1、 微分方程的一般理论；微分方程的一般理论； 微分方程的平衡点及稳定性；微分方程的平衡点及稳定性； 案例：战争的预测与评估问题；案例：战争的预测与评估问题；案例：案例：SARSSARS的传播问题。的传播问题。32022年年4月月23日日42022年年4月月23日日52022年年4月月23日日62022年年4月月23日日 1. 微分方程的一般形式微分方程的一般形式72022年年4月月23日日 1. 微分方程的一般形式微分方程的一般形式00)(),(xtxxtfdtdx82022年年4月月23日日 1. 微分方程的一般形式微分方程的一般形式00( , )( )dtdttxfxxx92022年年4月月
2、23日日 2. 微分方程解的存在唯一性微分方程解的存在唯一性问题：问题：正规方程组（正规方程组（2 2）的解在）的解在什么条件下存在，且唯一呢？什么条件下存在，且唯一呢？ 00( , )( )dtdttxfxxx102022年年4月月23日日 2. 微分方程解的存在唯一性微分方程解的存在唯一性00( , )( )dtdttxfxxx112022年年4月月23日日 3. 微分方程的稳定性问题微分方程的稳定性问题 微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽际中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽略次要的因素，这种
3、次要的因素称为略次要的因素，这种次要的因素称为干扰因素干扰因素。干扰因素在实际中可以干扰因素在实际中可以瞬时瞬时地起作用，也可地起作用，也可持持续续地起作用。地起作用。 问题问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也只引起对应解的微小变化？只引起对应解的微小变化？122022年年4月月23日日 3. 微分方程的稳定性问题微分方程的稳定性问题（1 1）有限区间的稳定性）有限区间的稳定性 （2 2）无限区间的稳定性）无限区间的稳定性（3 3）渐近稳定性）渐近稳定性（4 4）经常
4、扰动下的稳定性）经常扰动下的稳定性 实际中，对于很多问题的微分方程实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求模型并不需要求其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解称为平其某种理想状态下的解，这种解称为平衡点。衡点。2022年年4月月23日日142022年年4月月23日日 平衡点的概念平衡点的概念152022年年4月月23日日 平衡点的概念平衡点的概念问题：如何来断别平衡点的稳定性呢问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？162022年年4月月23日日 平衡点的概念平衡点的概念172022年年4月月23日日 2. 一阶方程的平衡点及稳定性一阶方程的平衡点及稳定性18202
5、2年年4月月23日日 3.平面方程的平衡点及稳定性平面方程的平衡点及稳定性192022年年4月月23日日 3.平面方程的平衡点及稳定性平面方程的平衡点及稳定性202022年年4月月23日日 问题的提出问题的提出 由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装备现已成为决定战争胜负重要因素备现已成为决定
6、战争胜负重要因素军事装备军事装备: 军事实力的总和，主要包括武器装军事实力的总和，主要包括武器装备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等 现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不同兵种的特点同兵种的特点, ,在不同的区域参加战斗，都对战争的在不同的区域参加战斗，都对战争的结果产生一定的影响结果产生一定的影响212022年年4月月23日日 问题的提出问题的提出现在要求建立数学模型讨论的问题：现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多因素之间的
7、相互关系进行讨论；因素之间的相互关系进行讨论； (2) (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析势进行评估分析. . （3 3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。222022年年4月月23日日 2. 模型的假设模型的假设232022年年4月月23日日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解242022年年4月月23日日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解252022年年4月月23日日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解
8、262022年年4月月23日日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解272022年年4月月23日日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解282022年年4月月23日日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解问题问题(2):(2):在多兵种的作战条件下，对作战双方的在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析战势进行评估分析. . 292022年年4月月23日日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解302022年年4月月23日日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解兰彻斯特兰彻斯特多兵种作多兵种作战模型战模型 312022年年4月月23日日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解
9、njqxadtdymirybdtdxjmiijijijinjjijiji, 2 , 1, 2 , 1,11 问题问题(3)作为思考题作为思考题,参见兰彻斯特作战模型参见兰彻斯特作战模型.322022年年4月月23日日 SARS(严重急性呼吸道综合症严重急性呼吸道综合症, 俗称俗称:非典非典型肺炎型肺炎)是是21世纪第一个在世界范围内传播的世纪第一个在世界范围内传播的传染病传染病 SARS的爆发和蔓延给部分国家和地区的的爆发和蔓延给部分国家和地区的经济发展和人民生活带来了一定的影响，人经济发展和人民生活带来了一定的影响，人们从中得到了许多重要的经验和教训，认识们从中得到了许多重要的经验和教训，认
10、识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性控制传染病蔓延创造条件的重要性四四 .SARS.SARS的传播问题的传播问题 问题的提出问题的提出332022年年4月月23日日四四 .SARS.SARS的传播问题的传播问题 问题的提出问题的提出 请你对请你对SARS 的传播建立数学模型，的传播建立数学模型，要求说明怎样才能建立一个真正能够预要求说明怎样才能建立一个真正能够预测，以及能为预防和控制提供可靠、足测，以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，这样做的困难在哪里？够信息的模型，这样做的困难在哪里？并对疫情传播所造成的影响做出
11、估计并对疫情传播所造成的影响做出估计.342022年年4月月23日日 实际中，实际中，SARS的传染过程为：的传染过程为： “易感人群易感人群病毒潜伏人群病毒潜伏人群 发病人群发病人群退出者退出者” 通过分析各类人群之间的转化关系，可通过分析各类人群之间的转化关系，可以建立微分方程模型来刻画以建立微分方程模型来刻画SARS传染规律传染规律 将将SARS传播过程分为控前和控后两个阶传播过程分为控前和控后两个阶段段 四四 .SARS.SARS的传播问题的传播问题 2问题的分析问题的分析352022年年4月月23日日 在控前阶段，在控前阶段，SARS按自然传播规律按自然传播规律传播传播 ； 在控后阶
12、段，随着人们防范措施的在控后阶段，随着人们防范措施的增强促使日传染率减小，主要有两方面增强促使日传染率减小，主要有两方面的原因：的原因：（1）来自于因对疫情的恐慌心理；）来自于因对疫情的恐慌心理；（2）来自于防预政策、法律法规的）来自于防预政策、法律法规的颁布等颁布等四四 .SARS.SARS的传播问题的传播问题 2问题的分析问题的分析362022年年4月月23日日四四 .SARS.SARS的传播问题的传播问题 3模型的建立与求解模型的建立与求解具体模型详见教材。具体模型详见教材。372022年年4月月23日日五五 . .相关的问题数学模型相关的问题数学模型1. 传染病理论模型：传染病理论模型： SI模型、模型、SIS模型、模型、SIR模型、模型、SIER模型。模型。2. 人口理论模型：人口理论模型： Malthus模型、模型、Logistic模型、人模型、人口的发展方程。口的发展方程。
