1、第二章第二章 导数微分及其应用导数微分及其应用2022年年4月月23日星期六日星期六2 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。的发展。 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的天下篇天下篇中也有中也
2、有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元的极限思想，公元 263 年，刘徽为年，刘徽为九间算术九间算术作注时提出了作注时提出了 “ 割圆术割圆术 ” ，用正多，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。 积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在数学家阿基米德在抛物线求积法抛物线求积法中用究竭法求出抛物线中用究竭法求出抛物线弓形的面积，没有用极限，是弓形的面积，没有用极限，是 “ 有限有限 ” 开工的穷竭法。开工的穷竭法。微积分的创
3、始人是微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨牛顿和莱布尼茨。 解析几何为微积分的创立奠定了基础解析几何为微积分的创立奠定了基础 。2022年年4月月23日星期六日星期六3第一节第一节 函函 数数1.区间区间一、预备知识一、预备知识设a，b是两个实数，且ab开区间开区间 ： 满足不等式 axb一切实数的全 体。, a b闭区间闭区间 ： 满足不等式 axb的一切实数的 全体。 , a b半开区间半开区间 ：满足不等式 axb的一切实数的 全体。 ：a x b, a b, a b2022年年4月月23日星期六日星期六4表示全体实数，或写成 x ；, 表示大于a的全体实数，或写成a x +；, a 表示小于
4、a的全体实数，或写成 x a；,a表示 a x +； ,)a 表示N的一切的一切an，有不等式，有不等式 | | an a| 称数列称数列an以有限数以有限数a为极限，常数为极限，常数a叫作数列叫作数列 an 当当n时的极限。或称数列时的极限。或称数列 an 收敛到收敛到a，记作，记作2022年年4月月23日星期六日星期六17(2)、单调数列、单调数列单调增加数列和单调减少数列统称单调数列。 (3)、有界数列、有界数列对于数列an，如果存在正数M，使得数列中的每一项an(n=1,2,3,)都满足不等式-M an0，总存在一个，总存在一个0，0|x-x0|时，有时，有 | f(x)-A|0，作直
5、线 y=A+，y=A-,这两条直线形成一横条区域. 对于这个,存在点x0的一个邻域(x0-，x0+)，当x(x0-，x0+)但xx0时，有不等式：点（x, f(x)）落在上面所做的一横条区域内。( )Af xA( )f xA2022年年4月月23日星期六日星期六262022年年4月月23日星期六日星期六272252 2( ).24 2xxxf xxx2022年年4月月23日星期六日星期六28、当当x时函数时函数f(x)的极限的极限2022年年4月月23日星期六日星期六29解解2022年年4月月23日星期六日星期六30 、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则当当x 时，性质也成立。时，性质也成
6、立。2022年年4月月23日星期六日星期六31数列极限四则运算也有类似的定理:2022年年4月月23日星期六日星期六322022年年4月月23日星期六日星期六33所以 解解 11lim 22212limlim113133lim 3nnnnnnnnnn注意到11lim 2lim2lim2nnnnn11lim 3lim3lim3nnnnn2022年年4月月23日星期六日星期六34分母的极限不为零。解解222323222lim11lim23lim23xxxxxxxxx22232222limlim1=limlim2lim3xxxxxxxx22232222limlim1lim2 limlim3xxxxx
7、xxx4 15=82 433 2022年年4月月23日星期六日星期六35 4、两个重要、两个重要极限极限011sin( ). lim,xxx121( ). lim.xxex2022年年4月月23日星期六日星期六36解解000sin2sin2sin2limlim22lim2xxxxxxxxx2 ,00,txx令当时，t00sin2sinlim2lim2xtxtxt因此2022年年4月月23日星期六日星期六37解解- ,txx令当时，t11lim 1lim 1xxxxxx1lim 1ttt1lim11ttt111lim 1ttet2022年年4月月23日星期六日星期六38解解先用x去除分母及分子，
8、然后取极限.00sin1sinlimlimsinsin1xxxxxxxxxx00sin1 limsin1 limxxxxxx1 101 12022年年4月月23日星期六日星期六39解解112212limlim 111xxxxxxx2122lim 11xxx2111limlim 11xtxtxxt2e2022年年4月月23日星期六日星期六405 5、无穷小量和无穷大量、无穷小量和无穷大量 、无穷小量、无穷小量例如例如一个函数一个函数 当当 时以时以0 0为极限，称该函数为极限，称该函数为当为当 时的无穷小量时的无穷小量。)(xf0 xx )(xf0 xx 2022年年4月月23日星期六日星期六4
9、1.定理定理无穷小量阶无穷小量阶 ( ) ( );xx2022年年4月月23日星期六日星期六422022年年4月月23日星期六日星期六43下面是几个常用的等价无穷小下面是几个常用的等价无穷小： 0 x 2022年年4月月23日星期六日星期六44、无穷大量、无穷大量2022年年4月月23日星期六日星期六452022年年4月月23日星期六日星期六46第三节第三节 连连 续续1 1、连续的定义、连续的定义2022年年4月月23日星期六日星期六472022年年4月月23日星期六日星期六48区间连续的定义区间连续的定义2022年年4月月23日星期六日星期六49连续函数的图象是一条连续的曲线。连续函数的图
10、象是一条连续的曲线。 2022年年4月月23日星期六日星期六502022年年4月月23日星期六日星期六512、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理 基本初等函数在定义域内都连续。定理定理 初等函数在定义域上的区间上连续。2022年年4月月23日星期六日星期六52解解2022年年4月月23日星期六日星期六533 3、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质有界性定理有界性定理 闭区间上连续的函数在此区间闭区间上连续的函数在此区间上一定有界。上一定有界。2022年年4月月23日星期六日星期六54最大值和最小值定理最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数在此在闭区间上连续的函数在此区间上
11、一定有最大值和最小值区间上一定有最大值和最小值即：即：ab2 1 xyo)(xfy 1212( ) , , , , , ,( )( ) ()( )f xa ba bxa bff xff x 若在连续 则使得：有： 且 。2022年年4月月23日星期六日星期六552022年年4月月23日星期六日星期六562022年年4月月23日星期六日星期六57证明证明 2022年年4月月23日星期六日星期六58如果记f(x)在闭区间a, b上的最的大值为M，最小值为m, 且mcM，那么存在一点a, b使得 f()=c。2022年年4月月23日星期六日星期六592022年年4月月23日星期六日星期六60第四节第
12、四节 函数的导数函数的导数一、导数的概念导数的概念 两个例子 (1)、切线问题设A点是曲线c上的一点。如何确定曲线c在A点的切线AT呢？ ABT2022年年4月月23日星期六日星期六61ABT00000f xxf xyyykxxxxx0limxykx 2022年年4月月23日星期六日星期六62(2)、瞬时速度、瞬时速度 设物体A沿着一条直线运动，我们用s=s(t)表示t时刻物体A离开初始位置的距离。求A在t0时刻的瞬时速度v(t0) ？ 0000000( )lim limttts ts tv ttts tts tt 2022年年4月月23日星期六日星期六631、定义、定义存在，则称这个极限为函
13、数函数 f(x)在点在点x0处的导数处的导数，0000limlimxxf xxf xyxx 并称函数函数f(x)在在x0处可导或有导数处可导或有导数。(点导数点导数)2022年年4月月23日星期六日星期六64如果这个极限不存在，就称函数f(x)在x0处不可导 。解解：221122xxxyxxxx 100|limlim 22xxxyyxx 2022年年4月月23日星期六日星期六652022年年4月月23日星期六日星期六662、定义、定义(区间导数区间导数)2022年年4月月23日星期六日星期六67 00( )lim limxxfxxfxfxxyx 导函数的定义式为导函数的定义式为2022年年4月
14、月23日星期六日星期六68解解：2022年年4月月23日星期六日星期六693、 基本求导公式和求导法则基本求导公式和求导法则基本求导公式2022年年4月月23日星期六日星期六70导数的四则运算 2022年年4月月23日星期六日星期六71解解：44sinsinyxxxx 34cosxx解解：333xxxyexxx ee 233xxx ex e23xx x e2022年年4月月23日星期六日星期六72解解：sintancosxyxx 2cos cossinsin= cosxxxxx2cossisincosn=cosxxxxx221=seccosxx2022年年4月月23日星期六日星期六73复合函数
15、的求导法则链锁法则 2022年年4月月23日星期六日星期六74解解：将函数分解的两个简单函数 ， 99( )100,( )6f uug xx根据链锁法则，有( )( )yf u g x992991006600 (34)uxxx2022年年4月月23日星期六日星期六75解解：将函数分解的两个简单函数 ， 根据链锁法则，有( )( ) ( )yf u g v h x1122xuv 11( ),( ),( )22f ug vh xxuv2222112112 111xxxxxx2022年年4月月23日星期六日星期六764、高阶导数高阶导数 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数二阶及二阶以上的导数称为高阶导
16、数 2022年年4月月23日星期六日星期六77解解： 先求函数的一阶导数 23yx 再求一阶导数的导数 236yxxy 二阶是一阶导数的导数二阶是一阶导数的导数 2022年年4月月23日星期六日星期六782022年年4月月23日星期六日星期六79第五节第五节 函数的微分函数的微分一、微分的概念微分的概念 1.定义定义 设y=f(x)在点x处可导，则 称为函数 y=f(x)在点x处的微分，记作dy，即：dy= 。 ( )fxx( )fxx( )dyfx dx微分的表达式微分的表达式2.定理：定理：可导函数一定可微，可微函数一定可导可导函数一定可微，可微函数一定可导。2022年年4月月23日星期六
17、日星期六80二、微分的几何意义二、微分的几何意义( )yf xxdxACBTdyyAT是曲线y=f(x)上点A处的切线。( )tandyfxdx其中 是切线AT和x轴正方向的夹角。当自变量从当自变量从x变到变到x+dx时，曲线时，曲线y=f(x)在点在点A处的切处的切线的改变量是线的改变量是TC=dy。这就是微分的几何意义。这就是微分的几何意义。2022年年4月月23日星期六日星期六81解解：323yxx 23dyy dxx dx因为所以2022年年4月月23日星期六日星期六82三、三、 基本微分公式基本微分公式2022年年4月月23日星期六日星期六83四、四、 微分的运算微分的运算2022年
18、年4月月23日星期六日星期六84解解： 用函数乘积的微分法则， 33xxxdxdyexxed233xxex dxx e dx23xx x e dx2022年年4月月23日星期六日星期六852022年年4月月23日星期六日星期六86第六节第六节 导数的应用导数的应用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理( )( )( )().f bf afbaxyOABlP2022年年4月月23日星期六日星期六872022年年4月月23日星期六日星期六88二、洛必塔法则洛必塔法则 2022年年4月月23日星期六日星期六89解解： 因为所以200lim 1 cos0,lim0 xxxx20021 cosliml
19、1 cosimxxxxxx00sin1sin1limlim222xxxxxx2022年年4月月23日星期六日星期六902022年年4月月23日星期六日星期六91解解： 因为所以limln, lim2xxxxx lnliml22lnimxxxxxxxx11lim11xx2022年年4月月23日星期六日星期六92三、函数的单调性2022年年4月月23日星期六日星期六93解解：2( )618126(1)(2)fxxxxx2022年年4月月23日星期六日星期六94四、函数的极值四、函数的极值函数的极大值和极小值都称为函数的极值函数的极值，函数的极大值点和极小值点都称为函数的极值点函数的极值点。 2022年年4月月23日星期六日星期六95称使 为零的点为函数的驻点函数的驻点 。( )fx2022年年4月月23日星期六日星期六962022年年4月月23日星期六日星期六97解解：下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值： 2022年年4月月23日星期六日星期六98下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值： 2022年年4月月23日星期六日星期六99解解：22222Srrhrrh2022年年4月月23日星期六日星期六1002022年年4月月23日星期六日星期六101结结 束束
