩阵矩阵. .mn行行 列列nm 记作记作排
3、成的排成的 m行行n列的数表列的数表 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA mn 这这个数叫做矩阵个数叫做矩阵A的元素，简称为的元素，简称为. .ija表示第表示第i行第行第j列的元素，称为（列的元素，称为（i，j）元）元. .元素是实数的矩阵称为实矩阵元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个
4、 矩阵矩阵.11 三、几种特殊矩阵三、几种特殊矩阵例如例如 2222222613i是一个是一个3 3 阶方阵阶方阵. .(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA ( (或或).).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶nnA.nA. .也可记作也可记作称为称为,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为( (或或).). n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵, ,称为称为OO不全为不全为0 0(或或）.（4 4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，）元素全为零的矩阵称为零矩阵，nm nmo o注意注意不同阶数的零矩阵是不相
5、等的不同阶数的零矩阵是不相等的. .记作记作 .,21ndiagA 零矩阵记作零矩阵记作或或 .00000000000000000000 例如例如(5)(5)方阵方阵 100010001nEE称为称为（或（或）. .OO全为全为1四、同型矩阵与矩阵相等的概念四、同型矩阵与矩阵相等的概念 1. 1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为称为 2. 2.两个矩阵两个矩阵 为同型矩阵为同型矩阵, ,并且并且 ijijbBaA与与 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等, ,记作记作BA与与.BA 例如例如 9348314736
6、521与与为同型矩阵为同型矩阵. .对应元素相等对应元素相等,即即五、线性变换五、线性变换关系式关系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay12,nx xxL L的线性变换的线性变换. .为常数为常数其中其中ija12,myyyL L表示一个由变量表示一个由变量到变量到变量 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换线性变换 nnxyxyxy,2211称之为称之为. . 100010001 . .线性变换线性变换11cossin ,
7、sincos .xxyyxy 对应对应 cossinsincosXYO yxP, 111, yxP 这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心 旋转旋转角的角的旋转变换旋转变换.六、矩阵的线性运算六、矩阵的线性运算、定义、定义 ijijABab（一）、矩阵的加法（一）、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵nm ,bB,aAijij A与与B 的和记作的和记作A+B，规定为，规定为只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. .例例1 1234569818630915312.98644741113 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运
8、算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija （二）、数与矩阵相乘（二）、数与矩阵相乘1 1、定义、定义.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 规规定定为为或或的的乘乘积积记记作作与与矩矩阵阵数数, AAA131152 ,30,1001ABB AB 3A若若求求：（：（1 1）；（；（2 2）；（；（3 3）例例2 22、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律 ;1AA ;2AAA .3BABA 矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的. .（设
9、（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、七、矩阵与矩阵相乘七、矩阵与矩阵相乘、定义、定义1 122ijijijissjca ba ba b , 2 , 1;, 2 , 1njmi 称称C为为A与与B的乘积的乘积. .CAB (),ijm sAa ()ijs nBb 设设 , , 规定规定 , , 其中其中12121(,)jsjiiisikkjksjbbaaaa bb 例例341010311132102201134AB, ,.AB，求，求解：解：41010311132102201134AB 只有当只有当时，两个矩阵才能相乘时，两个矩阵才能相乘. . 106861985123321例
10、如例如 123321 132231 .10 不存在不存在. .例例4 401110100 11010001 ABBA ：一般来说，：一般来说， 即矩阵乘法无交换律即矩阵乘法无交换律. .0A 0B 或或,A B0AB 满足满足，未必有，未必有：若矩阵：若矩阵.例例5111221223132100010001aaaaaa 111221223132aaaaaa 1112212231321001aaaaaa 111221223132aaaaaa mm nm nnm nE AAEA：例例6 6 A A 120000,00m 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa A 例例7 7 已知
11、线性方程组已知线性方程组111122133144121122223324423113223333443a xa xa xa xba xa xa xa xba xa xa xa xb 111213142122232431323334,aaaaAaaaaaaaa 1234,xxxxx 123bbbb 1111213142212223243313233344xaaaaxAxaaaaxaaaax 1111221331441211222233244311322333344a xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa x .Axb 于是于是 那么上述线性方程组可记成那么上述线性方程
12、组可记成、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; ;4AEAAE 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m矩阵乘法的应用矩阵乘法的应用-生产成本生产成本我们用矩阵的方法考虑这个问题我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两个表格中这两个表格中的每一个均可表示为一个矩阵的每一个均可表示为一个矩阵. 15. 020. 010. 025. 040. 030. 015. 030. 010.
13、 0M400045004500400020002600240022005800620060006000P MPMPMPMPMP 15. 020. 010. 025. 040. 030. 015. 030. 010. 0M400045004500400020002600240022005800620060006000P 187021602070196034503940381035801670190018301740MPMPMPMP187021602070196034503940381035801670190018301740MP 八、转置矩阵八、转置矩阵TA将矩阵将矩阵A的各行变成同序数的列得到
14、的矩阵称为的各行变成同序数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵的转置矩阵, , 记为记为1101,23A 102113TA ,618 B.618 TB性质性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB .4TTTABAB m nA n sB TC=s mm nn sAB TT=s mn sm nDBA =ijm nn scABj i 的的（ , , ）元元= =m nn sAjBi 的的 行行乘乘以以的的 列列 TT=ijn sm ndBiAj 的的 行行乘乘以以的的 列列 =n sm nBiAj的的 列列乘乘以以的的 行行=ijijcd .TTTABB A例例9 1110
15、01,1223AB () .TAB求求 TTTABB A 1110202113 015226 1110011223AB 021256 TAB 015226 解法解法1 1解法解法2 2对称阵对称阵()ijn nAa .ijjiaa 矩阵矩阵 A 称为对称矩阵，如果称为对称矩阵，如果 AT = A . .是对称矩阵的充要条件是是对称矩阵的充要条件是容易知道容易知道,.A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. .说明说明九、方阵的行列式九、方阵的行列式Adet A1.TAA2.nAA 3.ABA B由由n阶矩阵阶
16、矩阵A的元素（按原来的位置）构成的元素（按原来的位置）构成或或的行列式，称为方阵的行列式，称为方阵 A 的行列式的行列式, ,记作记作 8632A例例8632 A则则. 2 2A 12A例例10 310 3阶方阵阶方阵，求，求.12A 312A311224 性质性质十、方阵的伴随矩阵十、方阵的伴随矩阵 设设 A 是是 n 阶矩阵，由行列式阶矩阵，由行列式 | |A| | 的各元素的的各元素的112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 称为矩阵称为矩阵A的的. .代数余子式代数余子式 Aij 所构成的矩阵所构成的矩阵.AAA AA E性质性质证明证明 ,ijaA 设设 ,ijbAA
17、 记记则则jninjijiijAaAaAab 2211,ijA 故故 ijAAA ijA .EA 例例11abAcd123024006A 求求伴随矩阵伴随矩阵. .伴随矩阵伴随矩阵. .例例12 求求1121112112221222AAMMAAAMM( 1)ijijijAM 112131112131122232122232132333132333AAAMMMAAAAMMMAAAMMM 12122064002 12AAEdbca思考题思考题1 1、矩阵与行列式的有何区别、矩阵与行列式的有何区别? ? 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同. .问等式问等式阶方阵阶方阵为为与与设设,nBA BABABA 22成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么? ?2、答答 ,22BABBAABABA 故故 成立的充要条件为成立的充要条件为 BABABA 22.BAAB 1 1 矩阵的定义与运算矩阵的定义与运算
