1、中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院第八章 粘性流体运动方程及其基本解内容提要：内容提要：l 流体微团的运动形式与速度分解定理l 粘性流体的应力状态l 广义牛顿内摩擦定理（本构关系）l Navier-Stokes方程 主要讨论层流问题二维层流精确解1中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院8.1 问题的提出问题的提出旋转容器中液体的粘性效应旋转容器中液体的粘性效应柱体绕流柱体绕流2中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院8.2 雷诺输运定理与连续性方程雷诺输运定理与连续性方程AndAvdtddtd对于一般物理量（如密度，动量，能量）雷诺输运定理雷诺输运定
2、理：运动着的流体微团的某一物理量对时间的变化率等于单位时间内控制体中所含该物理量的增量与通过控制面流出相应物理量之和。0AndAvdt连续性方程：0)(Vt3中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院1 1、流体微团运动的基本形式、流体微团运动的基本形式 流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）动） 与变形运动（线变形和角变形运动）与变形运动（线变形和角变形运动）平动转动线变形角变形8.3 速度分解定理（速度分解定理（Helmholtz定理）定理）4中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院2 2、速度分解、速度分解定
3、理定理 德国物理学家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。在 速度为 在 点处，速度为),(0zyxM),(),(),(tzyxutzyxutzyxuzyx),(1tzzyyxxM),(),(),(tzzyyxxutzzyyxxutzzyyxxuzyx5中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有将上式分别加、减下列两项得到：zzuyyuxxutzyxutzzyyxxuxxxxx),(),(zxuyxuzy21 , 21z
4、xuzuyyuxuzzuxuyyuxuxxutzyxutzzyyxxuzxxyxzxyxxx2121- 2121),(),(6中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院如果令：综合起来，有：xuxxxzuxuyuxuxzxzxyxy21,21xuzuyuxuzxyxyz21,21zyxyztzyxuzxuzuyyuxuzzuxuyyuxuxxutzyxutzzyyxxuxzxyxxzyxzxxyxzxyxxx)(),(2121- 2121),(),(7中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院对于y,z方向的速度分量，也可得到写成矢量形式：其中，第一项表示微团的平动速度，
5、第二项表示微团转动引起的， 第三项表示微团变形（线变形和角变形）引起的。zyxxytzyxuzzuyyuxxutzyxutzzyyxxuzyxzxtzyxuzzuyyuxxutzyxutzzyyxxuzzyzxzyxzzzzzzzyyyxyxzyyyyyy)(),( ),(),()(),( ),(),( 10()()u Mu Mrr 8中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院定义如下：定义如下：流体微团平动速度：流体微团平动速度：流体微团线变形速度：流体微团线变形速度：流体微团角变形速度（剪切变形速度）：流体微团角变形速度（剪切变形速度）：流体微团旋转角速度：流体微团旋转角速度：)
6、,(),(),(tzyxutzyxutzyxuzyxzuyuxuzzzyyyxxx,zuyuzuxuyuxuyzyzxzxzxyxy21,21,21yuxuxuzuyuxuxyzzxyxyz21,21,219中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院流体质点的涡量定义为表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为零，定义无旋流动与有旋运动。4 4、变形率矩阵变形率矩阵（或（或变形率张量变形率张量，或，或应变率张量应变率张量） 在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的，其中 称为变形率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团的粘性应力存在直接关系。zyxuuuzyxiurot
7、u k j 2 3 3、有旋运动与无旋运动、有旋运动与无旋运动10中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院定义流体微团的变形率矩阵该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系的选择有关，但有三个量是与坐标系选择无关的不变量。它们是： zzzyzxyzyyyxxzxyxx zzzyzxyzyyyxxzxyxxzxyzxyzzxxzzyyyyxxzzyyxxIII 32222111中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院其中对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场的散度，或流体微团的相对体积膨胀率。uzuyuxuIzyxzzyyxx112中南大学能源科学与工程学院中南大
8、学能源科学与工程学院5.速度梯度分解速度梯度分解速度梯度是一个二阶张量 , , xxxyyyijzzzuuuxyzuuuui jx y zxyzxuuuxyz1122jjiiiijijjjijiuuuuuSxxxxxSij即为变形率张量变形率张量（ ij，应变率张量），ij称为旋转张量旋转张量。13中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院 流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上的力只有正向力，无切向力。 粘性流体在运动状态下，流体质
9、点之间可以存在相对运动，流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力。 1、理想流体和粘性流体作用面受力差别、理想流体和粘性流体作用面受力差别8.4 粘性流体的受力分析粘性流体的受力分析14中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院2 2、粘性流体中的应力状态、粘性流体中的应力状态 在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，其中垂直于作用面的为法应力，另外
10、两个与作用面相切为切应力，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。15中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院 由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。如，对于x面的合应力可表示为 y面的合应力表达式为 z面的合应力表达式为kjixzxyxxxkjiyzyyyxykjizzzyzxz16中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院 如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。因此，我们把三个坐标面上的九个
11、应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力张量）。根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩阵如同变形率矩阵一样，是个对称矩阵。 zyyzzxxzyxxyzzzyyzyyyxxzxy zxxx17中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点压强的负值。即（2）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即（3）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。 1 0 00 1 00
12、0 1 ppzzyyxx3zzyyxxp0 xyxz18中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院8.5 动量方程动量方程积分形式的理想流体动量方程：nAAVdVv dAfdpndAt 积分形式的粘性流体动量方程： nAAVdVv dAfdndAt VVVft 微分形式的粘性流体动量方程：19中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院8.6 本构方程本构方程如图，微元体每个面上有正应力和切应力。第一个角标指垂直于每轴的面，第二个角标指应力方向（坐标轴上的投影）共有9个量，构成二阶张量应力张量： xxxyxzijyxyyyzzxzyzz为研究粘性流体的运动，我们需要找到应力与
13、应变率的关系本构关系本构关系 作用于微元上的应力作用于微元上的应力20中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院广义牛顿内摩擦定理（本构关系）广义牛顿内摩擦定理（本构关系）1 1、牛顿内摩擦定理启发、牛顿内摩擦定理启发 牛顿内摩擦定理得到，粘性流体作直线层状流动时，流层之间的切应力与速度梯度成正比。即： 如果用变形率矩阵和应力矩阵表示，有：说明应力矩阵与变形率矩阵成正比。对于一般的三维流动，Stokes（1845年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理。dydux2yxyxyxuuyx21中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院2 2、Sto
14、kesStokes假设（假设（18451845年）年）（1）流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与流体的平动和转动无关。（2）流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系的选择和位置无关。（3）当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。 由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正应力，无切应力。即： 0pzzyyxx22中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院 因此，在静止状态下，流体的应力状态为 根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵与变形率矩阵写成如下线性关系式（本构关系）。 式中，系数a、b是与坐标选择无关的标量。参照牛顿内摩擦定
15、理，系数a只取决于流体的物理性质，可取： Ipp001 0 00 1 00 0 1 Iba2a23中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院 由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持应力与变形率成线性关系，系数b只能由应力矩阵与变形率矩阵中的那些线性不变量构成。即令：式中，b1，b2，b3为待定系数。将a、b代入，有：取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出：321321)()()(bubbbbbbbzzyyxxzzyyxxzzyyxx Ibubbzzyyxx321)(232133)(32)(bubbuzzyyxxzzyyxx24中南大学能源科学与工程学院中南大学能源
16、科学与工程学院归并同类项，得到：在静止状态下，速度的散度为零，且有：于是，有： 由于b1和b3均为常数，且要求p0在静止状态的任何情况下均成立，则 然后代入第一式中，有3213)32()(31 (bubbzzyyxx00 , ()3xxyyzzup 310)31 (bbp31b 013b322b25中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院定义流体压强为定义流体压强为其中其中称为虚拟粘性系数（容变称为虚拟粘性系数（容变/膨胀粘性系数）膨胀粘性系数）。则则为：为：上式即为上式即为()33xxyyzzxxyyzzxxyyzzpu 223puI 26中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科
17、学与工程学院对于绝大部分牛顿流体（包括气体和液体）流动，虚拟粘性系数0，可以不予考虑，只有在少数特殊情况下，比如激波层内，0。所以一般情况下，本构关系可简化为：用指标形式，上式可表示为 223puI ij2-2 ij3jiijijiiuuxxupux 27中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院对于不可压缩流体,有：如果用坐标系表示，有：粘性切应力：法向应力：0 uji 2p-ji iijiijijxuxuxuyuxuxyxyxy2zuyuyzyzyz2xuzuzxzxzx2xxxxxpxup22yyyyypyup22zzzzzpzup2228中南大学能源科学与工程学院中南大学能源
18、科学与工程学院29本构关系本构关系：应力与变形速率之间的关系dydu()22xyxyzvuxy 对于剪切流动的简单情况，牛顿内摩擦定律：对于剪切流动的复杂情况，牛顿内摩擦定律：根据各向同性假设有x，y，z三个切向应力：)()()(xwzuzvywyuxvxzzxzyyzyxxy中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院302 , 2 , 2xxyyzzuvwpppxyz 1()(3xxyyzzxxyyzzpp 热力学压强）根据斯托克斯假设斯托克斯假设，在粘性不可压流体中x,y,z三个法向应力的表达式为：将上述三式相加，并根据连续性方程得到：1()3xxyyzzp 对于静止流体：中南大
19、学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院8.7 N-S方程方程 如图微元体，每个面上正应力沿外法线方向，切应力沿坐标轴正向，现分析z方向上表面力11)()22zzzzzzzzzzdzdzdzzzz（1 2xzxzADHEdxx面：1 ()2xzxzBCGFdxx面：正应力切应力作用于微元上的应力作用于微元上的应力ABCDHEFG31中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院321 ()2yzyzCGHDdyy面：方向上表面力的合力：zyzxzzzdz dxdydx dydzdy dxdzzxyzzfmfdxdydz12yzyzABFEdyy面：质量力：作用于微元上的应力作用于微
20、元上的应力ABCDHEFG中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院33得：由zzamF1823/1845Navierstokes方（程称年）yzxzzzzdwfzxydtyyxyzyyyxxxzxxdvfyxzdtdufxyzdt同理：用本构关系式（不可压）代换：222222222 , () ,()yxxxzxupvuxxxyx yyuwzzx z 中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院34x方向222222()()xpuuuuwdufxxyzxxyzdt不可压缩流体，由连续性方程得：0uvwVxyz 故222222()xpuuudufxxyzdt又, 2222222
21、uzuyuxuuVtudtdu)(中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院3521()xupVufutx 于是：22211 (),() () yzVpVVfpwpVfVwfwttVtyz 同理：或写成：时间项 位变惯性力 质量力 压差 粘性力NavierStokes即为不可压缩流体方程。 21() 3 VVVffpVVt 一般可压缩流动N-S方程：中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院基本方程组： : 0 V连续方程（一个标量方程）2 : () (VpNSVVfVt 方程三个标量方程） 定解条件定解条件未知数：u,v,w,p四个，故方程组封闭，给定定解条件，理论上可求
22、得唯一解。可是，由于是非线性、强耦合偏微分方程组，求解非常困难，通常根据实际问题进行简化后，可求一些简单问题的解。注：理想流体欧拉运动方程就是N-S方程的一种简化。36中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院 上述N-S方程和连续方程适用于不可压流动，对于可压缩流动，还需要加上状态方程和能量守恒方程才能封闭，再加上定解条件，数学上可以求解，但仅对层流层流有效有效；对于湍流，通常还需要建立湍流模型进行求解。 N-S方程方程的边界条件和初始条件的边界条件和初始条件 数学上，N-S方程是三个椭圆型二阶偏微分方程联立的方程组，其边界条件应是在一个封闭边界上的狄利克雷或诺伊曼条件。 从物理学
23、方面讲，对于连续介质流体与固体的交界面，实验得到的粘性流动的边界条件是：流体与固体间无穿透且无相对滑动，即un = Un，ut = Utn和t分别表示法向和切向。37中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院 在流场无穷远处，流速为零或常数。需考虑流场中热效应时，热边界条件为：在边界处，温度T为常数或温度梯度T/n为常数。 在两种不同流体的分界面，若它们均为液体，则分界面两侧流体的速度、压强和温度都相等：u1 = u2，p1 = p2，T1 = T2摩擦力和通过分界面的热传导量也相等： 若界面两侧分别是液体和气体，如液体自由表面，则其运动学条件为：在自由表面上的流体质点永远都处于自由
24、表面上；动力学条件为：交界面处的法向应力、切向应力连续。38中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院 22212100合称来流条件无穷远条件：或进（出）口条件：，连续：自由面条件无滑移：固壁条件边界条件：时刻物理量的值：初始条件：给定outinininwfxxtt似解；数值解求解方法：精确解；近39中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院8.9 二维平面层流解二维平面层流解 一、库塔流动（Couette Flow） 如图，平板在水面上运动，假设：二维，定常不可压，层流，不计重力。对基本方程组根据问题性质做适当简化后，直接求出的解称精确解。至今大约有二十多个，它们是其他解
25、法的重要基础。40中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院0 , 0 , 0nnnnxy22221:()uuPuuxequxyxxy 22221:()Pyequxyyxy 0 ,0PydxdPxPxP有关：只与可见:0uceqxy0uxdyduyuyu有关：只与可见41中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院022xu又：dxdPdyudeqx1:22故 y左边只与 有关，右边只与x有关， 可直接积分，其通解：21221CyCydxdPu求其确定解。现给出四种边界条件，(1) 简单库塔流动无压差流动，上板以u0运动000;0;dPdxyuyh uu其解为：;, 0012
26、huCCyhuu.0为常数hudydu042中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院0;0; 0, 0, 00uhyuydxdPu压差流动(顺压梯度)其解为：1()22dPuy yhdxhy是对称于的抛物线）为线性分布（hydxdP221(2) 平面泊肃叶流动平面泊肃叶流动平面泊肃叶流动43中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院00;0; 0, 0, 0uuhyuydxdPu(3)其解为：),(210hyydxdPyhuu为上述两种情形相加。）（hydxdPhu2210亦为线性分布(4)（逆压梯度），000dxdPu44中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程
27、学院45中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院8.10 二维轴对称层流解二维轴对称层流解 如图，粘性流体在圆管内做定常不可压层流流动，不计重力，采用柱坐标系，可化为二维轴对称流动（泊泊肃叶流动肃叶流动），由于对称性，流动参数与流动参数与无关无关，径向速度vr和切向速度v 都为0。: ()110rzvrvvVrrrz连续性方程0zvzzzzvdvvrrdr可见 只与 有关：46中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院47:0preqr :0peq zdddpvzrrdrdrdz方程可写为pdppzzdz可见 只与 有关：将vr = v =0代入 N-S方程，并利用连续方程，可得:0zpvzeqrrrrz2121 ln4zdprvccrdz积分得中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院0:00 zzrrvvr边界条件，；，有限值201210 4dpccrdz 解得；所以圆管内粘性流体定常层流速度分布为22001 04zdprvrrrdz为抛物面分布，与5.4中的结果一致。 2zrzdr dpvdrdz切应力，为线性分布48中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院作业8 8-21 -21 8-228-228-24 8-24 49
