1、第八章第八章 无限弹性介质中的弹性波无限弹性介质中的弹性波主讲教师：欧阳辉主讲教师：欧阳辉中国地质大学力学教研室无限弹性介质中的弹性波 声带振动，使周围空气获得一个密度的改变量,即产生一个初始“扰动”。无限弹性介质中的弹性波 手拨两端固定的琴弦，在其被拨处将产生一个速度或位移的改变量，产生一个初始“扰动”。无限弹性介质中的弹性波 炸药在地表层爆炸，使地应力获得一个改变，产生一个初始“扰动”。 振动在空间的传播过程称为波动，简称为振动在空间的传播过程称为波动，简称为波波。 在弹性动力学中，把所研究的弹性体称为在弹性动力学中，把所研究的弹性体称为弹性介质弹性介质。当外。当外力很小且作用时间很短时，
2、自然界大部分固体都可以近似地看成力很小且作用时间很短时，自然界大部分固体都可以近似地看成为理想弹性介质。为理想弹性介质。 实践证明：弹性介质受到外力作用时，并非在弹性介质的实践证明：弹性介质受到外力作用时，并非在弹性介质的所有各部分都立即引起位移、应变和应力，而是在作用开始时，所有各部分都立即引起位移、应变和应力，而是在作用开始时，距离外力作用处较远的部分保持不受干扰。距离外力作用处较远的部分保持不受干扰。 在外力作用开始后，在作用处产生变形，从而使该处质点在外力作用开始后，在作用处产生变形，从而使该处质点产生振动，这种振动，通过介质内质点间的相互作用而在介质内产生振动，这种振动，通过介质内质
3、点间的相互作用而在介质内由近及远向外传播。由近及远向外传播。 质点振动在弹性介质中的传播过程，称为质点振动在弹性介质中的传播过程，称为弹性波弹性波。 用波的用波的振幅、频率、位相、波速振幅、频率、位相、波速等来描述弹性波的特性。等来描述弹性波的特性。 变形物体受突加载荷作用后，将产生变形。这种变形和与之伴随而生的应力并不能立即传递到物体的其它部分。在开始时刻，物体的变形仅仅在加载区域的临近区域产生，而这个邻域以外的部分则仍处于未扰动状态。其后，物体的变形和应力便以波的形式向远处传播。 由于载荷作用时间与波的传播过程相比要短的多，因此，物体运动方式主要表现为波的传播。 根据介质的物理性质，边界条
4、件和载荷的作用方式，波的传播过程将呈现各种不同的特性。 在弹性动力学中，研究的整个弹性体恰似一个多自由度在弹性动力学中，研究的整个弹性体恰似一个多自由度的振动系统，当某一点处受扰动（可能是位移、速度、应力的振动系统，当某一点处受扰动（可能是位移、速度、应力等的改变量）时，该质点将发生振动并引起该处微元体产生等的改变量）时，该质点将发生振动并引起该处微元体产生变形，由于变形弹性体的拉压力（对固体或液体）和剪切应变形，由于变形弹性体的拉压力（对固体或液体）和剪切应（对固体）的存在，又会引起周围介质也跟着振动起来。弹（对固体）的存在，又会引起周围介质也跟着振动起来。弹性波就是在弹性介质中传播的扰动。
5、性波就是在弹性介质中传播的扰动。 弹性波弹性波elastic wave 应力波的一种，扰动或外力作用引起的应力波的一种，扰动或外力作用引起的应力应力和和应变应变在弹性在弹性介质中传递的形式，并伴有能量传递。弹性波理论比较成熟，介质中传递的形式，并伴有能量传递。弹性波理论比较成熟，广泛应用于地震、地质勘探、工程结构的抗震抗爆、岩土动广泛应用于地震、地质勘探、工程结构的抗震抗爆、岩土动力学等方面。对于均匀各向同性介质，波在各方向的传播速力学等方面。对于均匀各向同性介质，波在各方向的传播速度都相同。在无限介质中传播的波称为体波。按传播方向和度都相同。在无限介质中传播的波称为体波。按传播方向和介质质点
6、介质质点振动振动方向之间的关系，方向之间的关系，体波分为纵波和横波体波分为纵波和横波。 由于弹性体既能传播拉压应力，又能传播剪切应力，因此在由于弹性体既能传播拉压应力，又能传播剪切应力，因此在弹性介质中存在两种不同形式的波。弹性介质中存在两种不同形式的波。 一种是由于各微元体间受到拉压作用而传播的涨缩波，又称一种是由于各微元体间受到拉压作用而传播的涨缩波，又称无旋波，这时单元体只发生膨胀或压缩，单元体对角线不发无旋波，这时单元体只发生膨胀或压缩，单元体对角线不发生转动；生转动； 另一种是由于个微元体间剪切作用而传播的畸变波，又称等另一种是由于个微元体间剪切作用而传播的畸变波，又称等体积波，这时
7、单元体只发生对角线转动，其体积不发生变化。体积波，这时单元体只发生对角线转动，其体积不发生变化。此外，同其它波一样，弹性波在传播过程中遇到两种不同介此外，同其它波一样，弹性波在传播过程中遇到两种不同介质的分界面要发生发射、透射，同时存在绕射现象。质的分界面要发生发射、透射，同时存在绕射现象。弹性体既能传播拉压应力，又能传播剪切应力;无限弹性介质中的弹性波产生各微元体间受到拉压作用而传播的涨缩波（无旋波），这时单元体只发生膨胀或压缩，单元体对角线不发生转动。产生各微元体间受到剪切作用而传播的畸变波（等体积波），这时单元体只发生对角线转动，其体积不发生变化。 此外，还有一类沿着一个弹性介质表面或两
8、个不此外，还有一类沿着一个弹性介质表面或两个不同弹性介质界面传播的波，称为界面波。若与弹性介同弹性介质界面传播的波，称为界面波。若与弹性介质相邻的是稀疏介质质相邻的是稀疏介质(如空气如空气)，则界面波称为表面波。，则界面波称为表面波。界面波的一个特征是，质点扰动振幅随质点离界面距界面波的一个特征是，质点扰动振幅随质点离界面距离的增大而迅速衰减，所以界面波只存在于表面或界离的增大而迅速衰减，所以界面波只存在于表面或界面附近。面附近。常见的界面波有瑞利波、乐甫波常见的界面波有瑞利波、乐甫波等。弹性波等。弹性波在弹性体内传播时，会形成拉压波、弯曲波和剪切波。在弹性体内传播时，会形成拉压波、弯曲波和剪
9、切波。弹性波绕经障碍物或孔洞时还会发生复杂的衍射现象。弹性波绕经障碍物或孔洞时还会发生复杂的衍射现象。现代电子技术的发展，推动了弹性波的实验研究；此现代电子技术的发展，推动了弹性波的实验研究；此外，还发展了弹性波传播问题的数值解法。外，还发展了弹性波传播问题的数值解法。 在介质中传播的扰动总存在着一个前沿。当弹性波在介质中传播的某瞬间，介质中某个区域内质点振动着，而介质的这个区域由两个闭合的面所限制，此两个面称为波阵面。无限弹性介质中的弹性波在一个面以外的区域波的影响尚未达到，这个面称为弹性波在此瞬时的波前；在另一个面以内的区域波引起的振动已经停止，这个面称为波尾；波前波尾波在介质中传播时是将
10、扰动或能量由此处传递到彼处，而介质的质点并不随波迁移。根据波前的形状，通常把波分为平面波、球面波、柱面波等。波前和波尾随时间不断向前推进，不指明哪一时间的波前和波尾，没有明确意义。平面波球面波 我们把岩石看成弹性介质。震源的作用效果，通常可以认我们把岩石看成弹性介质。震源的作用效果，通常可以认为以弹性波的形式在岩石中传播，这就是地震波，地震波实质为以弹性波的形式在岩石中传播，这就是地震波，地震波实质上就是一种在岩石中传播的弹性波。上就是一种在岩石中传播的弹性波。 本章研究在无限弹性介质中的弹性波，主要讨论：本章研究在无限弹性介质中的弹性波，主要讨论：1、在无限弹性介质中存在哪些弹性波；、在无限
11、弹性介质中存在哪些弹性波；2、弹性波的传播速度；、弹性波的传播速度；3、能量密度和能流密度。、能量密度和能流密度。 无限弹性介质无限弹性介质，实际上是指当弹性波在均匀各向同性介，实际上是指当弹性波在均匀各向同性介质中传播还未遇到分界面的情况时的介质。质中传播还未遇到分界面的情况时的介质。弹性波在传播过程中遇到两种不同介质的分界面要发生反射、透射，同时存在绕射现象。 弹性波可以用振幅、频率、相位、波速等来描述其特征。 地震勘探在地壳某处以一定的方式激发波动，在离震源很近的地方称为破裂带和塑性带，由于爆炸造成的变形很大，从而岩石不能看作是弹性的；但离震源足够远的地方，由于岩石受力很小，且受力时间相
12、当短，因此可以看作是弹性介质。震源作用的效果，通常可以认为以弹性波的形式在岩石中传播，这就是地震波。弹性波控制方程的建立弹性波控制方程的建立 在弹性力学中弹性波对传播介质的动力学效应由波动方在弹性力学中弹性波对传播介质的动力学效应由波动方程来描述。程来描述。 现在由以位移表示的运动微分方程现在由以位移表示的运动微分方程拉梅方程拉梅方程出发来推导出波动方程。出发来推导出波动方程。 拉梅方程的矢量形式为：拉梅方程的矢量形式为： 222222222()()()tttuuXtxvvYtywwZtz 2222()()tUUFtUUF 上式中 为介质密度， 为位移场矢量， 为拉梅常数， 为体积应变， 为体
13、力。而位移矢量公式 为： U, tF 即位移场矢量式是由无旋场和无源场迭加而成，对应标量 和矢量 称为位移位，一个是标量位，一个是矢量位。 Ugradrot 根据场论，任一矢量场，如果在其定义域内有散度和旋度，则该矢量场可以用一个标量位的梯度场和一矢量位的旋度场之和来表示，故作用在弹性介质上的体力 也可表示为： FpSFFF 式中 为标量位，为矢量位。 将位移矢量公式 和体力矢量 代入拉梅方程式 U F 中可得: FUUtU222)()()()()()()(222t)()()()()(222t2)(其中：0)()()(22)()(222222)(tt2222)(tt进一步可得： 222222(
14、2 )()0tt )()()()()(222t2222222)()()()()(tt222222(2 )()0tt 显然 与 是方程222(2 )t （1）222t （2）的解。 其中（1）式称为以标量位移位表示的无旋波波无旋波波动方程动方程，（2）式称为以矢量位移位表示的等容波波等容波波动方程动方程。 其中：(2 )pVsV分别为无旋波波速和等容波波速。 与8-1无限弹性介质中的平面波无限弹性介质中的平面波 纵波和横波纵波和横波 在各向同性弹性介质内的某一点受到外力作用时，外力在各向同性弹性介质内的某一点受到外力作用时，外力所引起的位移、应变和应力就将以弹性波的形式从此点传播所引起的位移、应
15、变和应力就将以弹性波的形式从此点传播开来，其波前为球面，故为球面波。开来，其波前为球面，故为球面波。 在离开此点较远处，可以忽略球面的曲率作为平面波来在离开此点较远处，可以忽略球面的曲率作为平面波来考虑。考虑。 考虑平面波传播时，介质质点的位移分量为：考虑平面波传播时，介质质点的位移分量为：( , );0uu x t vw 我们作一个和我们作一个和ox轴垂直的平面，则该平面只是在轴垂直的平面，则该平面只是在x方向有方向有一个相同的位移，在一个相同的位移，在y和和z轴方向上没有位移。轴方向上没有位移。 即该平面在弹性介质运动中只产生即该平面在弹性介质运动中只产生x方向的平行移动，移方向的平行移动
16、，移动后仍然垂直于动后仍然垂直于ox轴，因而在运动中该平面上的点始终保持轴，因而在运动中该平面上的点始终保持在一个平面上，故这种位移的传播为平面波。在一个平面上，故这种位移的传播为平面波。 分析弹性介质内以分析弹性介质内以ox轴为法线的一系列平面：轴为法线的一系列平面： 这些平面都沿着这些平面都沿着ox轴移动，相互接近或远离，原来间隔轴移动，相互接近或远离，原来间隔相等的平面，移动时间隔就不相等，这样发生了疏密相间的现相等的平面，移动时间隔就不相等，这样发生了疏密相间的现象。象。 波的传播方向与质点位移的方向平行，即质点振动所沿波的传播方向与质点位移的方向平行，即质点振动所沿的直线与振动传播所
17、沿的直线平行，称此波为的直线与振动传播所沿的直线平行，称此波为平面纵波平面纵波。传播条件就是要满足拉梅方程，不计体力的影响。传播条件就是要满足拉梅方程，不计体力的影响。222222222()()()tttuuXtxvvYtywwZtz ( , );0uu x t vwtxyzuvwuxyzx2222,0,0tttuuuxxyx yzx z 22222,0,0uuvwx22220,0vwXYZtt22222222()(2 )uuuutxxx22222222(2 )(2 );ppuuuVVtxx22222puuVtx称为平面纵波的波动方程。称为平面纵波的波动方程。解此偏微分方程；（二阶线形偏微分方
18、程），其通解为：解此偏微分方程；（二阶线形偏微分方程），其通解为：1212()()ppuuuf xV tfxV tf为任意函数。为任意函数。物理意义：物理意义：11()puf xV t 对于任一瞬时对于任一瞬时t，u为为x的函数，可以用曲线的函数，可以用曲线ABC表示表示 此曲线表示在该瞬时，弹性介质内各点因干扰而产生的此曲线表示在该瞬时，弹性介质内各点因干扰而产生的位移，曲线的形状决定于位移，曲线的形状决定于f函数。函数。1uxpVtABBABC1uxpVtABBABC1uxpVtABBABC经过时间间隔经过时间间隔tpxV t将成为将成为()pppxV ttxV tVt1u也将改变数值也将
19、改变数值如果将坐标如果将坐标x增大增大pxVt 1u的数值将不改变的数值将不改变 说明瞬时说明瞬时t所作的曲线所作的曲线ABC只要把它沿只要把它沿x方向移动一个距方向移动一个距离，如图中的离，如图中的ABC，就适用于下个瞬时，就适用于下个瞬时pxVt 距离距离下个瞬时下个瞬时tt11()puf xV t表示一个沿表示一个沿x方向传播的纵波。方向传播的纵波。它的传播速度就是它的传播速度就是(2 )pxVt应用几何方程求出相对应的应变分量：应用几何方程求出相对应的应变分量：沿沿x方向的正应变为：方向的正应变为：111()()( )()ppxppdf xV txV tudfxd xV txdxV t
20、 其余的应变分量都等于零，说明弹性介质的每一个点都其余的应变分量都等于零，说明弹性介质的每一个点都始终处于方向的简单拉压状态。始终处于方向的简单拉压状态。由物理方程求应力分量：由物理方程求应力分量：(1)2(2 )(1)(12 )2(1)(12 )2(1)(12 )xtxxxytyxxztzxxEEE 0 xyyzzx各个正应力分量之间的关系为：各个正应力分量之间的关系为：1yzxx弹性介质内质点沿弹性介质内质点沿x方向的速度分量为：方向的速度分量为：1111()()( )()pppppdf xV txV tuduVftd xV ttdxV t 沿沿y向及向及z向的速度分量为零。向的速度分量为
21、零。1xpuV 的数值很小，故可见质点运动的速度远远小于此波的传播的数值很小，故可见质点运动的速度远远小于此波的传播速度。速度。x分析：分析：22()pufxV t表示一个沿表示一个沿x的负方向传播的纵波。的负方向传播的纵波。它的传播速度也是它的传播速度也是pV 综上所述，平面纵波不论其波长大小和形状如何，在弹综上所述，平面纵波不论其波长大小和形状如何，在弹性介质中都以疏密发散的形式向前或向后传播。波速为：性介质中都以疏密发散的形式向前或向后传播。波速为：(2 )pV再来考虑平面波传播时，介质质点的位移分量：再来考虑平面波传播时，介质质点的位移分量：0,( , )uvww x t 质点内各质点
22、的位移方向都与质点内各质点的位移方向都与z轴平行，且垂直于轴平行，且垂直于x轴的轴的任一平面内的一切点的运动都相同，它们于任一平面内的一切点的运动都相同，它们于oyz平面的距离平面的距离保持不变。保持不变。此一系列的平行平面，均顺着横向移动（沿此一系列的平行平面，均顺着横向移动（沿z轴）。轴）。 运动的传播方向与质点的位移方向垂直（即质点的振动运动的传播方向与质点的位移方向垂直（即质点的振动方向与振动的传播方向垂直），此波为方向与振动的传播方向垂直），此波为平面横波平面横波。代入拉梅方程，得：代入拉梅方程，得：222()twwZtz 22222222SSwwwVtxxV此为平面横波的波动方程。
23、此为平面横波的波动方程。解此偏微分方程；（二阶线形偏微分方程），其通解为：解此偏微分方程；（二阶线形偏微分方程），其通解为：1212()()SSwwwf xV tfxV t11()Swf xV t表示一个沿表示一个沿x方向传播的横波。方向传播的横波。它的传播速度就是它的传播速度就是SxVt应用几何方程求出相对应的应变分量：应用几何方程求出相对应的应变分量：1110,0()()( )()xyzxyyzSSxzSSdf xV txV twudfxzd xV txdxV t说明弹性介质的每一个点都始终处于说明弹性介质的每一个点都始终处于z及及x方向的简单剪切状态。方向的简单剪切状态。应用物理方程求出
24、相对应的应力分量：应用物理方程求出相对应的应力分量：2(1)xzxzxzE其余的应力分量等于零。其余的应力分量等于零。弹性介质内质点沿弹性介质内质点沿z方向的速度分量为：方向的速度分量为：1111()()( )()SSSSpdf xV txV twdwVftd xV ttdxV t 沿沿x向及向及y向的速度分量为零。向的速度分量为零。1xzSwV 的数值很小，故可见质点运动的速度远远小于横波的传播的数值很小，故可见质点运动的速度远远小于横波的传播速度。速度。xz分析：分析：22()SwfxV t表示一个沿表示一个沿x的负方向传播的横波。的负方向传播的横波。它的传播速度也是它的传播速度也是SVS
25、V 综上所述，平面横波不论其波长大小和形状如何，在弹综上所述，平面横波不论其波长大小和形状如何，在弹性介质中都以剪应变横向位移的形式向前或向后传播。波速性介质中都以剪应变横向位移的形式向前或向后传播。波速为：为：比较平面纵波与平面横波的传播速度：比较平面纵波与平面横波的传播速度：22(1)1,0122PSVV故在同一介质中纵波的波速要比横波的波速大很多。故在同一介质中纵波的波速要比横波的波速大很多。研究平面波的一般情况。研究平面波的一般情况。设此平面波平行于设此平面波平行于x轴方向传播，介质质点的位移分量为：轴方向传播，介质质点的位移分量为：( , )( , )( , )uu x tvv x
26、tww x t代入拉梅方程，得：代入拉梅方程，得：22222puuVXtx平面纵波的波动方程。平面纵波的波动方程。22222SvvVYtx22222SwwVZtx平面横波的波动方程。平面横波的波动方程。平面横波的波动方程。平面横波的波动方程。222pSVV22(1),(1)(1 2 )2(1)pSEEVV 在一般情况下，平面波在介质中传播时，介质质点的位移在一般情况下，平面波在介质中传播时，介质质点的位移分量应适应上式。分量应适应上式。 平面波在传播中分解为两个部分：平面波在传播中分解为两个部分： 纵波，传播速度为：纵波，传播速度为： 横波，传播速度为：横波，传播速度为：2pSVV结论：结论：
27、 在无限弹性介质中，只能传播两种平面波。平面纵波和在无限弹性介质中，只能传播两种平面波。平面纵波和平面横波。平面横波。8-2无限弹性介质中的波无限弹性介质中的波 无旋波和等容波无旋波和等容波进一步讨论无限弹性介质中的一般波动。进一步讨论无限弹性介质中的一般波动。一、若介质中任一微小体积均不作刚性转动的特点，即一、若介质中任一微小体积均不作刚性转动的特点，即0 相应于这种位移状态的弹性波称为无旋波，又称胀缩波相应于这种位移状态的弹性波称为无旋波，又称胀缩波或集散波。或集散波。00U 00U 于是在弹性介质内存在一标量位于是在弹性介质内存在一标量位位移矢量位移矢量Ugrad 2222,ttUU 代
28、入拉梅方程，可以得到：代入拉梅方程，可以得到：222222ppUVUFtV此为无旋波的波动方程。此为无旋波的波动方程。即无旋波在介质中传播时，介质质点的位移应满足的方程。即无旋波在介质中传播时，介质质点的位移应满足的方程。 可以证明：平面纵波就是无旋波的一种特殊情况，在地震可以证明：平面纵波就是无旋波的一种特殊情况，在地震勘探中一般将无旋波称为纵波。勘探中一般将无旋波称为纵波。二、当波传播时，在弹性介质中，介质质点发生的位移，适合二、当波传播时，在弹性介质中，介质质点发生的位移，适合体积应变为零的条件，这种位移状态的弹性波称为等体积波，体积应变为零的条件，这种位移状态的弹性波称为等体积波，简称
29、简称等容波等容波，或旋转波、畸变波。，或旋转波、畸变波。0t代入拉梅方程有：代入拉梅方程有：22222SSUVUFtV此为等容波的波动方程。此为等容波的波动方程。即等容波在介质中传播时，介质质点的位移应满足的方程。即等容波在介质中传播时，介质质点的位移应满足的方程。 可以证明：平面横波就是等容波的一种特殊情况，在地震可以证明：平面横波就是等容波的一种特殊情况，在地震勘探中一般将等容波称为横波。勘探中一般将等容波称为横波。研究无限弹性介质中的一般波动，介质质点的位移矢量为：研究无限弹性介质中的一般波动，介质质点的位移矢量为：;PSPSUUUUgradUrotU , , , , ,PPSSUUx
30、y z tUUx y z t 为无旋波的位移矢量为无旋波的位移矢量为等容波的位移矢量为等容波的位移矢量 由场论分析可以知道，一个矢量场，如果定义域内有散由场论分析可以知道，一个矢量场，如果定义域内有散度和旋度，则该矢量场可以用一个标量位的梯度场和一个矢量度和旋度，则该矢量场可以用一个标量位的梯度场和一个矢量位的旋度场之和来表示。位的旋度场之和来表示。作用在弹性介质中的体力在弹性介质所在空间内形成一个矢量作用在弹性介质中的体力在弹性介质所在空间内形成一个矢量位，因此它也可以写成一个标量位的梯度场和一个矢量位的旋位，因此它也可以写成一个标量位的梯度场和一个矢量位的旋度场之和来表示。度场之和来表示。
31、;PSPSFFFFgradUrotF 代入拉梅方程可以得到：代入拉梅方程可以得到：22222222222,pppSVVtVVt 用标量位表示的无旋波的波动方程。用标量位表示的无旋波的波动方程。用矢量位表示的等容波的波动方程。用矢量位表示的等容波的波动方程。 在无限弹性介质中，一般情况下，只有两种类型的弹性波，在无限弹性介质中，一般情况下，只有两种类型的弹性波，即即无旋波和等容波无旋波和等容波。 如果在介质中有各种原因造成的波动，则其中每一个波动如果在介质中有各种原因造成的波动，则其中每一个波动的存在和分配都和另一个无关。介质中总的波动为个别的存在和分配都和另一个无关。介质中总的波动为个别“单单
32、”波动的和。从波动方程的线性而导出的这个原理，称为波动的和。从波动方程的线性而导出的这个原理，称为叠加原叠加原理理。沿任意方向传播的平面波沿任意方向传播的平面波8-3 弹性介质中波的传播速度弹性介质中波的传播速度22222ffctx解此偏微分方程；（二阶线形偏微分方程），其通解为：解此偏微分方程；（二阶线形偏微分方程），其通解为：12( , )()()f x tf xctfxct现在将这一结果还原到原坐标系现在将这一结果还原到原坐标系oxyz中，坐标系如图中，坐标系如图xlxmynz 则扰动函数则扰动函数 ( , )( , , , )(, )f x tf x y z tf lxmynz t22
33、2222222222222,fffffflmnxxyxzx22222222ffffxyzx2221lmn故任意方向传播的平面波的方程为：故任意方向传播的平面波的方程为： 2222222221ffffxyzct上面的方程就是在上面的方程就是在oxyzoxyz坐标系中沿任意方向坐标系中沿任意方向N N传播的平面波满足的波动传播的平面波满足的波动方程，方程，c c为波速。通解可以写成：为波速。通解可以写成：1212( , , , )( , )()()()()f x y z tf x tf xctfxctf xlmynzctfxlmynzct8-3 弹性介质中波的传播速度弹性介质中波的传播速度 首先研
34、究平面波的情况，任一平面波在弹性介质中传播时首先研究平面波的情况，任一平面波在弹性介质中传播时,在在oxyz坐标系中，沿坐标系中，沿 N方向方向(l,m,n)传播的平面波，若以位移传播的平面波，若以位移分量作为扰动函数，分量作为扰动函数，c为传播速度，有介质质点的位移分量一为传播速度，有介质质点的位移分量一般可以表示为：般可以表示为：()()()uu xlymznctvv xlymznctww xlymznctl，m，n为平面波的法线，与波的传播方向一致。为平面波的法线，与波的传播方向一致。c为传播速度。为传播速度。txyzuvwlumvnwxyz表示表示xl+ym+zn-ct的微分。的微分。
35、代入拉梅方程，整理得到：代入拉梅方程，整理得到：222222()()()()()()()()()l ulmvnlwculmum vmnwcvnlumnvn wcw222222000clulmvnlwclmumvmnwcnlumnvnw若位移能在弹性介质中存在，上式中加速度一定有非零解若位移能在弹性介质中存在，上式中加速度一定有非零解2222220cllmnlclmmmncnlmnn化简得：化简得： 222202,SPcccV cV 证明了任意平面波，不论它的传播方向如何，波速就两种情况。证明了任意平面波，不论它的传播方向如何，波速就两种情况。,SPV V 现在研究一般情况。现在研究一般情况。
36、我们以波前（波阵面）的推进来阐述波的传播面貌，故我们以波前（波阵面）的推进来阐述波的传播面貌，故在弹性介质中（各向同性），波的传播速度理解为波前沿其外在弹性介质中（各向同性），波的传播速度理解为波前沿其外法线方向扩展的速度。法线方向扩展的速度。 图图 波前扩散与速度分析波前扩散与速度分析 代入求解得：代入求解得：上式中的位移分量上式中的位移分量 u u，v v，w w的导数，是指在扰动区域中的的导数，是指在扰动区域中的 u u，v v，w w导导数在数在 S(t) S(t) 面上的极限值。面上的极限值。代入整理得：代入整理得： 从而得到波前面从而得到波前面S(t)S(t)上位移矢量对坐标的偏导
37、数与对时间偏导数上位移矢量对坐标的偏导数与对时间偏导数的关系，代入动量定理中，将位移矢量对坐标的偏导数全部换成对时的关系，代入动量定理中，将位移矢量对坐标的偏导数全部换成对时间的偏导数，即得间的偏导数，即得 或者：或者：2222220cllmnlclmmmncnlmnn化简得：化简得： 222202,SPcccV cV这就证明了在各向同性弹性介质中，这就证明了在各向同性弹性介质中， 不论波前形状如何。不论波前形状如何。 波的传播速波的传播速度只有两种度只有两种8-4 无限弹性介质中的球面波无限弹性介质中的球面波三维波动具有共同的形式：三维波动具有共同的形式：222222,ppUVUF Vt22
38、222,SSUVUF Vt2222FcFtC为波速。对于无旋波为波速。对于无旋波 对于等容波对于等容波PScVcVF为相应的波动函数。为相应的波动函数。2222222FFFFxyz 在地震勘探中，由点爆炸所产生的在均匀各向同性弹性介质中传播在地震勘探中，由点爆炸所产生的在均匀各向同性弹性介质中传播的地震波是球对称的。由于球对称，质点只能发生径向位移，而不能发的地震波是球对称的。由于球对称，质点只能发生径向位移，而不能发生垂直于径向的位移，因此波阵面为球面，波为球面纵波（生垂直于径向的位移，因此波阵面为球面，波为球面纵波（Spherical-Spherical-wavewave）。设扰动函数）。
39、设扰动函数( , )FF r tsincossinsincosxryrzr由球对称性，设：由球对称性，设：222()rxyzr为介质内任一点对坐标原点的矢径大小为介质内任一点对坐标原点的矢径大小 表明以原点为中心的任一球面，各点表明以原点为中心的任一球面，各点F值在同一瞬时都相值在同一瞬时都相等，因此相应的波动为球面波。等，因此相应的波动为球面波。FFrx Fxrxrr22222222223FFxxF xxFrxFxrxrrrrrrrr222222223FyFryFyrrrr222222223FzFrzFzrrrr2222FcFt22222()FcrFtrr2222222222221()FFF
40、FFFrFxyzrrrrr22222()()rFcrFtr此式为关于此式为关于rF的一维波动方程。的一维波动方程。其通解为：其通解为：12()()rFf rctf rct121()()Ff rctf rctr球对称问题的解或为球面波的解。球对称问题的解或为球面波的解。121()1()f rctrfrctr是由原点向外以波速是由原点向外以波速c传播的波传播的波是向着原点以波速是向着原点以波速c传播的波传播的波振幅随着振幅随着r的增加成比例地减少。的增加成比例地减少。由场论中有关公式可得：由场论中有关公式可得：222222222211sin()(sin)sinsin11()()FFFFrrrrFr
41、tFFrrFrrrr r只是 和 的函数，与 和 无关，故有不计体力，则球对称问题以位移表示的运动微分方程可以写为：不计体力，则球对称问题以位移表示的运动微分方程可以写为：222222222222222210rrrrrrrrPUUUUrrrrtUUUUrrrrVtrUr球对称问题，运动是无旋的，于是存在一个标量位球对称问题，运动是无旋的，于是存在一个标量位322322222322322222222222221()0122()()11()0PPrrrrrVtrrrr rrrrrrtrrtrr rrVrt对对r积分一次，得到：积分一次，得到：2222211( )( )( )PrF trrVtF t
42、tF t为 的任意函数，在一般情况下，不等于零。 此为线性非齐次偏微分方程，其通解为齐次的通解和任此为线性非齐次偏微分方程，其通解为齐次的通解和任一非齐次的特解之和。一非齐次的特解之和。1212()()1()()PPPPrf rV tfrV tf rV tfrV tr12( )( )rrPttUrUF trVrr2222方程式任意一个特解，它只是 的函数，由可见，这个特解不会影响到位移。可以取为零t此为波动方程此为波动方程通解为：通解为：上式为波动方程的球对称解。上式为波动方程的球对称解。8-5 无限弹性介质中球面空腔源产生的弹性波无限弹性介质中球面空腔源产生的弹性波 设介质中有一球形空腔，半
43、径为设介质中有一球形空腔，半径为 球腔内部发生爆炸，在腔壁上产出一均匀分布的压力，其球腔内部发生爆炸，在腔壁上产出一均匀分布的压力，其压强为压强为p p。 在它的作用下，介质内任一个微体不产生转动，仅产生膨在它的作用下，介质内任一个微体不产生转动，仅产生膨缩变形。故介质中由此产生的波为球面无旋波或球面纵波。缩变形。故介质中由此产生的波为球面无旋波或球面纵波。求介质中任一点求介质中任一点M的位移的位移U00,( ),p pp F tp设压强为为常数( )0( )00F tF t；（0tT）；（t,tT,且t=0时，介质处于静止状态）在此情况下，介质中传播的是球面纵波在此情况下，介质中传播的是球面
44、纵波由球面波的波动方程由球面波的波动方程2PrVrt2222r其位移场的标量位为：其位移场的标量位为：1212()()11()()1,PPPPrf rV tfrV tta rta rrraVV为球面纵波的传播速度。 根据问题的条件，在介质中只能产生由震源（球面空腔源）根据问题的条件，在介质中只能产生由震源（球面空腔源）向外传播的波，故取第一项。向外传播的波，故取第一项。111( , )()()r tta rta rr，为未知函数。为了确定此函数，考虑初始条件和边界条件。为了确定此函数，考虑初始条件和边界条件。当爆炸的冲击波作用到腔壁之前，介质内没有波动，任一点的当爆炸的冲击波作用到腔壁之前，介
45、质内没有波动，任一点的位移、速度及势函数都应等于零。所以问题的位移、速度及势函数都应等于零。所以问题的初始条件初始条件为，为，1100,()0, ( , )0,0tta ru r ttt0t而当时，介质内由于爆炸而形成波动，波前位置满足方程而当时，介质内由于爆炸而形成波动，波前位置满足方程rct对于，根据函数的连续性有对于，根据函数的连续性有rct1()0, ( , )0ta ru r t即此时波前上的位移及其势函数都为零。可以写成即此时波前上的位移及其势函数都为零。可以写成( , )0, ( , )0rrttccr tu r t边界条件为边界条件为：在球腔表面处，即：在球腔表面处，即0,(
46、)0rrrrrp F t 当爆炸的冲击波作用到腔壁上之前，腔壁不受力，即当爆炸的冲击波作用到腔壁上之前，腔壁不受力，即时作用力为零；一旦爆炸的冲击波作用到腔壁上，对腔壁即时作用力为零；一旦爆炸的冲击波作用到腔壁上，对腔壁即产生压力，按符号规定压力取负值，所以当时产生压力，按符号规定压力取负值，所以当时0t0t020210111222,2(2 )2(2 )( )2(2 )( )144( )( )( )( )rrrrttrrrrrrrrUUUrrrUUrrUUp F trrUrp F trrrta rrpatttF t 考虑球腔半径很小的时候，前两项忽略不计得考虑球腔半径很小的时候，前两项忽略不计
47、得0123014( )( )( )( )4ptF tptF t 定义定义330011,pp选择常数选择常数0p1110,( , )( )()4r ttF tarrr 11( )( )4tF t 位移位移2211()()4111()()4rPPPrrUUrr rarF tarF tarrrrrrrF tF trVrVVr函数函数()PrF tV反映了震源的作用，称为震源强度。反映了震源的作用，称为震源强度。结论结论：球面空腔源产生的弹性波在无限弹性介质中传播时，介：球面空腔源产生的弹性波在无限弹性介质中传播时，介质质点的位移不仅与震源强度有关，并且与震源强度的变化率质质点的位移不仅与震源强度有关
48、，并且与震源强度的变化率有关，还与其到震源的距离和距离的平方有关，与其成反比。有关，还与其到震源的距离和距离的平方有关，与其成反比。8-68-6均匀各向同性无限弹性介质中的柱面波均匀各向同性无限弹性介质中的柱面波 出于实际考虑，地震波场经常沿测线观测，可被看作二维的，即满足波动方程出于实际考虑，地震波场经常沿测线观测，可被看作二维的，即满足波动方程22222221fffxyct二维区域是不存在点震源的，必须使用线震源来代替三维空间的点源，而二维区域是不存在点震源的，必须使用线震源来代替三维空间的点源，而线源的波场可由点源波场合成。这时用柱坐标比较方便。线源的波场可由点源波场合成。这时用柱坐标比
49、较方便。 8-7 能量密度和能流密度能量密度和能流密度 弹性波的传播可以看成是一个能量由波源（震源）向周弹性波的传播可以看成是一个能量由波源（震源）向周围介质传播的过程。围介质传播的过程。 当弹性波传播到介质中某处时，原来不动的质点开始振当弹性波传播到介质中某处时，原来不动的质点开始振动，因而具有了动，因而具有了动能动能，同时，单元体也将产生变形。因而也，同时，单元体也将产生变形。因而也具有了具有了势能势能（即应变位能或应变能）。（即应变位能或应变能）。 波传播时，介质由近及远一层一层地振动，能量是逐层波传播时，介质由近及远一层一层地振动，能量是逐层传播出去的。传播出去的。 为了反映波动的能量
50、，引入波的为了反映波动的能量，引入波的能量及能量密度能量及能量密度的概念；的概念；能流及能流密度能流及能流密度的概念。的概念。 波动传播中，任一瞬时，介质中任一单元体弹性波的能波动传播中，任一瞬时，介质中任一单元体弹性波的能量分为动能和势能。量分为动能和势能。 单位体积内所含的动能称为单位体积内所含的动能称为动能密度动能密度；单位体积内所含；单位体积内所含的势能称为的势能称为势能密度势能密度。单位体积内所含的总能量（动能和势。单位体积内所含的总能量（动能和势能之和，即机械能）称为能量密度。能之和，即机械能）称为能量密度。 单位时间内通过介质中某面积的能量称为该面积的单位时间内通过介质中某面积的
