1、第 1 页，共 17 页 期中数学试卷 期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1.下列汽车标志中是轴对称图形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42.将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中 的度数是（）A. 45B. 60C. 75D. 903.如图， 已知ABC 的周长是 20， OB 和 OC 分别平分ABC 和ACB， ODBC 于点 D，且 OD=3，则ABC 的面积是（）A. 20B. 25C. 30D. 354.如图， 在ABC 中， AD 是 BC 边上的高， BE 平分ABC 交 AC边于 E，BAC=60， ABE=
2、25，则DAC 的大小是（）A. 15B. 20C. 25D. 305.在ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，则满足下列条件但不是直角三角形的是（）A. a2-c2=b2B. a=n2-1，b=2n，c=n2+1 （ n1）C. A：B：C=3：4：5D. A=B= C6.如图所示，OP 平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为 A、B，下列结论不一定成立的是（）A. PA=PBB. OA=OBC. PO 平分APBD. AB 垂直平分 OP7.如图为 6 个边长相等的正方形的组合图形，则1+2+3=（）第 2 页，共 17 页A. 90B. 120C. 135D. 1508.
3、如图， 四边形 ABCD 中， AB=4cm， BC=3cm， CD=12cm， DA=13cm，且ABC=90，则四边形 ABCD 的面积为（）A. 6cm2B. 30cm2C. 24cm2D. 36cm29.已知 a，b，c 是ABC 的三条边长，化简|a+bc|cab|的结果为（）A. 2a+2b2cB. 2a+2bC. 2cD. 010.如图，在ABC 中，C=90，B=30，以 A 为圆心， 任意长为半径画弧分别交 AB、 AC 于点 M 和 N，再分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结 AP 并延长交 BC 于点 D，则下列说法中正确的个数是（ ）
4、AD 是BAC 的平分线；ADC=60；点 D 在 AB 的中垂线上；BD=2CDA. 4B. 3C. 2D. 111.如图，AD 是ABC 的中线，ADC=45，BC=4cm，把ACD 沿 AD 翻折，使点 C落在 E 的位置，则 BE 的平方为（）A. 4B. 8C. 16D. 2012.如图， ABC 中， BAC=120， ADBC 于 D， 且 AB+BD=DC， 则C 的大小是 （）A. 20B. 25C. 30D. 大于 30二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）13.ABC 中，若 AB=4，AC=6，BC 的长为偶数，则 BC 的取值为_14.如图，AD 是ABC
5、 的角平分线，DEAB，垂足为 E，若ABC 的面积为 15，DE=3，AB=6，则 AC 的长是_第 3 页，共 17 页15.如图，一个等腰直角三角形零件放置在一凹槽内，顶点 A、B、 C 分别落在凹槽内壁上，测得 AD=5cm， BE=9cm，则该零件的面积为 _16.如图，在ABC 中，AD、CE 是ABC 的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，则 AB 的长等于_cm17.如图，OP 平分MON，PAON 于点 A，点 Q 是射线 OM上一个动点，若 PA=3，则 PQ 的最小值为_18.如图， ABE 和ACD 是ABC 分别沿着 AB， AC 边翻折 180形成的，
6、 若BAC=140，则 a 的度数是_19.如图，在 RtABC 中，C=90，D 为 AC 上的一点，且 DA=DB=5，又DAB 的面积为 10，那么 DC 的长是_ 20.如图，一块长方体砖宽 AN=5cm，长 ND=10cm，CD 上的点 B 距地面的高 BD=8cm，地面上 A 处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是_cm第 4 页，共 17 页三、解答题（本大题共 6 小题，共 52.0 分）21.作图题 ： 两个小区 C、D 之间有一条笔直的公路与另一条笔直的公路交于点 O，如 下图， 现在要建一个货物中转站， 使它到两个小区距离相等， 并且到两条公路的距离也相等，请确定
7、货物中转站的位置（要求 ： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）22.如图，在ABC 中，C=90，B=15，AB 的垂直平分线分别与 BC，AB 交于点 M、N试说明 MB 与 AC 的大小关系23.如图，在ABC 中，AB=CB，ABC=90，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE=BD，连接 AE，DE，DC（1）求证：ABECBD；（2）若CAE=30，求BDC 的度数第 5 页，共 17 页24.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为 6、8，按如图那样折叠，使点 A 与点 B重合，折痕为 DE，求BDE 的面积25.已知 ： 如图，ABC 中，C=90，CMAB
8、 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D， 交 BC 于 T， 过 D 作 DEAB 交 BC于 E，求证：CT=BE26.如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边ABC 边 AB、BC 上的点，点 P 从顶点A 向 B 出发，点 Q 从顶点 B 同时出发向 C 点运动，且它们的速度都为 1cm/s（1） 连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，ABQ 与CAP 全等吗？请说明理由；（2）CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数第 6 页，共 17 页（3）几秒后PBQ 是直角三角形？（4） 如图 2， 若点 P、 Q 在运动到终点后继续在射线
9、 AB、 BC 上运动， 直线 AQ、 CP交点为 M，则CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数第 7 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解：如图所示，汽车标志中是轴对称图形的有 2 个：故选：B如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合2.【答案】C【解析】解：如图，1=90-60=30，所以，=45+30=75故选：C根据直角三角形的两锐角互余求出1 的度数，再根据三角形的一个外角
10、等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质， 直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质， 判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点 O 到 AB、AC、BC 的距离都相等（即 OE=OD=OF），从而可得到ABC 的面积等于周长的一半乘以 3，代入求出即可【解答】解：如图，连接 OA，过 O 作 OEAB 于 E，OFAC 于 F，OB、OC 分别平分ABC 和ACB，OE=OF=OD=
11、3，ABC 的周长是 20，ODBC 于 D，且 OD=3，SABC= ABOE+ BCOD+ ACOF，= （AB+BC+AC）3，第 8 页，共 17 页= 203=30，故选 C.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键根据角平分线的定义可得ABC=2ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出BAD，然后根据DAC=BAC-BAD 计算即可得解【解答】解：BE 平分ABC，ABC=2ABE=225=50，AD 是 BC 边上的高，BAD=90-ABC=90-50=40，DAC=BAC-BAD=60-40=20故选
12、 B.5.【答案】C【解析】解：A、a2-c2=b2，那么 a2=b2+c2，故ABC 是直角三角形；故不符合题意；B、a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2=c2，故ABC 是直角三角形；故不符合题意；C、A：B：C=3：4：5，A+B+C=180，A=45，B=60，C=75，故ABC 不是直角三角形；故符合题意；D、A=B= C，A+B+C=180，A+A+2A=180，A=45，C=90，故ABC 是直角三角形；故不符合题意；故选：C运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形分别判定即可此题主要考查了直角三角形的
13、判定方法，勾股定理逆定理的实际运用，灵活的应用此定理是解决问题的关键6.【答案】D【解析】解：OP 平分AOB，PAOA，PBOB，PA=PB，故 A 正确；PAB=PBA，OAB=90-PAB，OBA=90-PBA，OAB=OBA，OA=OB，故 B 正确；PO 平分APB；故 C 正确；PA=PB，OA=OB，点 P 在 AB 的垂直平分线上，点 O 在 AB 的垂直平分线上，OP 垂直平分 AB，故 D 错误故选：D第 9 页，共 17 页由 OP 平分AOB，PAOA，PBOB，根据角平分线的性质，可证得 PA=PB，又由等腰三角形的判定，可证得 OA=OB，即可判定 PO 平分APB
14、，根据线段垂直平分线的判定，可得 OP 垂直平分 AB此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质 注意掌握线段垂直平分线的判定的应用是关键7.【答案】C【解析】解：如图，在ABC 和DEA 中，ABCDEA（SAS），1=4，3+4=90，1+3=90，又2=45，1+2+3=90+45=135故选：C标注字母，利用“边角边”判断出ABC 和DEA 全等，根据全等三角形对应角相等可得1=4，然后求出1+3=90，再判断出2=45，然后计算即可得解本题考查了全等三角形的判定与性质，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键8.【答案】C【解析】解：连接 AC，ABC=90，AB=4c
15、m，BC=3cm，AC=5cm，CD=12cm，DA=13cm，AC2+CD2=52+122=169=132=DA2，ADC 为直角三角形，S四边形 ABCD=SACD-SABC= ACCD- ABBC= 512- 43=30-6=24（cm2）故四边形 ABCD 的面积为 24cm2故选：C连接 AC，在 RtABC 中，已知 AB，BC 的长，运用勾股定理可求出 AC 的长，在ADC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形 ABCD的面积为 RtACD 与 RtABC 的面积之差本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出ACD
16、的形状是解答此题的关键9.【答案】D【解析】第 10 页，共 17 页【分析】本题考查的是三角形的三边关系和绝对值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键先根据三角形的三边关系判断出 a+b-c 与c-b-a 的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可【解答】解：a、b、c 为ABC 的三条边长，a+b-c0，c-a-b0，原式=a+b-c+（c-a-b）=a+b-c+c-a-b=0故选 D10.【答案】A【解析】解：根据作图的过程可知，AD 是BAC 的平分线故正确；如图，在ABC 中，C=90，B=30，CAB=60又AD 是BAC 的平分线，1=2= CAB
17、=30，3=90-2=60，即ADC=60故正确；1=B=30，AD=BD，点 D 在 AB 的中垂线上故正确；2=30，AD=2CD点 D 在 AB 的中垂线上，AD=BD，BD=2CD故正确故选：A根据作图的过程可以判定 AD 是BAC 的角平分线；利用角平分线的定义可以推知CAD=30，则由直角三角形的性质来求ADC 的度数 ；利用等角对等边可以证得ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一” 的性质可以证明点 D 在 AB 的中垂线上；根据直角三角形的性质得出 AD=2CD，再由线段垂直平分线的性质得出 AD=BD，进而可得出结论此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以
18、及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出ADC 度数是解题关键11.【答案】B【解析】解：由题意可知EDA 是由CDA 翻折得到，EDA=CDA=45，ED=CD，EDB=90，AD 是ABC 的中线，BC=4cm，BD=CD=2cm第 11 页，共 17 页ED=BD=2cm，在 RtBDE 中，根据勾股定理可得，BE=2cm，BE 的平方=8，故选：B根据翻转变换的性质得到EDA=CDA=45，ED=CD，得到EDB=90，根据勾股定理计算即可本题考查的是翻转变换的性质以及勾股定理的应用，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等12.【答案】
19、A【解析】解：如图，在 DC 上取 DE=DB连接 AE，在 RtABD 和 RtAED 中，BD=ED，AD=ADABDAEDAB=AE，B=AED又AB+BD=CDEC=CD-DE=CD-BD=（AB+BD）-BD=AB=AE，即 EC=AE，C=CAEB=AED=2C又B+C=180-BAC=60C=20，故选：A在 DC 上取 DE=DB连接 AE，在 RtABD 和 RtAED 中，BD=ED，AD=AD证明ABDAED 即可求解；本题考查了等边三角形的判定与性质及三角形内角和定理，属于基础图，关键是巧妙作出辅助线13.【答案】4 或 6 或 8【解析】解：因为 6-4BC6+4，所
20、以 2AC10，因为 AC 长是偶数，所以 AC 为 4 或 6 或 8，故答案为：4 或 6 或 8根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边” 进行分析，解答即可本题考查三角形的三边关系三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边14.【答案】4【解析】解：如图，过点 D 作 DFAC，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，DFAC，第 12 页，共 17 页DE=DF=3，ABC 的面积为 15，SABD+SACD= ABDE+ ACDF=15，63+3AC=30，AC=4，故答案为：4由角平分线的性质可得 DE=DF=3，由三角形面积公式可求
21、解本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练运用角平分线的性质是本题的关键15.【答案】53cm2【解析】解：ABC 是等腰直角三角形，AC=BC，ACB=90，ACD+BCE=90，ADC=90，ACD+DAC=90，DAC=BCE，在ADC 和CEB 中，ADCCEB（AAS），DC=BE=9cm，AC=（cm），BC=cm，该零件的面积为： =53（cm2）故答案为：53cm2首先证明ADCCEB，根据全等三角形的性质可得 DC=BE=7cm，再利用勾股定理计算出 AC 长，然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是掌握全
22、等三角形的判定方法16.【答案】3.75【解析】解：SACB= CBAD= ABCE， 53= AB4，解得：BC=3.75cm，故答案为 3.75利用三角形的面积可得 CBAD= ABCE，再代入数据即可此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握三角形的面积公式17.【答案】3【解析】第 13 页，共 17 页【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键根据垂线段最短可知 PQOM 时，PQ 的值最小，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PQ=PA【解答】解：根据垂线段最短，PQOM 时，PQ 的值最小，OP 平分MON，PAON，
23、PQ=PA=3故答案为：318.【答案】80【解析】解：BAC=140 ABC+ACB=40 EBA=ABC，DCA=ACB EBA+ABC+DCA+ACB=2（ABC+ACB）=80，即EBC+DCB=80 =80故答案为：80先根据三角形内角和与翻折变换的特点求得EBC+DCB=80，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得 =80此题考查翻折的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，将 转化为 2（ABC+ACB）求解是解题的关键19.【答案】3【解析】解：在 RtABC 中，C=90，BCAC，即 BC 是DAB 的高，DAB 的面积为 10，DA=5， DABC=1
24、0，BC=4，CD=3故答案为：3根据 RtABC 中，C=90可知 BC 是DAB 的高，然后利用三角形面积公式求出 BC 的长，再利用勾股定理即可求出 DC 的长本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键20.【答案】17【解析】【分析】本题的是平面展开-最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径 一般情况是两点之间，线段最短在平面图形上构造直角三角形解决问题要求不在同一平面内的两点间的最短距第 14 页，共 17 页离， 首先要把两点所在的两个平面展开到一个平面内，然后根据
25、题意确定数据，再根据勾股定理即可求解【解答】解：如图 1 所示，连接 AB，则 AB 的长即为 A 处到 B 处的最短路程在 RtABD 中，AD=AN+DN=5+10=15cm，BD=8cm，AB=17（cm）如图 2 所示，AB=（cm），17，需要爬行的最短路径是 17cm故答案为：1721.【答案】解：（1）作AOB 的角平分线 OM；（2） 连接 CD，作 CD 的垂直平分线 EF，交 OM 于点 P，点 P 就是所求的点【解析】作出 CD 的垂直平分线，AOB 的角平分线，两直线的交点即为点 P本题考查了作图-应用与设计作图；用到的知识点为：到一个角两边距离相等的点，在角的平分线上
26、；到一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上22.【答案】解：MB=2AC，理由：连接 AM，MN 为 AB 的垂直平分线，MA=MB，MAB=B=15，AMC=30，C=90，MA=2AC，MB=2AC【解析】 根据线段垂直平分线得出 AM=BM，求出B=MAB=15，求出AMC=30，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 AM=2AC=BM本题考查了勾股定理，含 30 度角的直角三角形，三角形的外角性质，线段垂直平分线性质等知识点，关键是运用定理求出 BM=AM=2AC23.【答案】（1）证明：ABC=90，DBC=90，在ABE 和CBD 中ABECBD（SAS）；（2）解：
27、AB=CB，ABC=90，BCA=45，AEB=CAE+BCA=30+45=75，第 15 页，共 17 页ABECBD，BDC=AEB=75【解析】（1）由条件可利用 SAS 证得结论；（2）由等腰直角三角形的性质可先求得BCA，利用三角形外角的性质可求得AEB，再利用全等三角形的性质可求得BDC本题主要考查全等三角形的判定和性质， 掌握全等三角形的判定方法 （即 SSS、 SAS、 ASA、AAS 和 HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键24.【答案】解：设 CE=x，则 AE=AC-CE=8-x，折叠点 A 与点 B 重合BE=AE=8-x，BD=
28、AD，在直角三角形 BCE 中，BC2+CE2=BE262+x2=（8-x）2 ，解得：x= ，CE= ，SBCE= ，SABE=SABC-SBCE= ，BD=AD，BDE 的面积= SABE= 【解析】由折叠的性质可得BDE 的面积，由勾股定理可求 CE= ，由三角形面积公式可求 SBCE的值，即可求解本题考查了翻折变换，勾股定理，求出 CE 的长是本题的关键25.【答案】证明：过 T 作 TFAB 于 F，AT 平分BAC，ACB=90，CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），ACB=90，CMAB，ADM+DAM=90，ATC+CAT=90，AT 平分BAC，DAM=CAT，AD
29、M=ATC，CDT=CTD，CD=CT，又CT=TF（已证），CD=TF，CMAB，DEAB，CDE=90，B=DEC，在CDE 和TFB 中，CDETFB（AAS），第 16 页，共 17 页CE=TB，CE-TE=TB-TE，即 CT=BE【解析】过 T 作 TFAB 于 F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得 TF=CT，再根据角平分线的定义和等角的余角相等的性质得到CDT=CTD，所以 CD=CT，再证明CDE 和TFB 全等， 然后根据全等三角形对应边相等可以得到 CE=TB， 都减去 TE即可得到 CT=BE本题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，
30、作辅助线构造全等三角形是解题的关键26.【答案】解：（1）ABQCAP，理由是：ABC 是等边三角形，AB=AC，B=PAC=60点 P、Q 同时出发，速度相同AP=BQ，且B=PAC，AB=AC，ABQCAP（SAS）（2）CMQ=60不变，理由是：ABQCAPBAQ=ACP，CMQ=ACO+CAM=BAQ+CAM=BAC=60；（3）设时间为 t，则 AP=BQ=t，则 BP=4-t，当PQB=90时，BPQ=30，BP=2BQ，4-t=2t，解得 t= ，当BPQ=90时，PQB=30，BQ=2BP，t=2（4-t），解得 t= ，综上所述，当第 秒或第 秒时，pBQ 为直角三角形；（4
31、）CMQ=120，不变理由是：ABC 是等边三角形，AC=BC，ACB=ABC=60，ACQ=CBP=120，AC=BC，ACQ=CBP，CQ=BP，ACQCBP（SAS）QAC=PCB，CMQ=QAC+ACM=PCB+ACM=180-ACB=120【解析】（1）由“SAS”可证ABQCAP；（2）由全等三角形的性质可得BAQ=ACP，由外角性质可求CMQ=60；（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解；（4）由“SAS”可证ACQCBP，可得QAC=PCB，即可求CMQ=120本题是三角形综合题，考查了等边三角形是性质，全等三角形判定和性质，直角三角形第 17 页，共 17 页的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键
