1、应用概率统计注意注意离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求:(1)由y=g(x)计算出随机变量Y的所有取值y1,y2,.,yn,.;(2)P(Y=yn)为yn 对应的随机变量X的取值的概率和.X x1 x2 . xn .g(X) g(x1) g(x2) g(xn) P p1 p2 . pn . 离散型随机变量函数的概率分布离散型随机变量函数的概率分布:2.3. 随机变量函数的分布随机变量函数的分布定理定理1 设XfX(x),y=g(x)是x的单调可导函数,其导数不为0,值域为(a,b),-ab+,记x=h(y)为y=g(x)的反函数,则Y=g(X)的概率密度函数为:其它0bya| )y(h
2、|)y(hf)y(fXY连续型随机变量函数的概率密度函数连续型随机变量函数的概率密度函数 随机向量及其概率分布随机向量及其概率分布随机向量的联合分布函数随机向量的联合分布函数随机变量函数的分布随机变量函数的分布1. n 维随机向量维随机向量 以 n 个随机变量 X1，X2，Xn 为分量的向量 X=(X1,X2,Xn)称为n n维随机向量维随机向量。以下主要研究二维离散型及连续型随机向量离散型及连续型随机向量的情形。2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布定义定义 如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限个或至多可列个，则称随机向量
3、（X,Y）为离散型的离散型的。易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量X与Y分别都是一维离散型的。第第3.13.1节节 随机向量及其概率分布随机向量及其概率分布 例如射击一次.问击中否?击中几环?击中点的坐标?击中点到靶心的距离?称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,)为(X,Y)的联合概率分布联合概率分布. .其中E=(xi,yj),i,j=1,2,.为(X,Y)的取值集合,表格形式如下:x1x2x iy1 y2 y j p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 p i j Y计算P(X,Y)D D =Dyxijjip)(,联合概率分布性
4、质联合概率分布性质 pij0 ;i,j=1,2,pij = 1;联合概率分布联合概率分布(1) (1) 定义定义 随机向量X=（X1,X2,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关于Xi的边缘分布边缘分布。(2) (2) 边缘分布列边缘分布列对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列边缘分布列。若(X,Y)的联合概率分布为pij=PX=xi,Y=yj),i,j=1,2,.,则 ()()()iijjP XxPXxYy ()()ijjPXxYy (,)ijjP Xx Yy jijp(i=1,2,.)同理同理()jijiP Yyp 一般地一般地,记:P(X=xi)Pi .P(Y=yj)
5、P. j(j=1,2,.)概率分布表如下:边缘概率分布边缘概率分布 XY.jyyy21ixxx21ij2i1ij22221j11211pppppppppiP . 2. 1ippp. jPj .2 .1 .ppp独立性独立性 若(X,Y)的联合概率分布满足 PX=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )称X与Y独立。例例1 某盒子中有形状相同的2个白球， 3个黑球。从中一个个取球，令。YY)3(;)2(；），Y（Y)(1(:2,1ii0i1Y2121i的的独独立立性性与与讨讨论论边边缘缘概概率率分分布布的的联联合合概概率率分分布布求求分分放放回回或或不不放放回回情情形形次次取取黑黑球球第
6、第次次取取白白球球第第 Y201 Y1 0 1 3/10 3/10 3/10 1/10 Y1 0 1P 3/5 2/5 Y2 0 1P 3/5 2/5 Y1 0 1P 3/5 2/5 Y2 0 1P 3/5 2/5 Y201 Y1 0 1 9/25 6/25 6/25 4/25 不放回放回PX=xi,Y=yj) P(X=xi)P(Y=yj )不独立独立PX=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )例例2 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05求:(1)常数a的取值; (2)P(X0,Y1)
7、; (3) P(X1,Y1)解解 (1)由pij=1得: a=0.1(2)由P(X,Y)D D=Dyxijjip)(,得 P(X0,Y1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X1,Y1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75-10121PX0,Y1P(X1,Y1例例3 设(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.
8、2 0.05求:(1)X,Y的边缘分布; (2)X+Y的概率分布.解解 (1)由分析得:X -1 0 1P 0.25 0.4 0.35Y 0 1 2P 0.25 0.5 0.25(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4同理,P(X+Y=2)=0.3,X+Y -1 0 1 2 3 P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05P(X+Y=3)=0.05所以例例4 设随机变量X和Y相
9、互独立,试将下表补充完整.Xx1x2Y y1 y2 y31/81/8 ipjp1/611/241/41/121/21/33/43/81/4定义定义F(x,y )=PXx,Yy (x,y)R2第第3.23.2节节 随机向量的联合分布函数随机向量的联合分布函数二维随机向量(X,Y)的联合分布函数联合分布函数为为x yXxYy , (x,y); 1),(0) 1 (yxF; 0),(),(),(, 1),()2( xFyFFF),(),(),(),(),()3(112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP xxyyijijp则 F(x,y)=PXx，Yy= (4)如果(X,Y)为离
10、散型随机向量,其联合概率分布为ijjipyYxXP),(), 2 , 1, 2 , 1(ji联合分布函数性质联合分布函数性质x1y1(x1,y1)x2y2(x2,y2)(x1,y2)(x2,y1),(),(),(),(),()3(112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP性质性质 (1) f(x,y)0 (1) f(x,y)0 ，(x,y)R(x,y)R2 21y)dxdyf(x,(2)2RDy)dxdyf(x,DY)P(X,计算1dxdy)y, x(f 其中D为任意可度量区域.yYx,PXy)F(x, xydtds)t , s( f3. 连续型随机向量的联合概率密度连续型
11、随机向量的联合概率密度特别特别 在f(x,y)的连续点有 ),(),(2yxfyxyxF例例5 5设(X,Y)其它,00y,0 x,Ae)y, x( f)y3x2( 试求:(1)常数 A ;(2)P X2, Y1;(4) P（Xx,Yy）.解解 (1) dxdy)y , x( f 00)y3x2(dxdyAe 00y3x2dxdyeAebadcbadcdy)y(gdx)x( fdy)y(g)x( fdx得据所以, A=600y3x2dyedxeA0)e31(0)e21(Ay3x2=A/6 =1(3)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.0)y3x2(e6所以,P X2,Y1=21Dy)dxd
12、yf(x,DY)P(X,(2)1Y2,Xy)dxdyf(x,X2, Y1X2, Y12010)y3x2(dye6dx2010y3x2dyedxe62321116()()2030 xyee43(1)(1)ee(3)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.)y3x2(e6322x+3y=6Dy)dxdyf(x,DY)P(X,63y2xy)dxdyf(x,030)x26(310)y3x2(dye6dx32301(62 )16() 330 xyxeedx 32602()xeedx 6e71(4)x)y3x2(e60y所以, 当x0,y0时,yYx,PXy)F(x, xydtdstsf),( xytsd
13、tdse00)32(6x0y0t3s2dtedse60y)e31(0 x)e21(6t3s2)e1)(e1(y3x2即:23(1)(1)0,0(,)0yxeexyP Xx Yy 其其它它例例6 设(X,Y)其它01y0 , 1x0 xy4)y, x(f求(X,Y)的联合分布函数.11解解 (1)x0,或y1时,F(x,y)=1004stdtdsx2x(5)x1,0y1时,F(x,y)=ystdtds01042yxyXY4xy综合即得:1, 1110 , 11, 1010 , 10000),(2222yxyxyyxxyxyxyxyxF或定义定义 设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,
14、y),则称 xXxxXdssfdsdttsfdtdstsfxXPYxXPxFxF)(),(),()(),(),()( yYyyYdttfdtdstsfdsdttsfyYPyYXPyFyF)(),(),()(),(),()(分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数边缘分布函数.联合分布函数与边缘分布函数的关系联合分布函数与边缘分布函数的关系对于连续型随机向量(X,Y)f(x,y),分量X,Y的密度函数称为边缘密度函数边缘密度函数。已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。dxyxfyfyfdyyxfxfxfYX),()()(),()()(21事实上事实上, (1)f1(x)0,(2) 若ab,则P
15、aXb=PaXb,-Y1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0当|x|1时,2222x1x1x1x11dy)y, x(f)x(f22x1x1dy12x12所以,1|x|01|x|x12)x(f211|y|01|y|y12)y(f22同理,均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布不独立)(2)()1 ( 21exp121),(22222112112221yyxxyxf),(),(222121NYX定义定义 如果(X,Y)的联合密度函数为其中则称(X,Y)服从参数为 的二维正态分布,简记为,222121, 1| , 0, 0,222121(2) (2) 二维正态
16、分布二维正态分布则X,Y的边缘概率密度分别为 XN(1,12), Y N(2,22);可以证明可以证明 若),(),(222121NYX即即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布.由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概率密度,反之不一定成立.例例9 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为),()1 (21),(222yxxyeyxfyx求(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度.解解 dyxyedyyxfxfyxX)1 (21),()(222dyxyedyeyxyx)(21222222dyyexdyeeyyx22222221dyeeyx222221212221xe即 22
17、21)(xXexf同理可得2221)(yYeyfX,Y的边缘概率密度为一维正态分布.所以所以,边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一定是二维正态分布一定是二维正态分布.P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)1.1. 设随机变量X，Y是相互独立的，且X,Y等可能地取0，1为值，求随机变量Z=max(X,Y)的分布列。解解X 0 1P 1/2 1/2Y 0 1P 1/2 1/2(X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),Z=max(X,Y)的取值为:0,1P(Z=0)=P(X=0,Y=0)= P(X
18、=0)P(Y=0) =1/4P(Z=1)=3/4所以,Z的分布列为Z 0 1P 1/4 3/4课堂练习课堂练习2.2. 已知随机向量(X,Y)的联合密度为 .,0;0y,0 x,e)y, x(fyx其他(1)问X与Y是否独立？(2)求概率PXY.解解 (1)0 x00 xedye)x(f0 x)yx(10y00yedxe)y(f0y)yx(2(2)P(X0时,f1(x)=dy)y, x( fdyexyxeye所以,0 x00 xe)x(fx1 PX+Y1=y=xx+y=11/22/10 x1xydyedx211e2e1x1x2x iy1 y2 y j p11 p12 p1j p21 p22 p
19、2j pi1 pi2 p i j Y计算P(X,Y)D D =Dyxijjip)(,联合概率分布性质联合概率分布性质 pij0 ;i,j=1,2,pij = 1;联合概率分布联合概率分布小结小结: :(1) (1) 定义定义 随机向量X=（X1,X2,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关于Xi的边缘分布边缘分布。(2) (2) 边缘分布列边缘分布列对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列边缘分布列。边缘概率分布边缘概率分布 XY.jyyy21ixxx21ij2i1ij22221j11211pppppppppiP . 2. 1ippp. jPj .2 .1 .ppp定义定义F
20、(x,y )=PXx,Yy (x,y)R2随机向量的联合分布函数随机向量的联合分布函数二维随机向量(X,Y)的联合分布函数联合分布函数为为; 1),(0) 1 (yxF; 0),(),(),(, 1),()2( xFyFFF),(),(),(),(),()3(112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP xxyyijijp则 F(x,y)=PXx，Yy= (4)如果(X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为ijjipyYxXP),(), 2 , 1, 2 , 1(ji联合分布函数性质联合分布函数性质性质性质 (1) f(x,y)0 (1) f(x,y)0 ，(x,y)R(x
21、,y)R2 21y)dxdyf(x,(2)2RDy)dxdyf(x,DY)P(X,计算1dxdy)y, x(f 其中D为任意可度量区域.yYx,PXy)F(x, xydtds)t , s( f连续型随机向量的联合概率密度连续型随机向量的联合概率密度特别特别 在f(x,y)的连续点有 ),(),(2yxfyxyxF定义定义 设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,y),则称 xXxxXdssfdsdttsfdtdstsfxXPYxXPxFxF)(),(),()(),(),()( yYyyYdttfdtdstsfdsdttsfyYPyYXPyFyF)(),(),()(),(),()(分别
22、为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数边缘分布函数.联合分布函数与边缘分布函数的关系联合分布函数与边缘分布函数的关系对于连续型随机向量(X,Y)f(x,y),分量X,Y的密度函数称为边缘密度函数边缘密度函数。已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。dxyxfyfyfdyyxfxfxfYX),()()(),()()(21边缘密度函数边缘密度函数连续型离散型是相互独立的与随机变量)y(f )x(f)y, x( fpppYX21j . iij定理定理1若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X )与h(Y)也相互独立。特别有特别有 aX+b与cY+d相互独立.定理定理2 随机变量的相互独立性随机变量的相
23、互独立性其它0D)y, x(S1)y, x(fD(1) 均匀分布均匀分布 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为常见的二维连续型随机向量常见的二维连续型随机向量)(2)()1 ( 21exp121),(22222112112221yyxxyxf),(),(222121NYX定义定义 如果(X,Y)的联合密度函数为其中则称(X,Y)服从参数为 的二维正态分布,简记为,222121, 1| , 0, 0,222121(2) (2) 二维正态分布二维正态分布则X,Y的边缘概率密度分别为 XN(1,12), Y N(2,22);可以证明可以证明 若),(),(222121NYX即即 二维正态分布(X
24、,Y)的边缘概率密度是一维正态分布.由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概率密度,反之不一定成立.应用概率统计主讲:刘剑平 例例1010设随机变量X1与X2相互独立，分别服从二项分布和 ，求Y=X1+X2的概率分布.3.3 随机向量函数的分布随机向量函数的分布 解解 依题知X+Y的可能取值为0,1,2,.,n1+n2,因此对于k (k= 0,1,2,.,n1+n2)，由独立性有 kkkknkknknkknkkkppCppCkXkXPkYP21222221111121)1()1(),()(2211 kkkknnkknknppCC21212211)1(knnkkkknknCCC2121
25、2211 由得knnkknnppC2121)1 ()(kYP 所以Y=X1+X2服从二项分布离散型随机向量函数的分布离散型随机向量函数的分布),(1pnB),(2pnB),(21pnnB类似可得: 若X,Y相互独立,XP(1),YP(2),则 X+YP(1+2)Possion分布的可加性分布的可加性若X与Y相互独立，XB(n1,p)，B(n,p)，则X+YB(n1+n2,p)即: 二项分布的可加性二项分布的可加性(X,Y) ( x1,y1 ) (x1,y2) . (xn,ym) .g(X,Y) g(x1,y1) g(x1,y2) g(xn,ym) P p11 p12 . pnm . 注:g(x
26、1,y1) , g(xn,ym) 从小到大排,相同的并在一起离散型随机向量函数离散型随机向量函数Z=g(X,Y)的概率分布的概率分布:例例11 设(X,Y)的联合概率分布为:X-10Y 0 1 2 0.4 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1求:(1)X+Y,XY,X2+Y2的概率分布.(X,Y) (-1,0) (-1,1) (-1,2) (0,0) (0,1) (0,2)X+Y -1 0 1 0 1 2XY 0 -1 -2 0 0 0X2+Y2 1 2 5 0 1 4 P 0.4 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1X+Y -1 0 1 2P 0.4 0.2 0.3 0.1XY -2 -
27、1 0 P 0.1 0.1 0.8X2+Y2 0 1 2 4 5 P 0.1 0.6 0.1 0.1 0.1 设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y).(1) 求Z的分布函数),()()(zYXgPzZPzFzyxgdxdyyxf),(),(2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).随机变量函数的概率密度函数求法随机变量函数的概率密度函数求法-分布函数法分布函数法例例12 设随机变量X与Y独立，概率密度函数为其他其他002)(,002)(22yeyfxexfyYxX.22的概率密度函数求YXZ解解 (X,Y)的联合密度函数为其他00, 04),()(22yx
28、eyxfyx0)()()(,0) 1 (22zYXPzZPzFzZ时dxdyyxfzFzzyxZ22),()(,时0)2(dxdyezYXyx2222)(420z0rdrred4221ze0)(zfZ22)(zZzezf所以,0002)(2zzzezfzZ例例13 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= X+Y的概率密度函数.解解dxdyyxfxz ),( dxxzfxfdxxzxfzfZ)(),()(21）独立独立连续型随机变量和的概率密度函数连续型随机变量和的概率密度函数 zyxZdxdyyxfzYXPzF),()(同理dydxyxfyz ),( dyy
29、fyzfdyyyzfzfZ)(),()(21）独立独立 zyxZdxdyyxfzYXPzF),()(例例14 设随机向量(X,Y)的概率密度为.(2 )20,0( , ),0 xyexyf x yZXY求的概率密度其他22000000201 20zz xxyzzzze dxedyzeez00)1(20)( zzeezfzzZ zyxZdxdyyxfzYXPz：F),()(解解例例15 设随机变量X和Y相互独立,且均服从标准正态分布N(0,1),求Z= X+Y的概率密度函数.解解 由题意得 dxxzfxfzfZ)()()(2122212221)(,21)(yxeyfexf X和Y相互独立,故 d
30、xeexzx2)(22221 dxeezxz22)2(421 22zxt 令令 dteetz2422221 4221ze )2 , 0( NZ结论结论 两个独立正态分布随机变量的和仍服从正态分布.X+YN(1+ 2,12+ 22)正态分布的可加性正态分布的可加性即:若X1N(1,12), X2N(2,22), X,Y独立,则推论推论 有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布.即:若XiN(i,i2), (i=1,2,.n), X1,X2, .Xn相互独立,实数 不全为零,则)a,a(NXan1i2i2in1iiin1iii 特别特别, 若若X1,X2, .Xn独立同服从正态分布独立同服从正
31、态分布N(,2) ,记记:n1ii,Xn1X)n,(NX2则naaa,21例例16 设随机变量X与Y独立，概率密度函数为0y00ye)y(f,01x01)x(fyYX其他).z(fYX2ZZ的的概概率率密密度度求求 000)(,02021)(2yyeyfxxfyYX其其他他解解：2( )( )()ZXYfzfx fzx dx()02()200011(1)022211(1)222zz xzz xzzedxezedxeez zZZzzefzFzzeez2001( )( )022(1)22 另解另解:2220012200001( )( )( )02222(1)122zzxzyZXYx y zzxzy
32、zzeF zfx fy dxdydxe dyzeedxe dyz 例例17 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= X-Y的概率密度函数.解解( , )y zf x y dx dy12( )(, )( )Zfzf yz y dyf yz fy dy）( )( , )ZxyzFzP XYzf x y dxdy 同理12( )( ,)( )()Zfzf x xz dxf x fxz dx独立独立例例18 设随机向量(X,Y)的概率密度为.()0,0( , ),0 x yexyf x yZXY求的概率密度其他0000021002y zzyxzy zzyxee dy
33、e dxzzeze dye dxz02( )202zzZzezefzez( )( , )Zx y zFzP XYzf x y dxdy 解:另解另解( )(, )Zfzf yz y dy()()002( )202zy zyzzZzy zyeedyzefzeedyz 例例19 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= XY的概率密度函数.解解00( , )( , )yzyzf x y dx dyf x y dx dy12( )(, )( )Zfzy f yz y dyy f yz fy dy）/( )/( , )Zx yzFzP X Yzf x y dxdy独立
34、例例20 设随机变量X与Y独立，同服从N(0,1),求Z=X/Y的概率密度.12( )(, )( )Zfzy f yz y dyy f yz fy dy解：）独立2222()(1)222201112(1)()yyzzyy eedyyedyzz 例例21 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= XY的概率密度函数.解解0/0( , )( , )z xz xf x y dy dxf x y dy dx1211( )( , )( )( )Zzzfzf xdxf x fdxxxxx( )( , )Zxy zFzP XYzf x y dxdy独立同理1211( )(,
35、 )( )( )Zzzfzfy dyffy dyyyyy独立例例22 设随机变量X与Y独立，同服从 U(0,1),求Z=XY的概率密度.1211( )( , )( )( )Zzzfzf xdxf x fdxxxxx解：独立11000ln0111 1ln01011 001zzzzdxzzxdxzx 其他极值分布极值分布 设随机变量X和Y相互独立, 分布函数分别为FX(x)和FY(y),求Z=max(X,Y), Z=min(X,Y) 的分布函数.解解( )max(,), ( )( )ZXYFzPX YzP Xz YzP Xz P YzFz Fz独立同理独立( )min(,)1,1 1(1( )(1
36、( )ZXYFzPX YzP Xz YzP Xz P YzFzFz 例例23 系统如图,每个元件寿命服从 , 求系统寿命的概率密度.解解01( ),( );00 xijijxeLEFxx 12333min(,),1,201( )1(1( );00iiiiixLLLixeFyF xx ( )EL23L21L22L11L13L12L23L21L22L11L13L1212max, 12320(1)( )( )( );00zzeFzFy Fyz3306(1)( )( ).00zzzeefzFzzP(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)1.1. 设随机变量X，Y是相互独立的，且X
37、,Y等可能地取0，1为值，求随机变量Z=max(X,Y)的概率分布。解解X 0 1P 1/2 1/2Y 0 1P 1/2 1/2(X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),Z=max(X,Y)的取值为:0,1P(Z=0)=P(X=0,Y=0)= P(X=0)P(Y=0) =1/4P(Z=1)=3/4所以,Z的分布列为Z 0 1P 1/4 3/41:已知二维随机变量 的概率分布为1211/21/421/40求：1. , 的边缘概率分布。 2. 是否相互独立？为什么？),(,1339111124416, ;PPP 不不独独立立 123/41/4 123/41/4PP课堂练
38、课堂练习习(X,Y) ( x1,y1 ) (x1,y2) . (xn,ym) .g(X,Y) g(x1,y1) g(x1,y2) g(xn,ym) P p11 p12 . pnm . 注:g(x1,y1) , g(xn,ym) 从小到大排,相同的并在一起离散型随机向量函数离散型随机向量函数Z=g(X,Y)的概率分布的概率分布:小结: 若X,Y相互独立,XP(1),YP(2),则 X+YP(1+2)Possion分布的可加性分布的可加性若X与Y相互独立，XB(n1,p)，B(n,p)，则X+YB(n1+n2,p)二项分布的可加性二项分布的可加性结论结论 两个独立正态分布随机变量的和仍服从正态分布
39、.X+YN(1+ 2,12+ 22)正态分布的可加性正态分布的可加性即:若X1N(1,12), X2N(2,22), X,Y独立,则设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y).(1) 求Z的分布函数),()()(zYXgPzZPzFzyxgdxdyyxf),(),(2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).随机变量函数的概率密度函数求法随机变量函数的概率密度函数求法-分布函数法分布函数法设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= X+Y的概率密度函数.解解dxdyyxfxz ),( dxxzfxfdxxzxfzfZ)(),()(
40、21）独立独立连续型随机变量和的概率密度函数连续型随机变量和的概率密度函数 zyxZdxdyyxfzYXPzF),()(同理dydxyxfyz ),( dyyfyzfdyyyzfzfZ)(),()(21）独立独立 zyxZdxdyyxfzYXPzF),()(设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= X-Y的概率密度函数.解解( , )y zf x y dx dy12( )(, )( )Zfzf yz y dyf yz fy dy）( )( , )ZxyzFzP XYzf x y dxdy 同理12( )( ,)( )()Zfzf x xz dxf x fxz
41、dx独立独立设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= XY的概率密度函数.解解00( , )( , )yzyzf x y dx dyf x y dx dy12( )(, )( )Zfzy f yz y dyy f yz fy dy）/( )/( , )Zx yzFzP X Yzf x y dxdy独立设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= XY的概率密度函数.解解0/0( , )( , )z xz xf x y dy dxf x y dy dx1211( )( , )( )( )Zzzfzf xdxf x fdxxxxx( )( , )Zxy zFzP XYzf x y dxdy独立同理1211( )(, )( )( )Zzzfzfy dyffy dyyyyy独立极值分布极值分布 设随机变量X和Y相互独立, 分布函数分别为FX(x)和FY(y),求Z=max(X,Y), Z=min(X,Y) 的分布函数.解解( )max(,), ( )( )ZXYFzPX YzP Xz YzP Xz P YzFz Fz独立同理独立( )min(,)1,1 1(1( )(1( )ZXYFzPX YzP Xz YzP Xz P YzFzFz
