1、数列的前数列的前n项项和和公式法（倒序相加）公式法（倒序相加）错位相减错位相减裂项相消裂项相消分组求和分组求和公式法：利用常见求和公式求公式法：利用常见求和公式求和和常见的求和公式常见的求和公式等差数列前等差数列前n项和公式项和公式等比数列前等比数列前n项和公式项和公式)Nn( d2) 1n( nna2)aa ( ns1n1n2n.q1)q1 (a1n.nasn11n2333322222) 1n(nn321) 1n2)(1n(n61n321 例例1：已知等差数列：已知等差数列 中，中， ，求数列，求数列 的的前前n项和项和 nanan252b, 9a,21a nb解：设等差数列的首项为解：设等
2、差数列的首项为 公比为公比为d，则有，则有1a21d4a9da11解解得得4d5a1等差数列的通项公式为1n4) 1n(45an1n4n2b所以由于41n45n4n1n222bb故数列 是以 为公比以 为首项的等比数列 nb4252)Nn(3132221)21 (2s5n45n45n分组求和：分组求和：已知数列 满足 求数列的前100项和 na) 3n4 () 1(a1nn100s310043994211713951s100 20050)4(解：解：法一：法二：310043994211713951s100 )3100421135()3994(1791 2002)310045(502)39944
3、1 (50) 31004 (21135) 3994 (1791 分组转化求和法：分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减例1：求n31n,2713 ,912,311 的前n项和nT解)31n()2713()912()311 (Tnn )31313131()n321 (n32 )Nn(32132)n1 (nnn311)311(312)n1(nn一共有多少个数200个个n项项n项项变式：已知数列 的通项
4、求数列 的前n项和 na1nn21n2a nans1n210n21n2216214212s )21212121(n26421n210 )Nn(212) 1n(n2112112)n22(n1nn1n1n1n1nnnn21)2(222212 ,21)21(解分组转化法求和的常见类型分组转化法求和的常见类型 (1)若若anbncn，且，且bn，cn为等差或等比数列，为等差或等比数列，可采用分组求和法求可采用分组求和法求an的前的前n项和项和例二：若数列例二：若数列 满足满足 na1n22a1nnn为偶数n为奇数(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可
5、能前面剩两项，后面也剩两项；有可能前面剩两项，后面也剩两项；利用裂项相消法求和应注意利用裂项相消法求和应注意1nnaac)a1a1(dc1nn变形为变形为其中其中n1naad例如例如：) 1n(n11n1n1两项相乘裂为两项相乘裂为两项相减两项相减试一试？试一试？) 1n2)(1n2(1)1n211n21(21注意通分验注意通分验证是否与原证是否与原式相等式相等1n1n1) 1n(n1)n11n1(k1)kn(n1)1n211n21(21) 1n2)(1n2(11nnn1n1分母有理化分母有理化) n1n)(n1n(n1nn1n1例例1：设数列：设数列 满足满足 ， na1a1)Nn( 1na
6、an1nna1则数列则数列 的前的前n项和项和 解：解：2naa1naa)2n(naa3n2n2n1n1nn2aa3aa1223累加求累加求和得和得:n432aa1n 2)2n)(1n(所以：所以：2) 1n(n2)2n)(1n(1an当当n=1时：时：12) 11 (1a1满足通项满足通项)Nn (2) 1n ( nan所以：所以：)1n1n1(2) 1n(n2a1n)1n1n1(2)4131(2)3121(2)211 (2sn )1n1n141313121211 (2 )Nn(1nn2)1n11 (2所以所以例例2:已知等差数列已知等差数列 满足满足 na26aa, 7a7531）求数列）
7、求数列 的前的前n项和项和 nans2）令）令 ，求数列，求数列 前前n项项和和)Nn(1a1b2nn nbnT26d10a27da112d3a11n2an解：解：1）设数列）设数列 的首项为的首项为 公差为公差为d na1a由题意得由题意得：解得解得所以所以n4n41) 1n2(1a222n)Nn)(1n1n1(41)1n(n41bn)1n1n1(41)4131(41)3121(41)211 (41sn ) 1n(4n)1n1n141313121211 (41 Nn2):所以所以练习：已知数列练习：已知数列an的前的前n项项和为和为Sn，a11，Snnann(n1)(nN*)(1)求数列求数
8、列an的通项公式；的通项公式；解解(1)Snnann(n1)，当，当n2时，时，Sn1(n1)an1(n1)(n2)，anSnSn1nann(n1)(n1)an1(n1)(n2)，即即anan12.数列数列an是首项是首项a11，公差，公差d2的等差的等差数列，数列，故故an1(n1)22n1，nN*.错位相减法：错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前前n项和即可用此法来求，等比数列的前项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就项和就是用此法推导的是用此法推
9、导的q,得nqS.qaqaqaqaqan11n12n1211，得,111nnqaaSq由此得q1时，qqaSnn111nnaaaaS321设等比数列,321naaaa它的前n项和是.11212111nnnqaqaqaqaaS即说明：这种求和方法称为错位相减法显然，当q=1时，1naSn1n3210nnxx4x3x2xs 1n2n3210nnxx ) 1n (x4x3x2xs n1n4321nxx ) 1n (x4x3x2x nxs两式相减得：两式相减得：n1n3210nnxxxxxxs )x1 ( nnnxx1x1) 1x ( x1nx)x1 (x1sn2nn当当x=1时：时：2) 1n(nn
10、4321sn ) 1x(2) 1n(n) 1x(x1nx)x1 (x1sn2nn所以：所以：第三步：第三步：Sna1b1a2b2anbn的两的两边同乘以公比边同乘以公比q，得，得qSnqa1b1qa2b2qanbn 教你一个万能模板教你一个万能模板 利用错位相减法求数列的前利用错位相减法求数列的前n项和，一般可用以下项和，一般可用以下几步解答：几步解答：第一步：将数列第一步：将数列cn写成两个数写成两个数列的积的形式列的积的形式cnanbn，其中，其中an为等差数列，为等差数列，bn为等比数列为等比数列 第二步：写第二步：写出数列出数列cn的前的前n项和项和Sna1b1a2b2anbn 第六步
11、：反思第六步：反思回顾，查看关回顾，查看关键点，易错点键点，易错点及解题规范及解题规范. .如本题错位相如本题错位相减时，是否有减时，是否有漏项漏项 第四步：两式第四步：两式错位相减得错位相减得(q1)Sn 第五步：等式第五步：等式两边同时除以两边同时除以q1，得，得Sn 例例1、已知数列、已知数列an是等差数列，且是等差数列，且a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)令令bn=anxn(xR)，求数，求数列列bn的前的前n项和的公式。项和的公式。解：解：(1)设公差为设公差为d, 则则3a1+3d=12，d=2, an=2n(2) bn=2nxn.232462nnSxxxnx 231 2x4212nnnxSxnxnx 21122nnnx Sxxxnx 1212 x11nnxxnxx 12212 x1111 x=1nnnxxnxxSxn n
