1、分类计数原理与分步计数原理 （加法与乘法原理） 看下面的问题：看下面的问题： 从甲地到乙地从甲地到乙地,可以乘火车可以乘火车,也可以乘汽车也可以乘汽车.一天中一天中,火车有火车有3班班,汽车有汽车有2班班,那么一天中乘坐那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法走法? 因为一天中乘火车有因为一天中乘火车有3 3种走法种走法, ,乘汽车有乘汽车有2 2种走法种走法, ,每一种走法都可以从甲地到乙地每一种走法都可以从甲地到乙地, ,所以所以共有共有3+2=53+2=5种不同走法种不同走法. .火车火车1火车火车2火车火车3汽车汽车1汽车汽车2
2、甲甲乙乙分类计数原理分类计数原理(加法原理加法原理) 完成一件事完成一件事, ,有有n n类办法类办法, ,在第在第1 1类办法中有类办法中有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2 类办法中有类办法中有m m2 2种不同的方法种不同的方法在第在第n n类办法中有类办法中有m mn n种不同的方法种不同的方法, ,那么完那么完成这件事共有成这件事共有 N=mN=m1 1+m+m2 2+m+mn n种不同的方法种不同的方法. .看下面的问题：看下面的问题： 从甲地到乙地从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到丙地要从甲地先乘火车到丙地,再再于次日从丙地乘汽车到乙地于次日从丙地乘汽车到乙地
3、.一天中一天中,火车有火车有3班班,汽汽车有车有2班班,那么两天中那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不从甲地到乙地共有多少种不同的走法？同的走法？ 这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到达乙地车两个步骤，才能从甲地到达乙地. . 因为乘火车有因为乘火车有3 3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2 2种走法，种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有共有3 32=62=6种不同的走法种不同的走法. .火车火车1火车火车2火车火车3汽车汽车1汽车汽车2丙丙甲甲乙乙分步计数原理分步计数原理(
4、乘法原理乘法原理) 完成一件事完成一件事, ,需要分成需要分成n n个步骤个步骤, ,做第做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,做第做第2 2步有步有m m2 2种不种不同的方法同的方法做第做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法, ,那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=mN=m1 1m m2 2m m3 3m mn n种不同的方法种不同的方法. . 例题分析例题分析例例1.1. 书架的第书架的第1 1层放有层放有4 4本不同的计算本不同的计算机书机书, ,第第2 2层放有层放有3 3本不同的文艺书本不同的文艺书, ,第第3 3层放有层放有2 2本不同
5、的体育书本不同的体育书. .(1)(1)从书架上任取从书架上任取1 1本书本书, ,有多少种不同有多少种不同的取法的取法? ?(2)(2)从书架上的第从书架上的第1,2,31,2,3层各取层各取1 1本书本书, ,有多少种不同的取法有多少种不同的取法? ? 例例2.2.一种号码锁有一种号码锁有4 4个拨号盘个拨号盘, ,每个拨每个拨号盘上有从号盘上有从0 0到到9 9共共1010个数字个数字, ,这这4 4个拨个拨号盘可以组成多少个四位数字号码号盘可以组成多少个四位数字号码? ?例3.要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3 3名工人中选出名工人中选出2 2名分别上日班和晚班名分别上日班和晚班, ,有多
6、少种不同的有多少种不同的选法选法? ?练习：1.1.一件工作可以用一件工作可以用2 2种方法完成种方法完成, ,有有5 5人人会用第会用第1 1种方法完成种方法完成, ,另有另有4 4人用第人用第2 2种种方法完成方法完成, ,从中选出从中选出1 1人来完成这件工人来完成这件工作作, ,不同选法的种数是不同选法的种数是_；2.2.从从A A村去村去B B村的道路有村的道路有3 3条条, ,从从B B村去村去C C村的道路有村的道路有2 2条条, ,从从A A村经村经B B村去村去C C村村, ,不不同的走法的种数是同的走法的种数是_._. 3.现有高中一年级的学生现有高中一年级的学生3 3名名
7、, ,高中二年高中二年级的学生级的学生5 5名名, ,高中三年级的学生高中三年级的学生4 4名名. .(1)(1)从中任选从中任选1 1人参加接待外宾的活动人参加接待外宾的活动, ,有多少种不同的选法有多少种不同的选法? ?(2)(2)从从3 3个年级的学生中各选个年级的学生中各选1 1人参加接人参加接待外宾的活动待外宾的活动, ,有多少种不同的选法有多少种不同的选法? ? 分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于： 分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事； 分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤
8、都完成了，这件事才算完成. 在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？ nmmmN211m2mnnm 分类计数原理分类计数原理 完成一件事，有 类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法，在第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有：n种不同的方法 在由电键组A、B组成的串联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有几种？用0，1，2，9可以组成多少个8位号码； 用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数； 用0，1，2，9可以组成多少个有重复数字的4位整数； 用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；用0，1，2，9可以组成多少个8位整数； 分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系
