1、傅里叶变换与小波变换傅里叶变换的基础函数是正弦函数。傅里叶变换的基础函数是正弦函数。小小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和有限的持续时间。有限的持续时间。傅里叶变换与小波变换n频域分析具有很好的局部性，但空间域上没有局部化功能。频域分析具有很好的局部性，但空间域上没有局部化功能。傅里叶变换反映的是图像的傅里叶变换反映的是图像的整体特征整体特征。n一个乐谱，不光阐明了要演奏的音符（或频率），而且阐一个乐谱，不光阐明了要演奏的音符（或频率），而且阐明了何时要演奏。而傅里叶变换，只提供了音符或频率信明了何时要演奏。而傅里叶变换，只提供了音
2、符或频率信息，局部信息在变换过程中丢失了。息，局部信息在变换过程中丢失了。n与与Fourier变换相比，小波变换是空间变换相比，小波变换是空间(时间时间)和频率的局部和频率的局部变换，它通过变换，它通过伸缩平移运算伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化，对信号逐步进行多尺度细化，最终达到最终达到高频处时间细分，低频处频率细分高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。5.1 背景背景为什么需要多分辨率分析？为什么需要多分辨率分析？n如果物体的尺寸很小或对比度不高如果物体的尺寸很小或对比度不高
3、 高分辨率高分辨率n如果物体尺寸很大获对比度很强如果物体尺寸很大获对比度很强 低分辨率低分辨率n通常物体尺寸有大有小，或对比有强有弱同时存在通常物体尺寸有大有小，或对比有强有弱同时存在5.1.1 图像金字塔图像金字塔 n 一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图像集合排列的分辨率逐步降低的图像集合 一个金字塔图像结构 金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。5.1.1 图像金字塔图像金字塔n高斯和拉普拉斯金字塔编码高斯和拉普拉斯金字塔编码 首先对图像用首先对图像用5 5*
4、*5 5的高斯模板作低通滤波，滤的高斯模板作低通滤波，滤波后的结果从原图像中减去，图像中的高频细波后的结果从原图像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里；然后，对低通滤波后节则保留在差值图像里；然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不会因此而丢失的图像进行间隔采样，细节并不会因此而丢失 n高斯和拉普拉斯金字塔编码高斯和拉普拉斯金字塔编码 拉普拉斯金字塔编码策略 5.1.1 图像金字塔图像金字塔5.1.1 图像金字塔 高斯和拉普拉斯金字塔5125.1.2 子带编码n在子带编码中，一幅图像被分解成一系列限带分量的集合，称为子带，它们可以重组在一起无失真地重建原始图像。n子带通过对输入进行
5、带通滤波而得到。 双通道子带编码和重建 5.1.2 子带编码完美重建滤波器族QMF 正交镜像滤波器CQF 共轭正交滤波器5.1.2 子带编码子带图像编码的二维4频段滤波器组 5.1.2 子带编码5.1.2 子带编码5.1.3 哈尔变换n 哈尔变换哈尔变换 哈尔基函数是最古老也是最简单的正交小波。哈哈尔基函数是最古老也是最简单的正交小波。哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达：述矩阵形式表达： T=HFH其中，F是一个NN图像矩阵，H是NN变换矩阵，T是NN变换的结果 5.1.3 哈尔变换n变换矩阵H包含基函数 ，它定义在连续闭区间)
6、(zhknNNkz21,.,2 , 1 , 0,1 , 0 其它pppppppqkqzqqzqNzhzhzNzhzh2/2/ )5 . 0(2/ )5 . 0(2/ ) 1(0221)()(1 , 0,1)(22000ppqpqpnpqk210100, 1012时，或时，5.1.3 哈尔变换nN=4时kpq0001012113122200002211111111414H5.1.3 哈尔变换nN=2时1111212H5.1.3 哈尔变换哈尔基函数对图像的多分辨率分解 1、其局部统计数据相对稳定；2、大多数值为零，便于压缩；3、原始图像的粗和细分辨率近似可以从中提取。5.2 多分辨率展开n 函数的
7、伸缩和平移函数的伸缩和平移 给定一个基本函数给定一个基本函数 ,则则 的伸缩和平移公式的伸缩和平移公式可记为：可记为：( ) x,( )()a bxaxb( )x5.2 多分辨率展开n函数的伸缩和平移函数的伸缩和平移2,sin( )02( )0( )xxxx例：给定函数其它则的波形如下图所示函数的伸缩和平移 5.2 多分辨率展开n 序列展开序列展开 信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合。函数的线性组合。( )( )kkkf xax其中，其中，k k是有限或无限和的整数下标，是有限或无限和的整数下标，a ak k 是具有实数值是具有实
8、数值的展开系数，的展开系数， 是具有实数值的展开函数是具有实数值的展开函数 ( )kx如果展开是唯一的，f(x)只有一个ak系数与之对应，则 称为基函数。( )kx5.2 多分辨率展开n可展开的函数组成了一个函数空间，被称为展开集合的闭合跨度，表示为： xSpanVkk 的闭合跨度属于表示xxfVxfk)()( )( )kkkf xax5.2 多分辨率展开n尺度函数尺度函数2/2,/2,( )( )( )( )2(2),( )( )( )( )2( )( )jjj kj kj kj kjj kxxLxxkjz kzxxkxxjxxxjxR 设是平方可积函数，即，实数二值尺度伸缩和整数平移函数定
9、义为：则集合是的展开函数集。从上式可以看出，决定了在 轴的位置， 决定了的宽度，即沿 轴的宽或窄的程度，而控制其高度或幅度。由于的形状随 发生变化，被称为尺度函数。5.2 多分辨率展开n尺度函数尺度函数 xSpanVkjkj,任何任何j,kj,k上的跨度子空间上的跨度子空间: :j j增大时，用于表示子空间函数的增大时，用于表示子空间函数的 范围变窄，范围变窄，x x有较小有较小变化即可分开。变化即可分开。随随j j增加增加 增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数包含在子空间中。包含在子空间中。jV xkj,哈尔尺度函数考虑单位高度、单位宽度的尺度
10、函数： 其它0101xxV0展开函数都属于V1，V0是V1的一个子空间。jjjjjZjjZjjjVxfVxfZjVxfVxfRLVVVVVZjV)21()(. 4,)2()(. 3)(;0. 2. 1,12210平移不变性：伸缩规则性：渐进完全性：一致单调性：间下列性质的一系列子空多分辨率分析是指满足V2V1V05.2 多分辨率展开子空间的 展开函数可以被表示为子空间 的展开函数的加权和。jV1jV nnjnkjxax, 1, njjkjnxnhx12/1,22 nnxnhx225.2 多分辨率展开j，k置0 nxxjjnj12/1, 122其中)(nhan改写成5.2 多分辨率展开n哈尔尺度
11、函数系数对于单位高度、单位宽度的哈尔尺度函数系数是 21) 1 (0hh 122212221xxx 122xxx5.2 多分辨率展开n 小波函数小波函数 给定尺度函数，则小波函数给定尺度函数，则小波函数 所在的空间跨越了相所在的空间跨越了相邻两尺度子空间邻两尺度子空间V Vj j和和V Vj+1j+1的差异。令相邻两尺度子空间的差异。令相邻两尺度子空间V Vj j和和V Vj+1j+1的差异子空间为的差异子空间为W Wj j，则下图表明了，则下图表明了W Wj j与与V Vj j和和V Vj+1j+1间的关系。间的关系。尺度及小波函数空间的关系 ( ) x5.2 多分辨率展开),)(2(2)(
12、)(),()(2/,ZkjkxxtWaveletMotherxjjkj以得到小波序列：经过伸缩和平移后，可将基本小波小波为一个基本小波或者母 xspanWkjj,）。的小波空间（细节空间称为尺度为jWj5.2 多分辨率展开 nnxnhx22 nhnhn11因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间中，任何小波函数可以表示成尺度函数：中，任何小波函数可以表示成尺度函数： 21) 1 (0hh 211210) 11 () 1(1)01 () 1(0hhhh 122xxx哈尔尺度函数系数：哈尔小波函数系数： 其它015 . 015 . 0
13、01xxx5.3 一维小波变换n 一维离散小波变换（一维离散小波变换（DWTDWT） 000,0010,10,0,W1,W1, :12 , 2 , 1 , 01,W1, 2 , 1 , 01,W2jjkjkkjjMnkjMnkjJxkjMxkjMxfjjkxxfMkjJjxxfMkjM有对于反变换正变换计算一维离散小波变换n考虑四点的离散函数：f(0)=1,f(1)=4,f(2)=-3,f(3)=0。因为M=4,J=2且由于j0=0,对x=0,1,2,3,j=0,1求和。将使用哈尔尺度函数和小波函数，并假定f(x)的4个采样值分布在基函数的支撑区上，基函数的值为1.25 . 120230401
14、21)()(211 , 125 . 10003242121)()(210 , 141013141121)()(210 , 011013141121)()(210 , 0301 , 1300, 1300,0300,0 xxxxxxfWxxfWxxfWxxfW计算一维离散小波变换n重构原始函数 1025 . 1225 . 114112101 , 10 , 10 , 00 , 0211 , 10, 10, 00, 0fxWxWxWxWxf5.3 一维小波变换n一维离散小波变换一维离散小波变换（DWTDWT）2020/2() /2( )2ittteee Morlet小波：Morlet 小波5.3 一维
15、小波变换n 一维离散小波变换（一维离散小波变换（DWTDWT）222/242/22( )(1)32 23tttee Mexihat小波：Mexihat小波 5.3 一维小波变换n快速小波变换FWT找到了相邻尺度系数间的一种令人惊喜的关系。称为Mallat人字形算法，类似于两段子带编码。0,20,2, 1, 1,kknkknnjWnhkjWnjWnhkjW5.4 二维离散小波变换n对于对于M MN N 的离散函数的离散函数f f( (x,yx,y) )的离散小波变换对为：的离散小波变换对为：000110,0011,000,3,101(, )( ,)( ,)1( , )( ,)( ,)1,2,31
16、( ,)(, )( ,)1( , )( ,)MNjm nxyMNllj m nxyjm nmnllj m nljjmnWjm nf x yx yMNWj m nf x yx ylMNf x yWjm nx yMNWj m nx yMNjj正变换：反变换：是任意开始尺度，通常取002 ,0,1,10,1,21JjMNjJmn，且选择和二维快速小波变换5.4 二维离散小波变换5.4 二维离散小波变换n基于小波变换的图像处理n计算一幅图像的二维小波变换n修改变换n计算反变换基于小波的边缘提取基于小波的噪声去除2尺度，全局门限94.9093最高分辨率细节系数置零所有细节置零5.5 小波分析在图像处理中的应用n小波的特点：小波的特点：a）能量集中）能量集中b）易于控制各子带噪声）易于控制各子带噪声c）与人类视觉系统相吻合的对数特征。）与人类视觉系统相吻合的对数特征。d）突变信号检测中：由于分辨率随频率的不）突变信号检测中：由于分辨率随频率的不同而变化的同而变化的 特点，能准确定位信号的上升特点，能准确定位信号的上升沿和下降沿。沿和下降沿。
