1、2019培优专题：相交线与 平行线相交线、平行线相交线、平行线知识要点：知识要点： 相交线相交线1.1.对顶角、邻补角对顶角、邻补角2.2.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.3.垂线段最短垂线段最短平行线平行线4.4.三线八角三线八角1.1.平行公理及推论平行公理及推论2.2.平行线的判定方法平行线的判定方法3.3.平行线的平行线的性质性质4.平移平移5.命题命题例例1如图平行线如图平行线EF、MN被相交直线被相交直线 AB、CD所截，图中有所截，图中有_对同旁内角。对同旁内角。1.三线八角的认图与计数三线八角的认图与计数ACEFMNDB16EFMNC
2、DABEFACDBMNEFMNACDB变式：如图，四条直线两两相交于变式：如图，四条直线两两相交于6 6个点，则图中共有个点，则图中共有_对同位角。对同位角。48能力提升题精讲能力提升题精讲2.平行线的性质与判定的运用平行线的性质与判定的运用三、能力提升题精讲三、能力提升题精讲例例2. 如图，如图，CEAB于点于点E，DFAB于点于点F， ACDE，CE是是ACB的平分线，的平分线， 求证：求证：EDF=BDFAEFBDC证明：证明： CEAB，DFABCEDF1=21=2，3=43=4ACDEACDE3=53=5CECE平分平分ACB ACB 1=51=52=42154 3即即EDF=BDF
3、三、能力提升题精讲三、能力提升题精讲3.3.作作平行线解题平行线解题ABE C D例例3已知：如图已知：如图, ABCD，求证：求证：BED=B+D ABCD 1=B,2=D（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）1 1+2=B+2=B+DD过过E作作EFAB证明：证明： ABCDEFEF12BED=B+BED=B+DD 评注：评注：证明或解有关直证明或解有关直线平行的问题时，线平行的问题时，如果不构成如果不构成“三三线八角线八角”，则应，则应添出辅助线。添出辅助线。F三、能力提升题精讲三、能力提升题精讲3.3.作作平行线解题平行线解题ABCDE变式变式1.如图，已知如图，已知AB
4、CD，且，且B=40， D=70，求，求DEB的度数。的度数。解：过解：过E作作EFAB ABCD EFCD（平行公理）（平行公理） 1=B=40DEF=D=70（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）F DEB=DEF-1 DEB =D-B=70-40=301三、能力提升题精讲三、能力提升题精讲3.3.作作平行线解题平行线解题变式变式2：如图，已知：如图，已知ABCD,PCD,P为为HD上任意一点，上任意一点，过点过点P的直线交的直线交HF于于O点，试问：点，试问：HOPHOP、AGFAGF、 HPOHPO有怎样的关系？用式子表示并证明。有怎样的关系？用式子表示并证明。EDFPH
5、CBAOG过过O作作OMAB ABCD OMCD （平行公理）（平行公理） 1=HOM, 2=3（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）解：解： HOP=HOP=AGF-AGF-HPOHPOM123 HOP=HOM-3 HOP =1-2即即HOP=HOP=AGF-AGF-HPOHPO理由：理由：三、能力提升题精讲三、能力提升题精讲变式变式3已知：如图已知：如图, ABCD，（1）探究）探究BED、B、D之之 间的数量关系，并说明理由。间的数量关系，并说明理由。3.3.作作平行线解题平行线解题ABE C D F12 ABCD 1+B=180, 2+D=1801 1+2+B+2+B+D
6、D=360理由：过理由：过E作作EFAB证明：证明： ABCDEFEF即即BED+B+BED+B+DD=360BED+B+BED+B+DD=360三、能力提升题精讲三、能力提升题精讲变式变式3已知：如图已知：如图, ABCD，（1）探究）探究BED、B、D之间的数量关系，之间的数量关系， 并说明理由。并说明理由。3.3.作作平行线解题平行线解题ABE C D(2)若若E=80E=80且且ABEABE和和CDECDE的平分线交于点的平分线交于点F F， 求求BFDBFD的度数。的度数。 F12由由(1)(1)可知可知E+ABE+E+ABE+C CD DE E=360E=80E=80解：解：过过F
7、作作FNAB ABCD 1=3,2=4 ABCDFNFNBFD=3+BFD=3+4 434BFBF、DFDF分别分别平分平分 ABEABE和和CDECDE3= ABE,3= ABE,214= CDE4= CDE21NBFD= (ABE+BFD= (ABE+CDE)CDE)21ABE+ABE+CDE=2CDE=28080BFD= 280BFD= 280=140211变式变式3已知：如图已知：如图, ABCD，（3）ABEABE和和CDECDE的平分线交于点的平分线交于点 F F，1= ABF,2= CDF.1= ABF,2= CDF.探究探究E、M之之 间的数量关系间的数量关系,并说明理由。并说
8、明理由。3131三、能力提升题精讲三、能力提升题精讲3.3.作作平行线解题平行线解题ABE C DFM2解：设解：设1=x, 2=y1=x, 2=y由由(1)(2)可知，可知，M=1+2=x+y1+2=x+yABE+CDE+E=360ABE+CDE+E=360311= ABF,1= ABF, 2= CDF 2= CDF31ABF=3x,CDF=3yABF=3x,CDF=3yBFBF、DFDF分别平分分别平分 ABEABE和和CDECDEABE=6x,CDE=6yABE=6x,CDE=6yE=360E=360-ABE-CDEABE-CDE=360-6(x+y)E=360E=360- -6MM三、
9、能力提升题精讲三、能力提升题精讲3.3.作作平行线解题平行线解题ABE C DMF12（4）ABEABE和和CDECDE的平分线交于点的平分线交于点 F F，1= ABF,2= CDF.1= ABF,2= CDF.设设E=m,直接用含有直接用含有n, m的代数式表示的代数式表示 M=_.n1n1变式变式3已知：如图已知：如图, ABCD，（3）ABEABE和和CDECDE的平分线交于点的平分线交于点 F F，1= ABF,2= CDF.1= ABF,2= CDF.探究探究E、M之之 间的数量关系间的数量关系,并说明理由。并说明理由。3131nm2-36000三、能力提升题精讲三、能力提升题精讲
10、4.直线位置与交点直线位置与交点例例4.(1)平面上平面上3条直线有条直线有_个交点。个交点。 (2)平面上平面上3条直线两两相交条直线两两相交,有有_个交点。个交点。 （3）解：）解：2条直线产生条直线产生1个交点，个交点， 第第3条直线与前面条直线与前面2条均相交，增加条均相交，增加2个交点，个交点， 这时平面上这时平面上3条直线共有条直线共有1+2=3个交点；个交点； 第第4条与前面条与前面3条均相交，共有条均相交，共有1+2+3=6个交点；个交点； 则则n条直线共有交点个数：条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1) = n(n-1)211或或30或或1或或2或或3(3)平面上平面上
11、n条直线两两相交且无条直线两两相交且无3条或条或3条以条以 上直线共点，有多少个不同交点？上直线共点，有多少个不同交点？三、能力提升题精讲三、能力提升题精讲4.直线位置与交点直线位置与交点 变式：变式： （1）画图说明同一平面内的五条直线最多有）画图说明同一平面内的五条直线最多有 几个交点？几个交点？（2）同一平面内的五条直线可以有）同一平面内的五条直线可以有4个交点吗？个交点吗？如果有，画出符合条件的所有图形；如果没有，如果有，画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由。请说明理由。解：（解：（1）五条直线最多）五条直线最多 有有10个交点。如图个交点。如图（2）有）有4个交点。如图个交点。如图（3）平面上有）平面上有10条直线，无任何三条交于条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排个交点，怎样安排才能办到？画出图形。才能办到？画出图形。 变式：变式：三、能力提升题精讲三、能力提升题精讲4.直线位置与交点直线位置与交点
