1、3.3.两个平行平面的距离两个平行平面的距离ABA B 和两个平面和两个平面同时垂直同时垂直的直线，叫做这的直线，叫做这两个平两个平面的公垂线面的公垂线。公垂线夹在平行平面之间的部分，。公垂线夹在平行平面之间的部分，叫做这叫做这两个平面的公垂线段两个平面的公垂线段。两个平行平面两个平行平面的的公垂线段公垂线段的长的长度，叫做度，叫做两个平两个平行平面的距离行平面的距离。ABCA1思考思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？任意两条异面直线都有公垂线吗？ 有多少条公垂线？有多少条公垂线？已知异面直线已知异面直线AA1和和BC，直线直线AB与异面直线与异面直线AA1，BC都垂都垂直相交。直相交。和两条
2、异面直线都和两条异面直线都垂直相交垂直相交的直线叫做两条异面直线的的直线叫做两条异面直线的公垂线公垂线，公垂线夹在异面直，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异线间的部分，叫做这两条异面直线的面直线的公垂线段公垂线段。4.异面直线的距离异面直线的距离定理一定理一：任意两条异面直线：任意两条异面直线有且只有一条有且只有一条公垂线。公垂线。存在性：存在性：abPaQMcBA直线直线ABAB就是异面直就是异面直线线a,ba,b的公垂线的公垂线唯一性：唯一性：假如还有直线假如还有直线A AB B也是也是a,b的公垂线，则的公垂线，则 ABa ABb a/a ABa所以所以 AB平面平面 又又AB 平
3、面平面 AB/AB 则则 a,b共面共面 矛盾！矛盾！AB定理二定理二：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中两条异面直线上两点的线段中最短最短的一条。的一条。abABCD两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离两条异面直线的距离aabAAdEFlmn例例4 已知两条异面直线所成的角为，在直线、上已知两条异面直线所成的角为，在直线、上分别取、，已知，求公垂线分别取、，已知，求公垂线段的长度。段的长度。 abEF,A EmAFnEFl AA d,EFEAA AAF 22|EFEAA AAF 222|
4、2EAA AAFEA A AA A AFEA AF 22222cos,lmdnmn 2222cos.dlmnmn , or ,EAA AA AAFEAAF 解：解：2222cosdlmnmn 异面直线的距离公式：异面直线的距离公式：6.已知正方体已知正方体 ,说出下列各对棱所在说出下列各对棱所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：直线的公垂线，并求它们之间的距离：ABCDA B C D DCBADABCAB与与BC； AB与与CC；AD与与BB； CD与与BC；AB与与CD。练练 习习7.如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形OABC各边及对角各边及对角线长都是线长都是1，D,E分别是分别是O
5、A,BC的中点，连结的中点，连结DE。（1）求证：）求证：DE是是OA和和BC的公垂线。的公垂线。（2）求）求OA和和BC间的距离。间的距离。EDOABCQPOD1C1B1A1DABC8.正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，P为为AB中点，中点，Q为为BC中点，中点，AA1=a, O为正方形为正方形ABCD的中心，求的中心，求PQ与与C1O间的距离。间的距离。M例例5：已知二面角已知二面角-l-l-的大小是的大小是1200，A,C 且且ABl,CDll,CDl，AB=CD=a, AC=2a,求（求（1）BD的长；的长； （2）BD和和AC所成角的余弦值；所成角的余弦值； （3）BD和和
6、AC的距离。的距离。DBl,ABCDlD1C1B1A1DABC思考：思考：已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为1 1，求异面直线与的距离。求异面直线与的距离。1111ABCDA B C D 1AB11A CO1OH求异面直线的距离的常用方法：求异面直线的距离的常用方法：（1 1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。ab（2 2） 转化为求线面间的距离。转化为求线面间的距离。a/平面平面bab（3 3） 转化为求平行平面间的距离。转化为求平行平面间的距离。a/平面平面, b/, b/平面平面ab注意：（注意：（2 2）3 3）可进一步转化为点到平
7、面的距离。）可进一步转化为点到平面的距离。课堂小结：课堂小结：（4 4）用模型公式）用模型公式cos2222mnnmld（5 5）向量方法：先求两异面直线的公垂线方向的向量，）向量方法：先求两异面直线的公垂线方向的向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长长abEFnEF ndn 空间距离补充例题空间距离补充例题1. .有关点到直线、点到平面距离的求法有关点到直线、点到平面距离的求法.)3()2(;)1(.6043. 11111111111111111的的距距离离到到平平面面求求点点所所成成角角；与与平平面面求求直直线线平平面面
8、求求证证：平平面面，是是矩矩形形，是是菱菱形形，四四边边形形中中，四四边边形形如如图图，在在三三棱棱柱柱例例CBACBBCCCAABBABCAABAABCBBCABBBCCABBACBAABC M OA C B A1B1C1转化思想转化思想. 211的的距距离离与与，求求异异面面直直线线的的正正方方体体棱棱长长为为例例DBCAACaA D C B A1D1B1C12. .给出公垂线的两条异面直线距离的求法给出公垂线的两条异面直线距离的求法HO.211的的距距离离与与，求求异异面面直直线线的的正正方方体体棱棱长长为为例例DBCBACaA D C B A1D1B1C1O转化思想转化思想.12)2(;)1(. 3111111111111111的大小的大小时，求时，求的距离为的距离为到平面到平面，直线，直线当当平面平面求证：平面求证：平面中，中，如图，在斜平行六面体如图，在斜平行六面体例例BADDBDBAABACACADBDBBADADAABAADABDCBAABCD 3. .直线和平面间的距离与两平行平面间的距离直线和平面间的距离与两平行平面间的距离A D C B A1D1B1C1OO1HMMOD
