1、3.2.1 3.2.1 复数代数形式的加、减运算复数代数形式的加、减运算及其几何意义及其几何意义1.1.OZ复数复数z=a+biz=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应向量向量一一对应一一对应一一对应一一对应2.2.复数与其相对应的向量的模相等，即：复数与其相对应的向量的模相等，即：所以所以 对应平面向量对应平面向量 的模的模| |，即即复数复数 z=a+biz=a+bi在复在复平面上对应的点平面上对应的点Z(Z(a a, ,b b) )到原点的距离。到原点的距离。OZ OZ | z |
2、 = 22ba 问题： 复数的模为一实数。则复数的模可以进行加、减、乘、除四则运算。 那么，复数本身是否也可以进行加、减、乘、除四则运算呢？1.1.复数代数形式的加、减法运算法则，即：复数代数形式的加、减法运算法则，即： z z1 1+z+z2 2= =？ z z1 1-z-z2 2= =？2.2.复数代数形式的加、减运算的几何意义；复数代数形式的加、减运算的几何意义；3.3.特别的：特别的： 的几何意义。的几何意义。21zz 1.复数加、减法的运算法则：复数加、减法的运算法则：(1)(1)运算法则运算法则: :设复数设复数z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di,=c+di,
3、 那么：那么：z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i=(a+c)+(b+d)i; ; z z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)+(b-d)i. .即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是实部与就是实部与实部实部, ,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).(2)(2)复数的加法满足复数的加法满足交换律交换律、结合律结合律, ,即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,有有z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2
4、+z+z3 3).).例例1.1.计算计算 )43 ()2()65 (iii解解: :iiii)416()325()43()2()65( i11 练习：计算下列各式练习：计算下列各式（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）)()(ii4342 )(i 235 )()()(iii51243 iii4322 )()(5i 22 i 22 0（1 1）复数加法的几何意义：）复数加法的几何意义：( () )( () )( () ).,21212121dbcaOZOZdcOZbaOZdiczbiazOZOZ 得得由平面向量的坐标运算由平面向量的坐标运算则有则有对应对应分别与复数分别与复数设说明两个向量
5、的和就是与复数 对应的向量。因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（如右图所示）。 这就是复数加法的几何意义。oxyZ( () )baZ,1( () )dcZ,212 .3 图图21,OZOZidbca)()( 类似地类似地, ,复数减法复数减法: :Z1(a,b)Z2(c,d)OyxZOZ1- -OZ2这就是复数减法的几何意义这就是复数减法的几何意义. .),(21dbcaOZOZ idbcazz)()(21 表示复数表示复数 所对应点之间的距离。所对应点之间的距离。21zz 21,zz221221212121222111)()(,yyxxiyyxxzziyxziyxz ）（）（则：则：设
6、设例例2.2. 下列各式表示的几何意义。下列各式表示的几何意义。),( ,Ryxyixz 设设)21().1(iz )21()43().2(ii 1).3( ziz ).4(1).5( z的距离的距离到点到点点点)2 , 1(),(yx的距离的距离到点到点点点)2 , 1()4 , 3(的距离的距离到点到点点点)1 , 0(),(yx的距离的距离到点到点点点)1, 0(),( yx的距离的距离到点到点点点)0 , 1(),(yx练习：练习：1.1.的最值。的最值。求求若若2121, 2, 1. 2zzzz 的最小值。的最小值。求求满足满足若复数若复数1,11 zzzzxyo)0 , 1( )0
7、 , 1(),(yx11min z1, 3min21max21 zzzzxyo1 11 1222 2 ABC., 31. 3zizz求求满足满足若纯虚数若纯虚数 oxy)1 , 1(A), 0(yZ1), 0(yZB，解解析析：由由)1 (1iziz iziz)122()122( 或或如如图图所所示示可可得得1. (1)1. (1)复数加、减法的运算法则：复数加、减法的运算法则： z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i;=(a+c)+(b+d)i; z z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i.=(a-c)+(b-d)i.(2)(2)复数的加法满足交换律、结合律复数的加法满足交换律、结合律, ,即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,有有z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).2.2.复数加、减法的几何意义复数加、减法的几何意义oxyZ( () )baZ,1( () )dcZ,2OZ1- -OZ2ZZ1(a,b)Z2(c,d)Oyx表示复数表示复数 所对应点之间的距离。所对应点之间的距离。21zz 21,zz
