1、一元一次方程一元一次方程二元一次方程（组）二元一次方程（组）分式方程分式方程数的开方数的开方二次根式二次根式一元二次方程一元二次方程二次函数二次函数教学目标：教学目标：v1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（元二次方程整理成一般形式（0），并能指），并能指出二次项系数、一次项系数和常数项。出二次项系数、一次项系数和常数项。v2、经历由实际问题抽象出一元二次方程和过、经历由实际问题抽象出一元二次方程和过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一种有效数学模型，增加对一元二次方系的一种有效数学
2、模型，增加对一元二次方程的感性认识。程的感性认识。v3、在实际问题转化为数学模型（、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次一元二次方程方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。必要性和重要性。1、下列式子哪些是方程？、下列式子哪些是方程？2353x25x318x2y5没有未知数没有未知数不是等式不是等式含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程213x不是等式不是等式方程的本质方程的本质特征是什么？特征是什么？2、我们学过哪些方程？、我们学过哪些方程？v一元一次方程、二元一次方程、分式方程。一元一次方程
3、、二元一次方程、分式方程。3、什么叫一元一次方程？方程的、什么叫一元一次方程？方程的“元元”和和“次次”是什么意思？是什么意思？只含有只含有一个未知数一个未知数，并且未知数的，并且未知数的次数是次数是1 1次次的整式方程叫一元一次方程。的整式方程叫一元一次方程。一元一元一次一次v问题问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为房之间，开辟面积为900平方米的一块长方平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长米，那么绿地的长和宽各为多少？和宽各为多少？v问题问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼、绿苑小区住宅设计
4、，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为房之间，开辟面积为900平方米的一块长方平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长米，那么绿地的长和宽各为多少？和宽各为多少？x（x10）问题问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？米，那么绿地的长和宽各为多少？解：设长方形绿地的宽为解：设长方形绿地的宽为x米，米，则长为（则长为（x10）米，可得方程：）米，可得方程： 设未知数设未知数长长宽面积宽
5、面积 相等关系相等关系x（x10）=900， 整理可得：整理可得： （1） 0900102xxv去年底：去年底：5v今年底：今年底：55x5（1x）v明年底：明年底：5（1x）5（1x）xv5（1x）（1x）v5 （1x）2v问题问题2、学校图书馆去年年底有图书、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明万册，预计到明年年底增加到年年底增加到72万册。求这两年的年平均增长率。万册。求这两年的年平均增长率。v解：设这两年的年平均增长率为解：设这两年的年平均增长率为x,v根据题意得方程：根据题意得方程：5（1x）27.2注意：每年都是注意：每年都是在上一年的基础在上一年的基础上增长！上增长！v整理得
6、：整理得： x210 x9000（1）5x210 x2.20 （2） 特征（特征（1） 都是整式方程都是整式方程 （2） 只含有一个未知数只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是未知数的最高次数是2 只含有一个未知数，并且未知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是数的最高次数是2 2的的整式方程整式方程叫做叫做一元二一元二次方程次方程。一元二次方程通常可写成如下的一元二次方程通常可写成如下的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0（a0)特征：方程的左边按特征：方程的左边按x x的降幂排列，的降幂排列，右边右边0 0v练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试练习：下列方程中哪些是一元二次方程
7、？试说明理由。说明理由。3523xx42x212xxx22)2(4xx不是不是是是不是不是不是不是讨论：为什么二次项系数讨论：为什么二次项系数a不能为不能为0？假如？假如a=0会出现什么情况？会出现什么情况？b、c能不能为能不能为0？ax2+bx+c=0（a0)ax2+bx+c=0二次项二次项一次项一次项常数项常数项二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数a0一元二次方程的项和各项系数一元二次方程的项和各项系数 练习练习1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：次项系数和常数项：方程方程二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数项常数项0
8、322 xx0532x032 xx2133051302、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： 2312 xx）（22372xx）（0) 2(3) 12 (3xxxx）（4)5(3) 1(24xxx）（3x21x2=02x27x3=01x25x0=02x25x11=0友情提示：某一项的系数包括它前友情提示：某一项的系数包括它前面的符号。面的符号。五、拓展练习：五、拓展练习：v1、 关于关于x的方程的方程axax2 2 2bx2bxa a2x2x2 2, 在什在什么条件下此
9、方程为一元二次方程？在什么条么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？件下此方程为一元一次方程？v解：移项：解：移项：axax2 2 2bx2bxa a 2x2x2 2 0 0v合并同类项：（合并同类项：（a a2 2）x x2 2 2bx2bxa a0 0v所以，所以，当当a2时是一元二次方程；时是一元二次方程；v当当a2，b0时是一元一次方程；时是一元一次方程；2、已知关于、已知关于x的一元二次方程的一元二次方程(m1)x23x5m40有一根为有一根为2，求，求m。v什么叫方程的根？什么叫方程的根？v能够使方程左右两边相等的未知数的值，能够使方程左右两边相等的未知数的
10、值，叫方程的根。叫方程的根。v解：把解：把x x2 2代入原方程得：代入原方程得：v (m1) 223 2 5m40v解这个方程得：解这个方程得：m63、已知关于、已知关于x的方程的方程是一元二次方程，求是一元二次方程，求m的值。的值。01) 121mmxxmm（v分析：因为方程是一元二次方程，故未知数分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数的最高次数 m +12，v解之得，解之得，m=1或或m=1，v又因二次项系数又因二次项系数m10， 即即m1，v所以所以m=1。温馨提示：注意陷井温馨提示：注意陷井二次项系数二次项系数a0！26.1 二次函数y=ax2的图象和性质1、二次函数的一
11、般形式是怎样的？二次函数的一般形式是怎样的？y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)2.2.下列下列函数中函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？2xy 42312xxy12xxy2xxyxxy12你会用描点法画二次函数y=y=x2 2的图象吗的图象吗? ?观察观察y=y=x2 2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x值值, ,并计算并计算相应的相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：x-3-3-2-2-1-10 01 12 2 3 3y=y=x2 29 94 41 11 10 04 49 9xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点, ,连线连线y= =x2
12、2?2xy 二次函数二次函数y=x2的图象的图象形如物体抛形如物体抛射时所经过射时所经过的路线的路线,我们我们把它叫做把它叫做抛抛物线物线这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点. 议一议议一议(2)图象图象 与与x轴有交点吗？如果有轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么交点坐标是什么?(4)当当x0呢？呢？(3)当当x取什么值时取什么值时,y的值最小的值最小?最小值是什么最小值是什么? 你是如何知道的？你是如何知道的？观察图象观察图象, ,回答问题：回答问题：2xy xyO(1)图
13、象是轴对称图形吗？图象是轴对称图形吗？如果是如果是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？请你找出几对对称点？2xy当当x0 (在对称轴的在对称轴的右侧右侧)时时, y随着随着x的增大而的增大而增大增大. 当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的轴的上方上方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最低点是它的最低点,开口开口向上向上,并且向上无限并且向上无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.(1)(1)二次函数二次函数y=-y=-x2 2的图象是什么形状
14、？的图象是什么形状？ 做一做做一做你能根据表格中的数据作出你能根据表格中的数据作出猜想吗猜想吗？(2)(2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象(3)(3)它与二次函数它与二次函数y=x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x -9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9在学中做在做中学做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点描点, ,连线连线y=-=-x2 2?2xy 当当x0 (在对称轴在对称轴的右侧的右侧)时时, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. y 当当x=
15、 -2时时,y= -4 当当x= -1时时,y= -1当当x=1时时,y= -1当当x= 2时时,y= -4抛物线抛物线y= -x2在在x轴的轴的下方下方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最高点是它的最高点,开口开口向下向下,并且向下无限并且向下无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是0.1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称轴是对称轴是y轴轴. 2.当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它的开口向上它的开口向上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展； 当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y
16、随着随着x的增大而减小；在的增大而减小；在对称轴右侧对称轴右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小. 当当a0时，在对称轴的左侧时，在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在对称轴的右侧对称轴的右侧,y随着随着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大.二次函数y=ax2的性质2axy2axy 做一做做一做(1)抛物线抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 , 在对称轴在对称轴 侧侧,y随着随着x的增大而增大；在对称轴的增大而增大；在对称轴 侧侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小,
17、当当x= 时时,函数函数y的值最小的值最小,最小最小 值是值是 ,抛物线抛物线y=2x2在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外).(2)抛物线抛物线 在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外),在对称在对称轴的左侧轴的左侧,y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧；在对称轴的右侧,y随着随着x的的 ,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是 ,当当x 0时时,y0.232xy六、本课小结：六、本课小结：v1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是数是2的整式方程，叫做一元二次方程。的整式方程，叫做一元二次方程。v2、一元二次方程的一般形式为、一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a0），一元二次方程的项及系数都是根据），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。系数的定义是一致的。v3、一元二次方程是刻画现实世界数量关系的、一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一种有效数学模型。一种有效数学模型。v4、二次函数y=ax2的图象是什么？的图象是什么？v5、二次函数y=ax2的图象有何性质？的图象有何性质？v6、抛物线y=ax2 与与y=-ax2有何关系？有何关系？
