1、 9.2 常点邻域上的级数解法常点邻域上的级数解法一、线性二阶常微分方程一、线性二阶常微分方程特殊函数方程大多为二阶线性常微分方程，特殊函数方程大多为二阶线性常微分方程，一般形式一般形式( (实数域实数域) )为：为： 更一般的形式更一般的形式为为( (推广至复数域推广至复数域) ) 其中其中z z为复变数，为复变数，z z0为选定的点，为选定的点，c c0和和c c1为任给的为任给的 1000)( )(0)()(cxycxyyxqyxpy100022)( )(0)()(czwczwwzqdzdwzpdzwd复常数，且复常数，且w( (z z) )为未知函数，为未知函数，p( (z z) )和
2、和q( (z z) )为已知为已知复变函数，称为方程的系数。复变函数，称为方程的系数。上述方程一般不能用通常方法解出，但可用级数上述方程一般不能用通常方法解出，但可用级数解法。解法。即在任选某点的邻域上将待求的解表示为级数形即在任选某点的邻域上将待求的解表示为级数形式，代入方程再确定系数。式，代入方程再确定系数。方程的解的性质完全由系数方程的解的性质完全由系数p( (z z) )和和q( (z z) )的解析的解析性决定：性决定：若若p( (z z) )和和q( (z z) )都在都在z z0及其某邻域内解析及其某邻域内解析，则称，则称z z0为为方程的方程的常点常点； 否则否则称称z z0为
3、方程的为方程的奇点奇点。二、常点邻域内的级数解二、常点邻域内的级数解1. 微分方程解析理论的基本定理：微分方程解析理论的基本定理：若若p( (z z) )和和q( (z z) )在圆在圆| |z z- -z z0| |R内单值解析，则方程内单值解析，则方程 在圆内存在在圆内存在唯一唯一的解的解w( (z z) ) ，且满足初值条件且满足初值条件 ， ，且且w( (z z) )在圆在圆域内域内单值解析单值解析。2. . 解的形式：解的形式：由上述定理，在由上述定理，在| |z z- -z z0| |R内内w( (z z) )可写成泰勒级数可写成泰勒级数 将代入可确定系数将代入可确定系数ak( (
4、用用c c0和和c c1表示表示) )，这种方这种方法称为法称为级数解法级数解法。0)()( wzqwzpw1000)( )(czwczw00)()(kkkzzazw三、勒让德方程三、勒让德方程 自然边界条件自然边界条件例：例：x0=0的邻域上求解的邻域上求解l阶勒让德方程阶勒让德方程 解：解：方程可写成方程可写成 则则 显然显然x0=0是方程的是方程的常点常点，可设解为，可设解为0) 1(2)1 (222ylldxdyxdxydx01) 1(1222 yxllyxxy221) 1()( 12)(xllxqxxxp000)()(kkkkkkxaxxaxy.)(332210kkxaxaxaxaa
5、xy.) 1(.32)(112321kkkkxakxkaxaxaaxy.) 1)(2(.34232)(224232 kkxakkxaxaaxy代入方程，由下表合并相同幂次项的系数：代入方程，由下表合并相同幂次项的系数：x0 x1x2.xk.y21a232a343a4. (k+1)(k+2)ak+2.- -x2y- -21a2.- -k(k- -1)ak.- -2xy- -21a1- -22a2.- -2kak.l(l+1)y l(l+1)a0l(l+1)a1l(l+1)a2.l(l+1)ak.每列系数之和必为每列系数之和必为零零，得递推公式，得递推公式 0) 1(2) 1()2)(1(02kk
6、kkkkxallkaakkakk0)1() 1()2)(1(2kkallkkakkkkkakklklkakkllkka)2)(1() 1)()2)(1() 1() 1(202! 2) 1)(12) 1(allallak024! 4) 3)(1)()(2(34) 3()2(allllalla046! 6)5)(3)(1)()(2)(4(56) 3)(4(allllllalla0222)!2() 12).(1)().(22() 12(2) 12)(22(akkllllkakkkllkakkkkkakklklkakkllkka)2)(1() 1)()2)(1() 1() 1(2113! 3)2)(1
7、 (23)2)(1 (allalla135! 5)4)(2)(1)(3(45)4)(3(allllalla157! 7)6)(4)(2)(1)(3)(5(67)6)(5(allllllalla11212)!12()2).(2)(1).(12() 12(2)2)(12(akkllllkakkkllkakk得到得到l 阶勒让德方程解：阶勒让德方程解： ( (两个级数之和两个级数之和) )y0( (x) )只含偶次幂，为偶函数，只含偶次幂，为偶函数， y1( (x) )只含奇次幂，只含奇次幂，为奇函数，为奇函数， a0、a1为任意常数，可由初始条件确定为任意常数，可由初始条件确定 )()()(110
8、0121222xyaxyaxaxaxykkkk.)!22() 12)(12).(22)(2( )!2() 12).(3)(1)().(42)(22( .! 2) 1)(1)(22220kkxkklkllklkxkklllllklkxllxy 判断级数解的收敛性判断级数解的收敛性:由递推公式可得收敛半径：由递推公式可得收敛半径：所以，所以， y0( (x) )、y1( (x) )收敛于收敛于| |x| |1的情况；的情况；( (2) )x=1，对应，对应=0，=，对应，对应极轴的正负方极轴的正负方 向，而向，而y0( (x) )、y1( (x) )在在x=1均发散均发散( (见见P397) )。
9、( (3) )可以证明可以证明l阶勒让德方程阶勒让德方程不存在不存在形如形如 且在且在x=1均均有限有限的无穷级数解的无穷级数解( (P193) )；( (4) )自然边界条件构成的本征值问题自然边界条件构成的本征值问题 实际问题中要求解在一切方向保持有限，即在实际问题中要求解在一切方向保持有限，即在 x-1，1 或或 0， 上有限上有限 物理问题物理问题要求解在要求解在x=1保持保持有限，有限，而而y0( (x) )、 y1( (x) )不满足该要求。不满足该要求。)()()(1100 xyDxyDxy由及可见：由及可见：a. . l=2n( (n是正整数是正整数) )时，时，y0( (x)
10、 )退化为多项式，有退化为多项式，有限。可取限。可取a1=0保证解保证解y( (x) )有限；有限；b. . l=2n+1( (n是零或正整数是零或正整数) )时，时，y1( (x) )退化为多项退化为多项式，有限。可取式，有限。可取a0=0保证解保证解y( (x) )有限；有限；因此，要满足上述边界条件，即因此，要满足上述边界条件，即x=1保持有限，保持有限，必须满足：必须满足：本征值是本征值是l( (l+1) )( (l为零或正整数为零或正整数) )，相，相应的本征函数是应的本征函数是l阶勒让德多项式阶勒让德多项式。通常把通常把“解在解在x=1保持有限保持有限”说成是说成是勒让德方程勒让德
11、方程的自然边界条件的自然边界条件。 勒让德方程勒让德方程本征值问题本征值问题 解解在在x=1保持保持有限有限 ( (自然边界条件自然边界条件) ) 本征值是本征值是l( (l+1),(),(l为零或正整数为零或正整数) )， 相应的本征函数是相应的本征函数是l阶勒让德多项式阶勒让德多项式。习题：习题：( (P194.2) )在在x0=0的邻域上求解的邻域上求解y- -xy=0解：解： p( (x) )=0，q( (x) )=- -x ，x0=0是是常点。常点。设设0)(nnnxaxy 0222) 1)(2() 1()(kkknnnxakkxannxy1101)(kkknnnxaxaxxy代入方
12、程，比较系数得代入方程，比较系数得由上式由上式( (1) ) a2=a- -1=0，( (a- -1=0) ) a5=0，.， a3k+2=0，( (2) )12)2)(1(1kkakka)0(321003待定aaa036! 641651aaa03)!3()23.(741akkak( (3) )故故由递推公式得：由递推公式得：)0(431114待定aaa147! 752761aaa113)!13() 13.(852akkak.)!3()23(741.3211)(330kxkkxxy.)!13() 13(852.431)(1341kxkkxxxy)2)(1(limkkRk例例( (P195.3)
13、 ): 在在x0=0的邻域上求解埃尔米特的邻域上求解埃尔米特( (厄密厄密) )方程方程y- -2xy+( (- -1) )y=0，( (量子力学谐振子问题量子力学谐振子问题中出现中出现) )取什么数值可使级数解退化为多项式？取什么数值可使级数解退化为多项式？这些多项式乘以适当的常数使最高幂项成为这些多项式乘以适当的常数使最高幂项成为 ( (2x) )n形式，叫做形式，叫做厄密多项式，记为厄密多项式，记为Hn( (x) )，写出，写出前几个前几个Hn( (x) )。解：解： x0=0是方程的常点，设是方程的常点，设)( 0) 1(2 xyyxy1)( 2)(xqxxp0)(nnnxaxy则：则
14、：代入方程，得代入方程，得推导得推导得 ，其中，其中0) 1() 1(kkkxay0112222kkkkkknnnxkaxkaxnayx 0222)2)(1() 1(kkknnnxakkxannykkakkka)2)(1(122)()()(1100 xyaxyaxy.)!2()34).(5)(1 ( .! 4)5)(1 (! 211)(2420kxkkxxxy.)!12()14).(7)(3( .! 5)7)(3(! 313)(12531kxkkxxxxy且且当当=4k- -3( (k=1，2.).)时，时，y0( (x) )退化成多项式；退化成多项式；当当=4k- -1( (k=1，2.).
15、)时，时，y1( (x) )退化成多项式；退化成多项式；取取k=1有有=4k- -3=1， y0( (x) )=1， 记为记为H0( (x) )=( (2x) )0=112) 1)(2(limkkkRk=4k- -1=3 ，y1( (x) )=x， 记为记为H1( (x) )=2y1( (x) )=( (2x) )1=2x取取k=2有有=4k- -3=5，y0( (x) )=1- -2x， 记为记为H2( (x) )=- -2y0( (x) )=( (2x) )2- -2=4k- -1=7 ，y1( (x) )=x- -2x3/ /3， 记为记为H3( (x) )= -(-(22) )3y1( (x) )=( (2x) )3- -12x参阅教材参阅教材P409。
