1、一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数傅里叶级数傅里叶级数 简单的周期运动 :)sin(tAy(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk为角频率, 为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.xxnkxnkd)cos()cos(21,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x
2、,cos,nx,sinnx证证:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk 上的积分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 定理定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且)sincos(2)(10
3、nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分, 则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn证证: 由定理条件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,对在逐项积分, 得xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数 ;
4、10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 确定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里里的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函数)(xf 设 f (x) 是周期为2的周期函数, 并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里里叶级数收敛 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,( 证明见第证明见第三节三节 )为 f (
5、x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展成傅里里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅里里叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成傅里里叶级数. oyx11xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121)
6、,2,0,(xx),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112) 傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图.xoy上的表达式为),xxxxf0,00,)(将 f (x) 展成傅里里叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 ), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(
7、k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当) 12(kx时, 级数收敛于22)(0, )(xxf周期延拓)(xF傅里里叶展开,)(在xf上的傅里里叶级数), , )(xxf, )2(kxf其它xxxxxf0, 0,)(级数 .oyx则xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossi
8、n2nnxnnxx解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里里叶2为周期的函数 F(x) , x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n42,421312242设,413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又212136248222122482221. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶
9、级数定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里里叶级数为余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在上),)(xf解解: 若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期为 2 的奇函数, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n
10、0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nnn1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo级数的部分和 n2n3n4上在),逼近 f (x) 的情况见右图.n5tEtusin)(展成傅里里叶级数, 其中E 为正常数 .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期为2 的周期偶函数 , 因此0d)(2
11、ttut 2cos310d) 1sin() 1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412,0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf1xyo)0(1)(xxxf分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点,
12、 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k,1knb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数1xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . x1y将)(xf则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn1
13、2,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,121xxcosx3cos312)0( xx5cos512说明说明: 令 x = 0 可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(1yox1. 周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x为间断点,则级数收敛于2)()(00 xfxf2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函
14、数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .处收敛于)(xf0 x,1 x0,12x则它的傅里里叶级数在x在4x处收敛于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为 ,xyo110 x,0,)(2xxxxf又设)(xS求当)()2,(xSx时的表达式 .解解: 由题设可知应对)(xf作奇延拓:)(xFxxx0,20 x,00 x,2xx ,
15、),(上在; )()(xFxS由周期性:,)2,(上在)2()(xSxS)0,(2x2)2()2(xx2223xx2在是)(xf2), 0(内以为周期的正弦级数展开式的和函数, 定义域)(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏级数的和函数 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:xyo11)(xf2)(xxxf函数)(x叶级数展式为, )sincos(210nnnnxbnxaa则其中系. 3b数提示提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21)3sin93cos3(2xxx03232利用“偶倍奇零”的傅里 )(xf是以 2 为周期的函数 , 其傅氏系数为,na则)
16、()(为常数hhxf的傅氏系数. , nnba提示提示:xdxnfancos)(1hxthtntfhhd)(cos)(1tt ntfnhdsin)(sin1nanh cosnbnhsinhxt令ttntfnhdcos)(cos1nhbnhannsincosnhanhbnnsincoshh利用周期函数性质,nb法国数学家. 他的著作热的解析 理论(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. 德国数学家. 对数论, 数学分析和数学物理有突出的贡献, 是解析数论 他是最早提倡严格化方法的数学家.函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件; 了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和, 举例说明条件收敛级数不具有这样的性质. 他的主要的创始人之一, 并论文都收在狄利克雷论文集 (1889一1897)中. 1829年他得到了给定证明
