1、河南省洛阳市创新发展联盟2021-2022学年高二下学期第一次联考文科数学试题第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. “所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定是（ ）A. 所有可以被5整除的整数，末位数字都不是5B. 所有不可以被5整除的整数，末位数字不都是5C. 存在可以被5整除的整数，末位数字不是5D. 存在不可以被5整除的整数，末位数字是5【答案】C【解析】“所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定是:存在可以被5整除的整数，末位数字不是5.故选：C.2. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ）A. B.
2、C. D. 【答案】A【解析】由正弦定理得：，令，.故选：A.3. 关于下面演绎推理：大前提：幂函数的图象恒过点.小前提：是幂函数.结论：的图象过点.下列表述正确的是（ ）A. 因大前提错误导致结论错误B. 因小前提错误导致结论错误C. 因推理形式错误导致结论错误D. 此推理结论正确【答案】B【解析】是指数函数，而非幂函数，所以是因小前提错误导致结论错误.故选：B4. 复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】，则对应的点为，位于第四象限.故选：D.5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上有一点，若，则（ ）
3、A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】由双曲线方程知：；根据双曲线定义知：，解得：（舍）或.故选：B.6. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】C【解析】，；，；，；，；.所以的值以，2的形式循环，当时，输出的.故选：C.7. “”是“或”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则A，B没有公共元素，A，B不一定是空集；若或，则.故“”是“或”的必要不充分条件.故选：B.8. 已知函数的图象在处的切线方程为，则（ ）A. 的单调递减区间为，单调递增区间为B. 的单调递减区间为，单
4、调递增区间为C. 的单调递减区间为，单调递增区间为D. 的单调递减区间为，单调递增区间为【答案】B【解析】因为，则，由已知可得，解得，所以，.由，得；由，得故函数的单调递减区间为，单调递增区间为故选：B.9. 世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离已知复数满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，对应的点的轨迹为圆；的几何意义为点到点的距离，.故选：C.10. 在三角形中，我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心，且重心到任一顶点的距离是到对边中点距离的2倍. 类比上
5、述结论可得：在三棱锥中，我们将顶点与对面重心的连线称为三棱锥的“中线”，将三棱锥四条“中线”的交点称为三棱锥的“重心”. 则三棱锥的“重心”到顶点的距离是到对面重心距离的（ ）A. 倍B. 2倍 C. 倍D. 3倍【答案】D【解析】如图，在四面体中，为的中点，连接，且，分别为，的重心，交于点，在中，分别为，的三等分点，则，所以，即与相似，比例为1：3，所以，故三棱锥的“重心”到顶点的距离是到对面重心距离的3倍.故选：D.11. 已知，分别为椭圆的左右焦点，是上一点，为坐标原点，过点作的角平分线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】延长交直线于点.因为为
6、的角平分线，且，所以，所以.因为，分别为，的中点，所以为的中位线，所以，所以.由椭圆的定义知，不妨设，则，.在中，因为，所以，所以，所以.因为，所以，故.故选：D.12. 已知正数，满足，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，令，则，当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值故选：B.第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13. 若实数满足，则的最大值为_【答案】【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，由得：，则取最大值时，在轴截距最大；由图形可知：当过点时，在轴截距最大，由得：，即，.故答案为：.14. 在中，内角，的对边分别
7、为，若，则_【答案】【解析】由正弦定理，所以，可得，显然，所以所以故答案为：15. 观察下列各式：，据此规律，推测第个式子为_.【答案】【解析】由，可得，成以为首项，为公比的等差数列，故第项为，故第个式子为，故答案为：.16. 已知函数在上恰有一个极值，则_.【答案】1【解析】因为，所以.因为在上恰有一个极值，所以在上恰有一个变号零点，即函数上恰有一个变号零点.令，则.当时，；当时，.故在，上单调递减，在上单调递增.因为，所以的大致图象如图所示，因为函数在恰有一个变号零点，所以，此时函数在上恰有一个极值.三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 北京
8、冬奥会的举办，不仅带动了3亿人参与冰雪运动，更是激发了全民健身的热情.冰雪运动的开展，全民健身的顺利推进，为建设体育强国奠定了坚实基础.随着冰雪运动“南展西扩东进”战略的实施，冰雪运动已不再局限于一些传统冰雪省市.某调查中心为了解市民参与冰雪运动的情况，从A城和B城各随机抽取100人，调查这些人是否参与过冰雪运动，得到了如下列联表：参与过冰雪运动没有参与过冰雪运动合计A城60100B城70合计200（1）完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否参与冰雪运动与城市有关；（2）依据统计表，按城市用分层抽样的方法从“参与过冰雪运动”的人中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求A城和B城恰好各
9、1人的概率.附：，.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828解：（1）列联表如下：参与过冰雪运动没有参与过冰雪运动合计A城6040100B城3070100合计90110200因为，所以有99.9%的把握认为是否参与冰雪运动与城市有关.（2）按照分层抽样，从A城抽取4人，记为a，b，c，d，从B城抽取2人，记为e，f.从这6人中抽取2人的所有情况有，共15种，其中A城和B城恰好各1人的情况有，共8种，所以所求概率为.18. 近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品.某用户对自己发布
10、的视频个数x与收到的点赞个数之和y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：x34567y4550606570（1）计算x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.参考公式：，参考数据：，.解：（1）因为，所以，.因为，所以所以，由此可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强.（2）由（1）知，所以.因为，所以y关于x的线性回归方程为.19. 已知函数.（1）若在上不单调，求a的取值范围；（2）若的最小值为，求a的值.解：（1）.若上单调，则在上恒成立，
11、所以在上恒成立，所以，即.因为在上不单调，所以a的取值范围是.（2）.当时，在上单调递增，此时无最值.当时，令，得，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值是，则.令则，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以方程只有一个根，所以故a的值为.20. 已知函数.（1）用反证法证明方程没有负根.（2）证明：过点有且仅有两条直线与曲线相切.证明：（1）假设方程有负根，即.因为，所以.因为，所以.由，解得，与矛盾，所以假设不成立，故方程没有负根.（2）设切点为，则.因为，所以，所以曲线在处的切线方程为.将代入上式并化简得.方程显然有一个根.令，因为在上为增函数，在，上单调递增，所以在
12、，上单调递增.当时，所以在上没有零点，因为，所以在上有唯一零点，所以有且仅有两个不同的根，即过点有且仅有两条直线与曲线相切.21. 已知在数列中，且在数列中，且（1）证明：数列为等比数列（2）求数列和数列的通项公式（1）证明：由，可得， 即,因为，所以是以3为首项，3为公比的等比数列（2）解：由（1）可得：，所以；由，得，所以设，则，两式相减得，故，因为，所以，因为，所以22. 已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，过F且垂直于x轴的直线交抛物线C于M，N两点，的面积为.（1）求抛物线C的方程.（2）过作两条直线与抛物线C分别交于A，B和C，D，再分别以线段AB和CD为直径作圆，两圆的公共弦
13、所在直线记为l，试判断l是否过定点.若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.解：（1）由题知，令，代入，得，所以，所以，解得，所以抛物线C的方程为：.（2）当直线AB和CD的斜率都存在时，设直线AB：，CD：，联立方程组,消去y，得，设，则，.因为以线段AB为直径的圆的方程为，所以以线段AB为直径的圆的方程为.同理，以线段CD为直径的圆的方程为，所以两圆的公共弦所在直线l的方程为，令，解得所以直线l过定点.当直线AB和CD的斜率有一个不存在时，根据对称性，不妨设AB的斜率不存在，CD的斜率为，因为以线段AB为直径的圆的方程为，以线段CD为直径的圆的方程为，所以两圆的公共弦所在直线l的方程为，此时，直线l过定点.综上，直线l过定点.
