1、经济预测与决策第8讲 马尔柯夫预测法主讲：主讲：周忠宝周忠宝 博士博士 副教授副教授湖南大学工商管理学院湖南大学工商管理学院本讲内容本讲内容p马尔柯夫预测的基本概念与原理马尔柯夫预测的基本概念与原理p市场占有率的马尔柯夫预测市场占有率的马尔柯夫预测p期望利润的马尔柯夫预测期望利润的马尔柯夫预测状态和状态转移状态和状态转移马尔柯夫过程马尔柯夫过程概率向量和概率矩阵概率向量和概率矩阵41214132031613121B 正规概率矩阵正规概率矩阵4 . 06 . 06 . 04 . 06 . 04 . 0105 . 05 . 001对于正规概率矩阵对于正规概率矩阵P和概率向量和概率向量U，如果，如果
2、UP=U成立，成立，则称则称U为为P的的固定概率向量固定概率向量。并且。并且P只有一个只有一个固定概率固定概率向量。向量。正规概率矩阵的固定概率向量正规概率矩阵的固定概率向量 1/20P 2/11概概率率矩矩阵阵设设P的固定概率向量为的固定概率向量为 U=(x,1-x)，则由则由 UP=U，得得 U=(1/3,2/3)，为，为P的唯一的固定概的唯一的固定概率向量。率向量。NNNNNNpppppppppPP212222111211) 1 (一步转移概率与转移矩阵一步转移概率与转移矩阵例1k步转移概率与矩阵步转移概率与矩阵61. 04 . 03 . 07 . 07 . 039. 06 . 03 .
3、 03 . 07 . 052. 04 . 06 . 07 . 04 . 048. 06 . 06 . 03 . 04 . 0由此，两步转移概率矩阵为：由此，两步转移概率矩阵为：48. 052. 039. 061. 06 . 04 . 03 . 07 . 06 . 04 . 03 . 07 . 06 . 06 . 03 . 04 . 04 . 06 . 07 . 04 . 06 . 03 . 03 . 07 . 04 . 03 . 07 . 07 . 0)2(2PPkPkP)(状态转移概率的估算状态转移概率的估算iijijmmP imiSijmiSjS是样本资料中状态是样本资料中状态的次数。的次
4、数。 例21S2S3S滞销滞销101m82m33m511m051312mm0100, 5 . 0105, 5 . 0105131211PPP 421m212322mm29. 072,14. 071,57. 074232221PPP031m123332mm33. 031,67. 032, 030331231PPP(注意计算转移概率时最后一期不参加计算)3367. 0029. 014. 057. 0050. 050. 0P系统的稳定状态系统的稳定状态稳定状态概率向量求法稳定状态概率向量求法)SSS(PPPPPPPPP )SSS( n 2 1nn2n1nn22221n11211n 2 1且且 S1+
5、S2+Sn=1由由从而有从而有P11S1+P21S2+Pn1Sn=S1P12S1+P22S2+Pn2Sn=S2 P1nS1+P2nS2+PnnSn=SnS1+S2+Sn=1由前由前n个方程中去掉一个不独立的方程，整理得个方程中去掉一个不独立的方程，整理得10) 1(0) 1(2122221121221111nnnnnsssspspspspspsp即有即有100111111222121211121nnnppppppsss10011111212221212111nnnssspppppp矩阵形式矩阵形式 002010nSSSS kkkPSPSSPSPSSPSS01201201马尔柯夫预测模型马尔柯夫
6、预测模型 knkkkSSSS21马尔柯夫预测模型马尔柯夫预测模型 knnnnnnkpppppppppSS2122221112110马尔柯夫预测法的应用条件马尔柯夫预测法的应用条件o必须将研究的问题归纳成独立的状态；必须将研究的问题归纳成独立的状态；o要确定经过一个时期后，系统由一种状态转变为另一要确定经过一个时期后，系统由一种状态转变为另一种状态的概率，并且这种概率必须满足下列条件：种状态的概率，并且这种概率必须满足下列条件：n只与目前状态有关；只与目前状态有关；n与具体的时间周期无关；与具体的时间周期无关；n预测期间，状态的个数必须保持不变。预测期间，状态的个数必须保持不变。预测步骤预测步骤
7、例3各月商品销售额各月商品销售额 单位：万元单位：万元M1=7；M2=5；M3=8M11=3；M12=4；M13=0；M21=1；M22=1；M23=3；M31=2；M32=0；M33=5。7507253515107473P练习练习50y10050 y100y1S2S3S 1061031018583002121P313233PPP3S市场占有率市场占有率)1()1(2)1(1)1(,nssssnn) t (n2n) t (21n) t (11)(tnn2) t (n22) t (212) t (11)(t2n1) t (n21) t (211) t (11)(t1PS PS PSS PS PS
8、 PSSPS PS PSS nn2n1nn22221n11211) t (n) t (2) t (1) 1t (n) 1t (2) 1t (1PPPPPPPPP)S S S()S S S( 例4企业占有顾客变化情况企业占有顾客变化情况 单位：人单位：人解：解： 1确定初始状态确定初始状态以上月各企业的市场占有率为初始状态，以上月各企业的市场占有率为初始状态，S(0)=(0.52,0.30,0.18)2.计算转移概率计算转移概率70. 020. 00.1030. 035. 00.3510. 030. 00.60P 3.计算本期市场占有率计算本期市场占有率本月市场占有率本月市场占有率S(1)=S(
9、0)P,即：即： S(1)=(0.435,0.297,0.268)4.后续周期趋势预测后续周期趋势预测若以本月为第一个月若以本月为第一个月,则第则第K个月的市场占有率为个月的市场占有率为S(K)=S(0)PK。如果需要进行长期趋势预测。如果需要进行长期趋势预测,则可以此公则可以此公式计算下去。如下表式计算下去。如下表5长期市场占有率预测长期市场占有率预测稳定状态分析稳定状态分析若以若以SA、SB、 SC分别代表稳定状态下分别代表稳定状态下A、B、C各企业各企业产品的市场占有率，则：产品的市场占有率，则：)S S S(70. 00.200.1030. 00.350.3510. 00.300.60
10、 )S S (SCBACBA0.6SA+0.35SB+0.1SC=SA0.3SA+0.35SB+0.2SC=SB0.1SA+0.3SB+0.7SC=SCSA+SB+SC=1SA=0.3375，SB=0.2750，SC=0.3875。即系统稳定时，A、B、C各企业产品的市场占有率分别为33.75%，27.5%，38.75%。例5 45. 030. 025. 01000450100030010002500302010SSSS911. 0022. 0067. 01 . 0833. 0067. 004. 004. 092. 045041045010450303003030025030020250102
11、5010250230P PSSSSS0131211145. 027. 028. 0911. 0022. 0067. 01 . 0833. 0067. 004. 004. 092. 045. 03 . 025. 0 PSPSSSSS1202322212448. 0246. 0306. 0911. 0022. 0067. 010. 0833. 0067. 004. 004. 092. 045. 027. 028. 0100111111322212312111321PPPPPPSSSS%4.38%0.16%6.45384.0160.0456.01003844077.02910053.54505993
12、.71598099.02910053.56478782.04557823.000000.08027211.6100111022.01833.004.0067.0067.0192.01 次数下 期 状 态合计ABC本期状态A160120120400B1809030300C1803090300例6 3 . 03 . 04 . 01000300100030010004000302010SSSS3 . 01 . 06 . 01 . 03 . 06 . 03 . 03 . 04 . 030090300303001803003030090300180400120400120400160P PSSSSS01
13、3121113 . 01 . 06 . 01 . 03 . 06 . 03 . 03 . 04 . 03 . 03 . 04 . 024. 024. 052. 0 303332313PSSSSS2496. 02496. 05008. 03 . 01 . 06 . 01 . 03 . 06 . 03 . 03 . 04 . 04 . 03 . 04 . 0310011111132221231211111PPPPPPBPS25. 025. 050. 01001111 . 013 . 03 . 06 . 06 . 014 . 01期望利润预测期望利润预测22211211rrrrR22211211pp
14、ppP2211) 1 (iiiiiprprR一次转移的期望利润一次转移的期望利润例76 . 04 . 03 . 07 . 0P94412R6 . 943 . 0127 . 0) 1 (121211111rPrPR8 . 3)9(6 . 044 . 0) 1 (222221212rPrPR8 . 36 . 9) 1 () 1 () 1 (21RRRnirpRnjijiji, 2 , 1,) 1 (1nipkRRkRnjijjii, 2 , 1,) 1() 1 ()(1) 1() 1 ()(kPRRkR1115R季度季度12345678910 11 12销售状态销售状态 畅畅畅畅滞滞畅畅滞滞滞滞畅
15、畅畅畅畅畅滞滞畅畅滞滞季度季度13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24销售状态销售状态 畅畅畅畅滞滞滞滞畅畅畅畅滞滞畅畅滞滞畅畅畅畅畅畅例72777S1S2本期状态S1 S2下 期 状 态 次数22. 09278. 0975 . 01475 . 0147P(1)根据资料估计状态转移概率并确定状态转移概率矩阵根据资料估计状态转移概率并确定状态转移概率矩阵1115R千千元元35 . 015 . 05) 1 (121211111prprR12212111111) 1 () 1 ()2(pRrpRrR千千元元78. 45 . 056. 015 . 03512212111111)2()2() 3(pRrpRrR千千元元00. 75 . 022. 315 . 078. 45
