1、第一节第一节 布洛赫定理布洛赫定理5.1.1 5.1.1 布洛赫定理布洛赫定理5.1.3 5.1.3 布里渊区布里渊区5.1.2 5.1.2 波矢的取值和范围波矢的取值和范围本节主要内容本节主要内容: :5.1 布洛赫定理5.1.1 布洛赫定理1.晶格的周期性势场 (3) (3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性；有周期性； (1) (1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和；和； (2) (2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实每一点势能主要决定于与核较近的几
2、个原子实( (因为势因为势能与距离成反比能与距离成反比) )； (4) (4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。 ErVm 222 在一个具有晶格周期性的势场中运动的电子的波函在一个具有晶格周期性的势场中运动的电子的波函数的基本特点？数的基本特点？当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质： 周期场中运动的电子的能量周期场中运动的电子的能量E E（K K）和波函数
3、必须满）和波函数必须满足定态的薛定谔方程足定态的薛定谔方程 nRrVrV nR其中其中 为任意格点的位矢。为任意格点的位矢。其中其中 为电子波矢，为电子波矢， k332211anananRn 是格矢。是格矢。)()(rrrkkikuenkkuuRrr)(2. 布洛赫定理的物理意义一个具有晶格周期性的势场中运动的电子的波函数为：一个具有晶格周期性的势场中运动的电子的波函数为：一个自由电子的波函数一个自由电子的波函数 与一个具有晶体结构周期性函数与一个具有晶体结构周期性函数 的乘积。的乘积。rkie)(rku是按照晶格周期是按照晶格周期a a调幅的行波；调幅的行波；在物理上反应了晶体中的电子既有共
4、有化的倾向，又受到晶体在物理上反应了晶体中的电子既有共有化的倾向，又受到晶体结构周期性排列的限制；结构周期性排列的限制；只有当只有当 等于常数时，在周期场中运动的电子波函数才变等于常数时，在周期场中运动的电子波函数才变为自由电子的波函数；为自由电子的波函数；布洛赫函数是比自由电子波函数更接近真实情况的波函数。布洛赫函数是比自由电子波函数更接近真实情况的波函数。)(rku 在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数布洛赫波函数。3.证明布洛赫定理(1)(1)引
5、入平移对称算符引入平移对称算符)(nRT(2)(2)说明说明: :0, HT(3)(3) TnRkinR e)( 根据布洛赫定理波函数写成如下形式：根据布洛赫定理波函数写成如下形式：)()(rrrkkikuenkkuuRrr)( 由于晶格的周期性，晶体中的等效势场由于晶格的周期性，晶体中的等效势场V（r）具有具有晶格的周期性。晶格的周期性。)()(nVVRrrkjirzyxkjiRr)()()(nznynxnRzRyRx)()()()()()(222222222222222222222rRRRRrrnznynxnzyxzyxzyx在直角坐标系中在直角坐标系中则哈密顿函数也为晶格的周期性函数则哈
6、密顿函数也为晶格的周期性函数)()(2)(22rrrVmH)()()()(22222222nnznynxVRxRxRxmRr )()()(222nnnHVmRrRrRr为了根据哈密顿函数具有晶格的平移对称性研究波函为了根据哈密顿函数具有晶格的平移对称性研究波函数的特点，引入平移对称操作算符数的特点，引入平移对称操作算符)(nRT任意一个函数任意一个函数f（r）经过平移算符作用后变为经过平移算符作用后变为)()()(nnffTRrrR现将平移对称操作算符作用在薛定谔方程左边现将平移对称操作算符作用在薛定谔方程左边)()()()()()()()(rRrRrRrrrRnnnTHHHT0, HT 由于
7、对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 是是 的本征函数，那么的本征函数，那么 也一定是算符也一定是算符 的本征函数。的本征函数。)(r H)(r )(nRT)()()()(rHrrVrf，可以是 )(nRT对应的本征值的特点是什么？对应的本征值的特点是什么？)()()()()(rRRrrRnnnT由由本征值本征值（Rn）必须满足等式必须满足等式)()()(rRRrnn根据平移特点根据平移特点)()(332211aaannnTRTn)()()(332211aaanTnTnT321)()()(321nnnTTTaaa可以得到可以得到)()()()
8、()()()()(321321raaarRrRnnnnnT321)()()()(321nnnnaaaR即即设晶体在设晶体在a1、 a2、a3三个方向各有个三个方向各有个N1、N2、N3个个原胞，由周期性边界条件原胞，由周期性边界条件)()(11arrN得到得到)()()()()()(111111rarraraNNTN由上式可以得出由上式可以得出1)(11Naiae)(1a解为解为令令ka1，代入代入1)(11Naiae)(1a11112 lNakl为整数为整数取取1111bkNl满足上式，得到满足上式，得到1111)(1abNliea同理可以得到同理可以得到2222bkNl2222)(2aba
9、Nlie3333bkNl3333)(3abaNlie令令331221111bbbkNlNlNl321)()()()(321nnnnaaaR由由nineRkR)(晶体中电子波函数满足的方程是晶体中电子波函数满足的方程是)()(rRrRknine可以得到可以得到 具有波矢的意义具有波矢的意义331221111bbbkNlNlNl当波矢当波矢K增加个倒格矢增加个倒格矢332211bbbKhhhh平面波平面波rKkr)()(hie也满足晶体中电子的波函数所满足的方程。也满足晶体中电子的波函数所满足的方程。所以，电子的波函数为平面波的线性叠加所以，电子的波函数为平面波的线性叠加rKrkrKkKkKkrh
10、hihhiihhkeaeea)()()()()()(rKkrKkihhueah)()(rrrkkikue)()(rRrknkuu结论：晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。结论：晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。 可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述电波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。个个原原胞胞，、方方向向各各有有、设设晶晶体体在在321321NNNaaa
11、 )()()()()()(332211aNrraNrraNrrkkkkkk 由周期性边界条件由周期性边界条件5.1.2 的取值和范围k1e jjaNk i)()(11raNrkk )(e)(1111ruaNrkaNrkik )(ee11rukrkiaNki )(rk 332211bbb 333222111NblNblNblk ,baijjj 2 jjjlN （其中（其中lj为任意整数为任意整数) )，jjjNl 只能取一些分立的值。只能取一些分立的值。)()(rrhKkk 可以证明可以证明是倒格矢。是倒格矢。nK整整数数时时，当当 jj ,nKkkk 换成换成相当于波矢相当于波矢khKk 态和
12、态和态是同一电子态，而同一电子态对应同一态是同一电子态，而同一电子态对应同一故故 。)()(hKkEkE 个能量，个能量， 为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征值值 一一对应起来，必须把波矢一一对应起来，必须把波矢 的值限制在一个倒格子的值限制在一个倒格子原胞区间内，通常取：原胞区间内，通常取：)(kEk)3 , 2 , 1( ,22 ibkbiii)3 , 2 , 1( ,22 iNlNiii 在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数目目N= =N1 1N2 2N3 3。在
13、波矢空间内，由于在波矢空间内，由于N N的数目很大，波矢点的分的数目很大，波矢点的分布是准连续的。一个波矢对应的体积为：布是准连续的。一个波矢对应的体积为：C*VNNNbNbNb33332211)2()2()( 一个波矢代表点对应的体积为：一个波矢代表点对应的体积为：电子的波矢密度为：电子的波矢密度为： 3)2(cVCV3)2()()(rrnKkk 下面我们证明下面我们证明证明：根据布洛赫定理证明：根据布洛赫定理 hrKihkkrk ikhKkaru,rur)e()()(e)( hrKKkihnKkhnnKKkar)()e()( lrKkillKka)()e( hrKkihhrKihrkikh
14、hKkaKkar)()e()e(e)( lhnKKK 令令)(rk 例例1：一维周期场中电子的波函数：一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫应当满足布洛赫定理，若晶格常量为定理，若晶格常量为a，电子波函数为电子波函数为 , f为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢。 )()()(maxfixmmk )(xk 解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：)(e)(xnaxkiknak )()()(manaxfinaxmmk )()()()()(anmxfiianmxfinmmnmm
15、 令令m- -n=l，)()()()()(xilaxfiinaxknllnk 据布洛赫定理，据布洛赫定理，niknai)(e 即即iika e232 ska在简约布里渊区中，即在简约布里渊区中，即，aka 1. 布里渊区定义 在在倒格空间中以中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面有倒格点连线的中垂面(或中垂线或中垂线)，这些中垂面，这些中垂面(或中垂线或中垂线)将倒将倒格空间分割成许多区域，这些区域称为格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区布里渊区。5.1.3 布里渊区 第一布里渊区第一布里渊区( (简约布里渊区简约布里渊区) )：围绕
16、原点的最小闭合区域；：围绕原点的最小闭合区域；ak2 取取对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢? ? 第第n+1+1布里渊区布里渊区：从原点出发经过：从原点出发经过n个中垂面个中垂面( (或中垂线或中垂线) )才才能到达的区域能到达的区域( (n为正整数为正整数) )。2.布里渊区作图法晶体晶体结构结构布拉维布拉维晶格晶格倒格点倒格点排列排列 中垂面中垂面( (中垂线中垂线) )区分布区分布里渊区里渊区倒格基矢倒格基矢321bbb、332211bhbhbhKh 正格基矢正格基矢,321aaa、aa 例例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一：下图是一个二
17、维晶体结构图，画出它的第一、第二第二、第三布里渊区第三布里渊区。aaiaa 1jaa 2jaaiaa 21jabiab2221 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji ij第一布第一布里渊区里渊区第三布第三布里渊区里渊区第二布第二布里渊区里渊区a2a2布里渊区的面积布里渊区的面积= =倒格原胞的面积倒格原胞的面积 高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的简约区图。矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的简约区图。第一区第一区第二区第二区第三区第三区布里渊区的简约区图布里渊区的简约区图布里渊区的扩展区图布里渊区
18、的扩展区图ija 2a 2第一区第一区第二区第二区第三区第三区第四区第四区第五区第五区第六区第六区第七区第七区第八区第八区第九区第九区第十区第十区二维正方晶格的布二维正方晶格的布里渊区的简约区图里渊区的简约区图abjbaiaa 21jbbiab2221 ijjiba 2)(2ji )(0ji iaa 1jba 2倒格仍为矩形。倒格仍为矩形。 例例3 3：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为 。ba，解解: :ij第一区第一区第二区第二区b2a2例例4：画出面心立方第一布里渊
19、区。设面心立方晶格常量为：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。 jiaakiaakjaa222321解：解：面心立方正格基矢：面心立方正格基矢： 213132321222aabaabaab332141)(aaaa 倒格基矢倒格基矢: kjiakjiakjia 2221a3a2ai ajaka面心立方的倒格是面心立方的倒格是边长为边长为4 / /a体心立方。体心立方。 kjiabkjiabkjiab222321倒格基矢：倒格基矢：已知体心立方正格基矢已知体心立方正格基矢: : kjiaakjiaakjiaa222321 0002 O,a：X 0012 ,aX：L 2121212 ,
20、aL：K 043432 ,aK：例例5 5：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为a。 kjiaakjiaakjiaa222321解：正格基矢：解：正格基矢：332121)(aaaa jiakiakja 222 213132321222aabaabaab倒格基矢：倒格基矢：iajaka1a3a2a体心立方倒格是边长体心立方倒格是边长为为 4 / /a的的面心立方。面心立方。 jiabkiabkjab222321 jiaakiaakjaa222321已知面心立方正格基矢：已知面心立方正格基矢：H 0012 ,aH：P 2121212 ,aP
21、：N 021212 ,aN：正方形正方形正格正格简约布里简约布里渊区形状渊区形状面心立方面心立方正方形正方形十四面体十四面体(截角八面体截角八面体)体心立方体心立方十二面体十二面体简约布里渊简约布里渊区体积区体积(面积面积)*1SS *V 1*V 1布里渊区的形状由晶体结构的布拉维晶格决定；布里渊区的形状由晶体结构的布拉维晶格决定；布里渊区的体积布里渊区的体积( (或面积或面积) )等于倒格原胞的体积等于倒格原胞的体积( (或面积或面积) )。例题：晶体常数为例题：晶体常数为a的一维晶体中，电子的波函数为的一维晶体中，电子的波函数为xaixk3cos)(1)(2)lklaxfx)()(F是某一
22、函数是某一函数求电子在以上状态中的波矢求电子在以上状态中的波矢解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：) r (e)(kRk inknRr在一维周期性势场中运动的电子波函数满足在一维周期性势场中运动的电子波函数满足(x)e)(kikaknaxxaixk3cos)(x)e)(kikakaxax3icos)3ax3icos(aa)(x3icos)(axk1eikaalklka) 12(,) 12(aaaak7,5,3,akaak(2)lklaxfx)()(llkalxflaaxfax) 1()()(1 ll)()()()(xalxflaaxfaxkllk(x)e)(kikakaxanknka2,2,.4,2, 0aakaka0k
