1、1第第第第第第4 4 4章章章章章章 数值积分和数值微分数值积分和数值微分数值积分和数值微分数值积分和数值微分数值积分和数值微分数值积分和数值微分4.1 数值积分概论数值积分概论4.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式4.3 复合求积公式复合求积公式4.6 高斯求积公式高斯求积公式24.1 4.1 数值积分概论数值积分概论若函数若函数f(x)在区间在区间a,b上连续且其原函数为上连续且其原函数为F(x),则则可用可用Newton-Leibnitz公式公式baaFbFdxxf)()()(求得定积分求得定积分求定积分的值。求定积分的值。但在实际计算中经常遇到以下二种情况，需要数值但在实际计算中经常遇
2、到以下二种情况，需要数值积分求解：积分求解：3(1) 被积函数被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数有限形式表示的原函数F(x)，例如：，例如： Newton-Leibnitz公式就公式就无能为力无能为力了。了。dxedxxxx10102sin和无法用初等函数表示无法用初等函数表示(2) 被积函数被积函数f(x)没有具体的解析表达式没有具体的解析表达式, 其函数关系其函数关系由表格或图形表示。由表格或图形表示。 4 数值积分的基本思想数值积分的基本思想 积分值积分值 在几何上可以解释为由在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及以及y=
3、f(x)这四条边所围成的曲边梯形面这四条边所围成的曲边梯形面积。如图积。如图1所示，而这个面积之所以难于计算是因为所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边它有一条曲边y=f(x) 。badxxfI)( y=f(x) a b 图图1 数值积分的几何意义数值积分的几何意义 5)(x)(xbabadxxdxxf)()(基于逼近思想基于逼近思想以此以此构造数值算法构造数值算法。先用某个简单函数先用某个简单函数 近似逼近近似逼近 f(x), 用用 代替代替原被积函数原被积函数f(x)，即，即用用插值多项式的积分插值多项式的积分来近似代替来近似代替f(x)的积分无疑的积分无疑最合适。最合适。6梯形
4、公式梯形公式取取a,ba,b做线性插值做线性插值 梯形公式梯形公式)()()(21)()(bfafabdxxpdxxfbabaxaby=f(x)ab图图3 梯形公式梯形公式)()()(bfabaxafbabxxp则则得到得到梯形公式梯形公式7Simpson公式是以函数公式是以函数f(x)在在a, b, (a+b)/2这三点的函数值这三点的函数值f(a), f(b), 做代数插值得到做代数插值得到的数值积分公式。的数值积分公式。 ySimpson公式公式)()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfbaby=f(x)a(a+b)/2a(a+b)/2Simpson公式公式)2(baf图图4
5、 Simpson公式公式8设已知设已知f(x)在节点在节点 有函数值有函数值 , ,作作n n次次拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 ), 1 , 0(nkxk)(kxfnkkkxlxfxP0)()()(nkjjjkjkxxxxxl0)(式中式中 插值求积公式插值求积公式9knkkbaknkkbaknkkbabaAxfdxxlxfdxxlxfdxxPdxxf 000)()()()()()()(插值求积公式插值求积公式多项式多项式P( (x) )易于求积易于求积, ,所以可取所以可取 作为作为 的近似值，即的近似值，即 badxxP)(badxxf)(10bakkdxxlA)(其中其中称为称为
6、求积系数求积系数。插值求积公式插值求积公式11定义定义1 1 求积公式求积公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(其系数其系数 时，则称求积公式为时，则称求积公式为插值求插值求积公式积公式。 bakkdxxlA)(插值求积公式插值求积公式12设插值求积公式的余项为设插值求积公式的余项为 ,由插值余项定理由插值余项定理得得 )(fRbanbadxxnfdxxPxffR)()!1()()()()() 1(ba,其中其中 当当f(x)是次数不高于是次数不高于n的多项式时，有的多项式时，有 , 求积公式才能成为准确的等式。求积公式才能成为准确的等式。0)() 1(xfn0)(fR插值求积公式插值求积
7、公式134.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式 在插值求积公式在插值求积公式nkkkbabaxfAdxxPxxf0)()(d)(中中,当所取节点是当所取节点是等距等距时称为牛顿时称为牛顿-柯特斯公式柯特斯公式其中其中 插值多项式插值多项式 求积系数求积系数 )()()(0nkkkxfxlxPbakkdxxlA)(这里这里 是是插值基函数插值基函数。)(xlk14将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分, 步长步长求积节点为求积节点为nabh), 1 , 0(nkkhaxk区间区间n等分等分作变量代换作变量代换 当当 时时,有有 ,于是于是可得可得 thaxbax,nt, 0nknk
8、bakkdtthalnabhdtthaldxxlA00)()()(15nkkdtthalnC0)(1(k=0,1,n)代入插值求积公式代入插值求积公式, ,有有 nkkkbaxfCabxxf0)()(d)(称为牛顿称为牛顿- -柯特斯求积公式柯特斯求积公式, ,Ck称为称为柯特斯系数柯特斯系数。引进记号引进记号kkCabA)( (k=0,1,n)则则柯特斯系数柯特斯系数16容易验证容易验证10nkkCbakkkkdxxlAAabC)(1nkbaknkkdxxlabC00)(1111)(10 babankkdxabdxxlab柯特斯系数性质柯特斯系数性质17显然显然, , Ck k 是不依赖于积
9、分区间是不依赖于积分区间 a,b 以及被积函数以及被积函数f(x)的常数的常数, ,只要给出只要给出n,n,就可以算出柯特斯系数。就可以算出柯特斯系数。 当当n=1n=1时时 1011002121) 1(! 1! 011tdtCdttC低阶柯特斯系数低阶柯特斯系数当当n=2=2时时202061)2)(1(! 2! 02) 1(dtttC201132)2(! 1! 12) 1(dtttC200261)1(!0!22)1(dtttC18表表1 1给出了给出了n从从1 18 8的柯特斯系数的柯特斯系数。 当当n=8n=8时，从表中可以看出出现了负系数，从而时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定
10、性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。 柯特斯系数柯特斯系数19表表1 1( )1112214126661331388887162167490451545901925252525195288961441449628841993499416840352801052802584075135771323298929891323357775171728017280172801728017280172801728017280989588892882835028350283nknC104964540104969285888989502835028350283502
11、83502835028350)1(0C)1(1C)2(0C)2(1C)2(2C)3(2C)3(0C)3(1C)3(3C)4(2C)4(0C)4(1C)4(3C)4(4C柯特斯系数表柯特斯系数表20梯形公式梯形公式 在牛顿在牛顿-柯特斯求积公式中柯特斯求积公式中n=1,2,4时，就分别时，就分别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。(1) 梯形公式梯形公式 当当n=1时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式柯特斯公式就是梯形公式 )()()(21)(bfafabdxxfba定理定理 （梯形公式的误差）设（梯形公式的误差）设f(x)在在a,b上具有
12、连续上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为),()(12)()(31bafabfR 21证证: :由插值型求积公式的余项由插值型求积公式的余项 其中其中 可知梯形公式的误差为可知梯形公式的误差为 dxxnffRbann)()!1()()()1()()()(),(10nxxxxxxxba badxbxaxffR)()(21)(1梯形公式梯形公式2322由于由于(x-a)(x-b)在在a,b中不变号中不变号, 在在a,b上连续上连续,根根据高等数学中的积分中值定理据高等数学中的积分中值定理 ,在在a,b上存在一点上存在一点，使使 )(f )(6)()
13、()()()(3fabdxbxaxfdxbxaxfbaba ),()(12)()(31bafabfR 因此因此 梯形公式梯形公式2323（2） 辛卜生公式辛卜生公式当当n=2时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式就是柯特斯公式就是辛卜生公式辛卜生公式（或称（或称抛物线公式）抛物线公式） )()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfba定理（辛卜生公式的误差）设在定理（辛卜生公式的误差）设在a,ba,b上具有连续的上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为 ),()(2880)()()4(52bafabfR辛卜生公式辛卜生公式24（3 3）柯特斯公式柯特斯公
14、式 当当n=4=4时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式为柯特斯公式为 )(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba定理（柯特斯公式的误差）设在定理（柯特斯公式的误差）设在 a,b 上具有连续上具有连续的的6 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 ),()(49458)()6(74bafabfR柯特斯公式柯特斯公式25例例1 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分计算定积分 的近似值的近似值 ( (计算结果取计算结果取5 5位有位有效数字效数字) ) 15 . 0dxx例题例
15、题26解：解：(1) (1) 用梯形公式计算用梯形公式计算 4267767. 0 170711. 025. 0)1 () 5 . 0(25 . 01d15 . 0ffxx(2) (2) 用辛卜生公式用辛卜生公式 /).(.d.xx43093403. 0 103866. 0411707. 0121例题例题27(3) (3) 用柯特斯公式计算，系数为用柯特斯公式计算，系数为, 17875. 03275. 012625. 0325 . 07 905 . 01d15 . 0 xx43096407. 0793326.2939223.1029822.2594975. 41801例题例题28积分的准确值为积
16、分的准确值为 43096441. 032d15 . 02315 . 0 xxx可见，三个求积公式的精度逐渐提高。可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 例题例题29例例2 2 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分3123d) 572(xxxx的近似值的近似值, ,并估计其误差并估计其误差( (计算结果取计算结果取5 5位小数位小数) ) 例题例题30解解: : 辛卜生公式辛卜生公式 322036225941613)(24)(6bfbafafabS由于由于 ，故，故 由辛卜生公式余项由辛卜生公式余项 572)(23xxxxf0)()4(xf例题例题bafabfR,),
17、(2880)()()4(5知其误差为知其误差为 0)(fR31柯特斯公式柯特斯公式知其误差为知其误差为 0)(fR322097812532912835327451) 3 (7) 5 . 2(32) 2(12) 5 . 1 (32) 1 (79013fffffC例题例题32 该定积分的准确值该定积分的准确值 ,这个例子告诉我这个例子告诉我们，对于同一个积分，当们，对于同一个积分，当n2时，公式却是精确的，时，公式却是精确的，这是由于这是由于辛卜生公式具有三次代数精度辛卜生公式具有三次代数精度，柯特斯公柯特斯公式具有五次代数精度式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项，它们对被积函数为三次多项
18、式当然是精确成立的。式当然是精确成立的。 3220I例题例题334.3 复合求积公式复合求积公式 由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于应提高。但由于n88时的牛顿时的牛顿-柯特斯求积公式开柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求
19、积节点数的方法来提高计算精度。求积节点数的方法来提高计算精度。34复合求积公式复合求积公式 在实际应用中，通常将积分区间分成若干在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复合求积公式的个区间上的求积公式，这就是复合求积公式的基本思想。常用的复合求积公式有复合梯形公基本思想。常用的复合求积公式有复合梯形公式和复合辛卜生公式。式和复合辛卜生公式。 351 复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差 将积分区间将积分区间
20、 a,b 划分为划分为m等分等分, ,步长步长 求积求积节点为节点为mabh), 1 , 0(mkkhaxk复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差k0123m-1mxkaa+ha+2h a+3hb-hb36在每个小区间在每个小区间 上应用梯上应用梯形公式形公式 )1m, 1 ,0(,1kxxkk)()(2)(11kkxxxfxfhdxxfkk求出积分值求出积分值Ik, ,然后将它们累加求和然后将它们累加求和, ,用用 作为所作为所求积分求积分I的近似值。的近似值。 10mkkI复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差37第一个小区间第一个小区间(k=0)(k=0) 10,xx)()(2)(I
21、10010 xfxfhdxxfxx复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差第二个小区间第二个小区间(k=1)(k=1) 21,xx)()(2)(I21121xfxfhdxxfxx38第第m m个小区间个小区间(k=m-1)(k=m-1) 复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差mxx,1-m)()(2)(1-m11 -mmxxmxfxfhdxxfIm第第m-1m-1个小区间个小区间(k=m-2)(k=m-2) 1-2-m,mxx)()(2)(1-2-m21 -2-mmxxmxfxfhdxxfIm39复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差)()(2)(211bfxfafhmkk)()(.)()
22、( 2)(21m210mxfxfxfxfxfh)()(2)()(110101kkmkmkxxbaxfxfhdxxfdxxfIkk40)()(2)(21m1bfxfafhTkkm记记 上式称为上式称为复合梯形公式复合梯形公式。 复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差41 当当f(x)在在 a,b 上有连续的二阶导数上有连续的二阶导数, ,在子区间在子区间 上梯形公式的余项已知为上梯形公式的余项已知为 1,kkxx复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差在在 a,b 上的余项上的余项 13,)(12 kkkkTxxfhRk 1031m0)(12mkkkTTfhRRk42设设 在在 a,b 上连续
23、，根据连续函数的中值定理知，上连续，根据连续函数的中值定理知，存在存在 ，使，使 )(xf ba,)()(m11m0ffkk ba,因此因此, ,余项余项)(12)()(m1223fhabfhRT ba,复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差432 复合辛卜生公式及其误差复合辛卜生公式及其误差 将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为m等分等分, ,记子区间记子区间 的中点为的中点为 在每个小区间上应用辛卜生公在每个小区间上应用辛卜生公式，则有式，则有 1,kkxxhxxkk2121复合辛卜生公式及其误差复合辛卜生公式及其误差)()(4)(6)()(11010211kkkmkmkxxbax
24、fxfxfhdxxfdxxfIkk44)()(2)(4)(611m01121bfxfxfafkmkkk)()(2)(4)(611011m21bfxfxfafSmkmkkk记记 称为复合辛卜生公式。称为复合辛卜生公式。 复合辛卜生公式及其误差复合辛卜生公式及其误差 类似于复合梯形公式余项的讨论，复合辛卜生类似于复合梯形公式余项的讨论，复合辛卜生公式公式 的求积余项为的求积余项为 )(2880)4(4fhabRsba,45如果把每个子区间如果把每个子区间 四等分四等分, ,内分点依次记内分点依次记 1,kkxx432141,kkkxxx同理可得复合柯特斯公式同理可得复合柯特斯公式 1010)(12
25、)(32)(7902141mkmkkkmxfxfafhC)(7)(14)(32111m043bfxfxfmkkkk)(4945)( 2)6(6fhabRc求积余项为求积余项为 ba,复合柯特斯公式及其误差复合柯特斯公式及其误差46复合求积公式的余项表明，只要被积函数发复合求积公式的余项表明，只要被积函数发f(x)所涉及的各阶导数在所涉及的各阶导数在a,b上连续，那么复合梯形公上连续，那么复合梯形公式、复合辛卜生公式与复合柯特斯公式所得近似值式、复合辛卜生公式与复合柯特斯公式所得近似值 的余项和步长的关系依次为的余项和步长的关系依次为 。因此当。因此当h0 (即即n)时时, 都收敛都收敛于积分真
26、值，且收敛速度一个比一个快。于积分真值，且收敛速度一个比一个快。 nnnCST,)(2h)(4h)(6hnnnCST,复合辛卜生公式及其误差复合辛卜生公式及其误差47例例3 3 依次用依次用m=8m=8的复合梯形公式、的复合梯形公式、m=4m=4的复合的复合 辛卜生公式计算定积分辛卜生公式计算定积分 10dsinxxxI例题例题48解解: :首先计算出所需各节点的函数值首先计算出所需各节点的函数值,m=8,m=8时，时，125. 081h由复合梯形公式可得如下计算公式：由复合梯形公式可得如下计算公式： 9456909. 0) 1 ()875. 0 (2)75. 0 (2)625. 0 (2)
27、5 . 0 (2)375. 0 (2)25. 0 (2)125. 0 (2) 0 (1618fffffffffT例题例题49由复合辛卜生公式可得如下计算公式由复合辛卜生公式可得如下计算公式9460832. 0)875. 0()625. 0()375. 0()125. 0(4) )75. 0()5 . 0()25. 0(2) 1 ()0(2414fffffffffS（积分积分准确值准确值I=0.9460831） 例题例题25. 041h50 这两种方法都需要提供这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准算量基本相同，然而精度却差别较大，
28、同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复合梯形法只有两位有效数字较，复合梯形法只有两位有效数字(T(T8 8=0.9456909),=0.9456909),而复合辛卜生法却有六位有效数字。而复合辛卜生法却有六位有效数字。例题例题51例例4 4 用复合梯形公式计算定积分用复合梯形公式计算定积分 , ,问区间问区间要多少等分才保证有要多少等分才保证有5 5位有效数字？位有效数字？ 10dxeIx例题例题52解解: :由于由于 的真值具有一位整数，所以要使近似的真值具有一位整数，所以要使近似积分有积分有5 5位有效数字，只需取位有效数字
29、，只需取m m使复合梯形公式的余使复合梯形公式的余项项 满足满足因为因为 ， ，又，又区间长度区间长度b-a=1，当，当时，时， 有有 ，故，故 xexf)(xexf )(41021)(xRT例题例题10dxex)(xRT10 xexf )(53例题例题42210211121)(12)( emfhabxRT即即 ,m67.3,m67.3，取，取m=68m=68，即将区间，即将区间0,10,1分为分为6868等份即可等份即可。42106em544.6 高斯求积公式高斯求积公式1 1 求积公式代数精度求积公式代数精度 定义定义 （代数精度）（代数精度） 设求积公式设求积公式对于一切次数小于等于对于
30、一切次数小于等于m的多项式的多项式mmxaxaxaaxf2210)(nkkkbaxfAdxxf0)()(是准确的，而对于次数为是准确的，而对于次数为m+1m+1的多项式的多项式是不准确的，是不准确的，则称该求积公式具有则称该求积公式具有m m次代数精度。次代数精度。55定理定理 n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式至少具为插值型求积公式的充要条件是公式至少具 有有n次代数精度。当次代数精度。当n为偶数时，可达到为偶数时，可达到n+1次次 代数精度。代数精度。nkkkbaxfAdxxf0)()(插值型求积公式插值型求积公式56 一般说来，代数精度越高，求积公式
31、越精确。一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式具有梯形公式具有1 1次代数精度，辛卜生公式有次代数精度，辛卜生公式有3 3次代数次代数精度精度。下面以梯形公式为例进行验证：。下面以梯形公式为例进行验证： 例题例题57babfafabdxxf)()(2)(取取f(f(x) )=1时，时，abababdxba) 11 (2,1两端相等两端相等 取取f(f(x)=)=x时时, , )(21)(2),(212222abbaababxdxba取取f(f(x)=)=x2 2 时时, , baabbabaababdxx)(21)(2),(312222332两端不相等两端不相等 所以梯形公式只有所以
32、梯形公式只有1 1次代数精度。次代数精度。 两端相等两端相等 例题例题58的代数精度。的代数精度。) 1 ()0(2) 1(21)(11fffdxxf例例10 考察求积公式考察求积公式例题例题59解：可以验证解：可以验证, 对于对于f(x)=1, x时公式两端相等时公式两端相等, 再将再将f(x)=x2代入公式代入公式 左端左端两端不相等两端不相等, 所以该求积公式具有所以该求积公式具有 1 次代数精度次代数精度.三个节点却不具有三个节点却不具有2次代数精度，因为不是插值型的。次代数精度，因为不是插值型的。3231113112xdxx11121) 1 () 0(2) 1(21fff右端右端例题
33、例题60 例例13 给定求积公式给定求积公式试确定求积系数试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。代数精度，并指出其代数精度。)()0()()(10221hfAfAhfAdxxfhh例题例题61解：令求积公式对解：令求积公式对f(x)=1, x, x2准确成立，则有准确成立，则有312121110131604hAhAhhAhAhAAA例题例题解之得解之得)(2)0()(234)(38,3422110hffhfhdxxfhAAhAhh62其代数精度至少为其代数精度至少为2,将将f(x)=x3代入求积公式两端相代入求积公式两端相等等,而将
34、将而将将f(x)=x4代入求积公式两端不相等代入求积公式两端不相等,所以其所以其代数精度为代数精度为3次。次。例题例题63 例例 14 确定求积公式确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度。使其具有尽可能高的代数精度。)()()()(321afAbfAafAdxxfba例题例题64解：不妨设解：不妨设a=0, b=h, b-a=h, 设所求公式的代数设所求公式的代数 精度为精度为2,则当则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式时公式变成等式,即即例题例题解之得：解之得：)()(2)(46)(32,6,31232af hbfafhdxxfhAhAhAba其中其中h=b-a, 令令f(x)=x3代入
35、上式代入上式, 两端不等两端不等, 说明说明求积公式只有求积公式只有2次代数精度。次代数精度。65abAnkk0例例15 求证当节点为求证当节点为n+1个时个时, 插值求积系数之和为插值求积系数之和为例题例题66 例题例题证：证：babankkkxfAdxxpdxxf0)()()(当节点为当节点为n+1个时，插值求积公式有个时，插值求积公式有n次代数次代数精度，对于精度，对于 ，上式严格相等，所，上式严格相等，所以取以取f(x)=1时，上式也严格相等，因此有时，上式也严格相等，因此有nxxf)(abAAAabAabAdxdxxfnnkkbabankk10001)(即即67构造插值求积公式有如下
36、特点：构造插值求积公式有如下特点：(1)复杂函数复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分的积分转化为计算多项式的积分(2) 求积系数求积系数Ak只与积分区间及节点只与积分区间及节点xk有关，而与被有关，而与被积函数积函数f(x)无关，可以不管无关，可以不管f(x)如何，预先算出如何，预先算出Ak的值的值(3) n+1个节点的插值求积公式至少具有个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度次代数精度(4) 求积系数之和求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性可用此检验计算求积系数的正确性 abAnkk0插值求积公式的特点插值求积公式的特点682 高斯求积公式的构造与应用高斯求积公式的构造与应
37、用在构造形如在构造形如 的两点公式时的两点公式时, ,如果限定求积节点如果限定求积节点, ,那么所得插值求积公式那么所得插值求积公式 )()()(111100 xfAxfAdxxf1, 110 xx11) 1 () 1()(ffdxxf高斯求积公式的构造与应用高斯求积公式的构造与应用的代数精度仅为的代数精度仅为1 1。6903202311300211200110010 xAxAxAxAxAxAAA高斯求积公式的构造与应用高斯求积公式的构造与应用但是但是, ,如果对式中的系数如果对式中的系数 和和 节点都不节点都不加限制，那么就可适当选取加限制，那么就可适当选取 和和 , ,使所使所得公式的代数
38、精度得公式的代数精度 。事实上，若要使求积公。事实上，若要使求积公式对函数式对函数 都准确成立，只要都准确成立，只要 和和 满足方程组满足方程组 10,xx10,AA32, 1)(xxxxf1m10,AA10,AA10,xx10,xx70高斯求积公式的构造与应用高斯求积公式的构造与应用这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点，可使这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点，可使插值型求积公式的代数精度达到最高。这就是本节插值型求积公式的代数精度达到最高。这就是本节要介绍的高斯求积公式。要介绍的高斯求积公式。 可以验证，所得公式是具有可以验证，所得公式是具有3 3次代数精度的插值型次代数精度的插值型求
39、积公式。求积公式。11)33()33()(ffdxxf代入即得代入即得 解之得解之得 333311010 xxAA71定义：定义：若一组节点若一组节点 x0 xn a,b,是使插值型求积是使插值型求积公式公式具有具有2n+1次代数精度。这样的节点称为次代数精度。这样的节点称为Gauss 点点，Ak称为称为Gauss系数系数，求积公式称为求积公式称为Gauss 型求积公型求积公式式。)()()(0bankkkxfAdxxfxw高斯求积公式的定义高斯求积公式的定义72节点节点 x0 xn 以及系数以及系数 A0 An 都作为待定系数。都作为待定系数。0)(xw,ba是是上的权函数。当上的权函数。当
40、1)(xw,ba有限，有限，时即为普通积分。时即为普通积分。高斯求积公式的定义高斯求积公式的定义73 可以证明，可以证明，n+1n+1个节点的高斯求积公式具有最高个节点的高斯求积公式具有最高不超过不超过2n+12n+1次的代数精度次的代数精度，这就是我们所要讨论的具，这就是我们所要讨论的具有最高代数精度的插值型求积公式。有最高代数精度的插值型求积公式。 高斯求积公式的构造与应用高斯求积公式的构造与应用要使求积公式具有要使求积公式具有2n+1 次代数精度，令次代数精度，令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入求积公式精确成立，解出代入求积公式精确成立，解出xk和和 Ak .7
41、4最高代数精度最高代数精度niixxxf020)()(有有0)()(badxxfxw而对任意的求积系数而对任意的求积系数),1,0(nkAk0)(0nkkkxfA证明：对任意选择的证明：对任意选择的n1个节点个节点),1,0(,nibaxi可构造可构造2n+2次代数多项式次代数多项式定理定理 Gauss型求积公式是具有最高代数精度的求积公式型求积公式是具有最高代数精度的求积公式75最高代数精度最高代数精度nkkkbaxfAdxxfxw0 )()()(可见插值求积公式可见插值求积公式不精确成立。不精确成立。76高斯求积公式的构造与应用高斯求积公式的构造与应用像构造两点像构造两点高斯求积公式高斯求
42、积公式一样一样, 对于对于插值型求积公式插值型求积公式分别取分别取 用待定系数法来用待定系数法来确定参数确定参数xk和和 从而构从而构造造n+1个点个点高斯求积公式。高斯求积公式。12, 1)(nxxxf),1,0(,nkAk但是，这种做法要解一个包含但是，这种做法要解一个包含2n+22n+2个未知数的非线个未知数的非线性方程组，其计算工作量是相当大的。性方程组，其计算工作量是相当大的。（1）待定系数法）待定系数法77例题例题例例16 求求Gauss型求积公式型求积公式)()()(ln111000 xfAxfAdxxfx的节点及系数。的节点及系数。78例题例题解解 这里二个节点和二个系数待定，
43、故以上求积这里二个节点和二个系数待定，故以上求积公式具有最高公式具有最高3 3次代数精度。因此对于次代数精度。因此对于, 1)(32xxxxf1010,AAxx 上式精确成立，从而得上式精确成立，从而得到关于到关于 和和 的方程组的方程组 16191411311300211200110010 xAxAxAxAxAxAAA79例题例题解出节点及系数解出节点及系数281461. 0,718539. 0,602277. 0,112009. 01010AAxx所以求积公式为所以求积公式为)602277. 0(281461. 0)112009. 0(718539. 0)(ln10ffdxxfx80正交多
44、项式正交多项式（2）利用正交多项式确定求积节点及系数）利用正交多项式确定求积节点及系数 )(0)(0)()()(),(kjAkjdxxSxSxwSSkkjbakj则称则称多项式序列多项式序列Sn(x)为在为在a,b上上带权带权w(x)的正交的正交，称称Sn(x)为为a,b上上带权带权w(x)的的n次正交多项式次正交多项式. 定义定义 设设Sn(x)是是a,b上首项系数上首项系数an0的的n次多项式，次多项式，w(x)为为a,b上权函数，如果上权函数，如果多项式序列多项式序列Sn(x)满足关满足关系式系式81(1)先利用区间先利用区间 a,b 上的上的n+1次正交多项式确定高斯次正交多项式确定高
45、斯点点 (2) 然后利用高斯点确定求积系数然后利用高斯点确定求积系数12, 1)(nxxxf), 1 , 0(,nkbaxk), 1 , 0(nkAk正交多项式与高斯点正交多项式与高斯点求积系数求积系数kA可由可由Gauss点为节点的点为节点的n次插值基函数次插值基函数确定确定bakkdxxlxwA)()(显然，显然，Gauss点的设置成为构造点的设置成为构造Gauss求积公式求积公式的关键。的关键。82定理定理 求积公式求积公式的节点的节点 为为GaussGauss点的充要条件点的充要条件是这些节点为是这些节点为 上带权上带权w(x)的的n n1 1次正交多项次正交多项式的零点。式的零点。G
46、auss点的充要条件点的充要条件),1,0(nixi,bankkkbaxfAdxxfxw0)()()(83正交多项式的递推公式正交多项式的递推公式正交多项式可由下面的递推公式生成，即正交多项式可由下面的递推公式生成，即3 , 2 , 1)()()()()()()(1)(11110110kxSxSxxSxSxxSxSkkkkk式中式中, 2 , 1 , 0)()()()(),(),(, 2 , 1 , 0)()()()(),(),(212111221kdxxSxwdxxSxwSSSSkdxxSxwdxxxSxwSSSxSbakbakkkkkkbakbakkkkkk84勒让德勒让德(Legendr
47、e)多项式多项式201( )1, ( )(1) , (1,2,)2!nnnnndP xP xxnn dx 当区间当区间-1,1, 权函数权函数w(x)1时时, 由由1,x,xn,正交正交化得到的多项式就称为化得到的多项式就称为勒让德勒让德(Legendre)多项式多项式,并用并用P0(x),P1(x),Pn(x),表示表示. 这是这是勒让德勒让德于于1785年引进的年引进的. 1814年年罗德利克罗德利克(Rodrigul)给出了简单的表达式为给出了简单的表达式为递推关系递推关系11(1)( ) (21)( )( ),(1,2 )nnnnPxnxP xnPxn 85勒让德勒让德(Legendr
48、e)多项式多项式由由P0(x)=1, P1(x)=x，利用，利用递推关系递推关系就可推出就可推出16/ )5105315231()(8/ )157063()(8/ )33035()(2/ )35()(2/ )13()(24663552443322 xxxxPxxxxPxxxPxxxPxxP86常用的常用的Gauss型求积公式型求积公式高斯高斯-勒让德勒让德（Gauss-Legendre）公式）公式积分区间积分区间,1,1,ba权函数权函数,1)(xw相应的正交多项式相应的正交多项式为为Legendre多项式。多项式。求积系数求积系数1, 1 ,0)()1 (2)()()(2211nkxPxdx
49、xPxxxPAknknknkk87中矩形公式中矩形公式n0时，节点时，节点x0是一次正交多项式是一次正交多项式xxP)(1的零点，的零点，, 00 x即即求积系数求积系数 2)()1 (2201200 xPxA求积公式求积公式)0(2)(11fdxxf这就是中矩形公式，其截断误差为这就是中矩形公式，其截断误差为1,1)(31)( ffE可知该求积公式具有可知该求积公式具有1 1次代数精度。次代数精度。88两点两点高斯高斯-勒让德勒让德公式公式n n1 1时，节点时，节点10,xx是二次正交多项式是二次正交多项式) 13(21)(22xxP的零点，的零点，,3/10 x3/11x求积系数求积系数
50、1,01)()1 (2222kxPxAkkk即即89两点两点高斯高斯-勒让德勒让德公式公式113求积公式求积公式)31()31()(11ffdxxf称为称为两点两点GaussLegendre公式公式，其截断误差为，其截断误差为1,1)(1351)()4(ffE因此该求积公式具有因此该求积公式具有3次代数精度。次代数精度。90三点三点高斯高斯-勒让德勒让德公式公式n2时，得到时，得到三点三点GaussLegendre公式公式)53(5)0(8)53(591)(11fffdxxf它具有它具有2n15次代数精度。次代数精度。91一般区间的高斯一般区间的高斯-勒让德公式勒让德公式对于一般区间对于一般区
