1、第5章 三角函数521 三角函数的概念教材引入&任意角的三角函数定义【定义】根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上研究这个 问题如图，以单位圆的圆心为原点， 以射线OA为 轴的非负半轴，1，0，P 射线OA从 轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向 旋转角，终止位置为OP【探究】当 时，点P的坐标是什么？当 或 时，点P的坐标又是什么？给 定一个角，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？教材引入&任意角的三角函数定义【分析】利用勾股定理可以发现，当 时，点P的坐标是 ；当 或 时，点P的坐标分别是 和 ，它们都是唯一确定的如图【结论】一般地，任意给定一个角R，它的终边OP与单位圆的交点
2、P的坐标，无 论是横坐标 还是纵坐标 ，都是唯一确定的所以，点P的横坐标 和 纵坐标 都是角的函数教材引入&任意角的三角函数定义【定义】设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P（1）把点P的纵坐标 叫做的正弦函数，记作sin，即 =sin（2）把点P的横坐标 叫做的余弦函数，记作cos，即 =cos（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做的正切，记作tan，即 =tan 可以看出，当 时，的终边始终在y轴上，这时 ，即此时tan无意义除此之外，正切tan与实数是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，我们称 为正切函数=tan 我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数教材引入&
3、任意角的三角函数定义【总结】三角函数可以看成是以实数为弧度为自变量，以 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数（1）正弦函数：（2）余弦函数：（3）正切函数：角实数角的弧度三角函数值【注意】（1）在任意角的三角函数定义中，是一个使函数有意义的实数（2） 是自变量，离开自变量 的sin,con,tan是没有意义的（3）三角函数是一个实数，这个实数的大小和点P在终边上的 位置无关，终边确定了，三角函数就确定了【1】求 的正弦、余弦和正切值【解】在坐标系中作出AOB= ，易知AOB的 终边与单位圆的 交点坐标为 ，所以常见角的三角函数值无无牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！例例2.设设是一个任
4、意角，它的终边上任意一点是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点（不与原点O重合）的坐标为重合）的坐标为（x,y），点），点P与原点的距离为与原点的距离为r，求证：，求证：xyrxry=tan,cos,sinxA(1,0)yOP0(x,y)P(x,y)M MM M0 0三角函数的定义域和函数值的符号11- ，11- ，【1】求证：角为第三象限角的充要条件为【证明】首先证明充分性，即如果都成立，那么为第三象限角因为sin0成立，所以角的终边位于第三或者第四象限，也可能和Y轴的负半轴重合；又因为cos0成立，所以角的终边位于第一或者第三象限，综合可知为第三象限角 再证明必要性，因为是第三象限角
5、，根据定义有sin0， cos0，所以必要性成立，即充要性成立诱导公式一 由三角函数的定义，我们知道：终边相同的角的对应三角函数相同公式一：其中【问题】公式一说明了角和三角函数值的什么关系？给我们什么启发？【答】公式一说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系： 即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的； 反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对因【启发】做题时，把角同化为02即0360终边相同的角，简化计算【1】已知角、的顶点在原点，始边在 轴的正半轴上，终边关于 轴对称， 若角的终边上有一点的坐标为 ，则tan的值是多少？【解】易知sin= ，cos= 因为角和角的终边关于y轴对称，则它们的正弦值相等，即sin=sin同时角和角的余弦值相反，即cos=-cos 所以sin= ，cos= ，所以tan=【2】填表【3】选择适当的条件填空sin0 sin0 cos0 cos0 tan0 tan01角为第一象限角的充要条件是 _2角为第一象限角的充要条件是 _3角为第一象限角的充要条件是 _4角为第一象限角的充要条件是 _或或或或或或或或或或或或
