1、浙江省杭州市2021-2022学年高二下学期开学测试数学试卷考生须知：1本卷满分150分，考试时间120分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题纸。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、错选、多选均不得分）1直线x2y10的一个方向向量是（ ）A(1，2) B(1，2) C(2，1) D(2，1)2双曲线的离心率是（ ）A B C D3在等比数列an(anR)中，若a3a5a7a9a11243，则的值为（ ）A9
2、B1 C2 D34设平面与平面相交于直线l，直线a在平面内，直线b在平面内，且bl，则“”是“ab”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5已知向量n(2，0，1)为平面a的法向量，点A(1，2，1)在内，则点P(1，2，2)到平面的距离为（ ）A B C D6已知AB是椭圆一条弦，且弦AB与直线l：x2y30垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（ ）A B C D7通项公式为anan2n的数列an，若满足a1a2a3a4a5，且anan1对n8恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A B C D8如图，设正方体ABCDA1B1C1D1的
3、棱长为1，点P是正方体ABCDA1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点（含边界），M是棱CC1的中点若，则点P在侧面ADD1A1上运动路径的长度是（ ）A B C D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9已知直线l：(a2a1)xy10，其中aR，则下列说法正确的是（ ）A当a1时，直线l与直线xy0垂直 B若直线l与直线xy0平行，则a0 C直线l的倾斜角一定大于30 D当a0时，直线l在两坐标轴上的截距相等10已知圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y22x4y0相
4、交于A，B两点，则有（ ）A公共弦AB所在的直线方程为xy0 B公共弦AB的长为 C圆O2上到直线AB距离等于1的点有且只有2个DP为圆O上的一个动点，则P到直线AB距离的最大值为11设数列an的前n项和为Sn，且满足a11，则下列说法中正确的有（ ）Aa42 Ban是周期数列 Ca20222 DS182112知圆O的半径为1，点A是圆O所在平面上的任意一点，点B是圆O上的任意一点，线段AB的垂直平分线交半径OB所在的直线于点P当点B在圆上运动时，则下列说法中正确的是（ ）A当点A与点O重合时，动点P的轨迹是一个圆 B当点A在圆内且不同于点O时，动点P的轨迹是椭圆，且该椭圆的离心率e随着的增大
5、而增大C当点A在圆上且不同于点B时，动点P的轨迹不存在 D当点A在圆外时，动点P的轨迹是双曲线，且该双曲线的离心率e随着的增大而增大三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知双曲线(a0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 14斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则 15在数列an中，Sn为它前n项和，已知a21，a36，且数列an+n是等比数列，则Sn 16如图，在四棱台中，则(x, yR)的最小值是 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17（本题满分10分）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线
6、段MN的中点设，（）用，表示向量；（）若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号）；，；，）则可求出的值；并求出的大小18（本题满分12分）设点O为坐标原点，曲线上有两点P，Q满足关于直线对称，又满足（）求m的值；（）求直线PQ的方程19（本题满分12分）已知正项数列an的前n项和为Sn，且2a1Snan2an（）求数列an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和Tn20（本题满分12分）已知抛物线C：y22px过点P(1，1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点（）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求
7、证：A为线段BM的中点21（本题满分12分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADCDCB2，ABC，四边形ACFE是矩形，且AE2，（）求证：BC平面ACFE；（）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值22（本题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是（）求椭圆C的方程；（）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（）在（）的条件下，求PAB面积的最大值【参考答案】一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
8、不选、错选、多选均不得分）题目12345678答案DBDABDAC二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题目9101112答案ACACDBCDABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15 16四、解答题（本大题共6小题，共70分）17（本题满分10分）【解】（）；（）.18（本题满分12分）【解】（）曲线方程可化为(x1)2(y3)29，是圆心为(1，3)，半径为3的圆.因为点P，Q在圆上且关于直线xmy40对称，所以圆心(1，3)在直线xmy40上
9、，代入得m1（）因为直线PQ与直线yx4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)则直线PQ的方程为yxb. 将直线yxb代入圆的方程，得2x22(4b)xb26b10，4(4b)242(b26b1)0，解得.x1x2b4，y1y2(x1b)(x2b)b2b(x1x2)x1x2，因为0，所以x1x2y1y20，即，得b1.故所求的直线方程为yx1.19（本题满分12分）【解】（）由题意得，当n1时，2a12a12a1，又an0，a11，当n2时，由2Snan2an得2Sn1an12an1两式相减得2anan2an12anan1，即(anan1)(anan11)0，又an0，anan11，
10、数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，ann；（）由（）得20（本题满分12分）【解】（）由抛物线C：y22px过点P(1，1)，得所以抛物线C的方程为y2x，其焦点坐标为，准线方程为；（）由题意，设直线l的方程为，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由，得则，因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，y1)直线ON的方程为，点B的坐标为所以故A为线段BM的中点21（本题满分12分）【解】（）证明：在梯形ABCD中，ABCD，ADCDCB2，ABC60，四边形ABCD是等腰梯形，ADC120，DCADAC30，DCB120，ACBDCBDC
11、A90，ACBC，又矩形ACFE中，CFAE2，又有BF，CB2，CBCF，又ACCFC，BC平面ACFE.（）以C为坐标原点，以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，以CF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系：，所以，设平面BEF的法向量为，所以，即，令y1，则x0，z1，n(0，1，1)，故直线BD与平面BEF所成角的正弦值是22（本题满分12分）【解】（）设椭圆C的方程为由题意，解得a24，b22所以，椭圆C的方程为故点P(1，)（）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，则PB的直线方程为由得，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则，同理可得所以直线AB的斜率为定值（）设AB的直线方程为，由椭圆的方程可得点P(1，)，根据点到直线的距离公式可得因为m24使判别式大于零，所以当且仅当m2时取等号，所以PAB面积的最大值为.
