1、微分方程的基本概念 第一节第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第五章 解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时其中其中,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为引例引例2 2 列车在平直路上以列车在平直路上以sm20的速度行驶的速度行驶, , 制动时制动时获得加速度获得加速度,sm4 . 02a求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律. .解解: : 设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米, ,已知已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts
2、由前一式两次积分由前一式两次积分, , 可得可得2122 . 0CtCts利用后两式可得利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为因此所求运动规律为, tt.s20202即求即求 s = s (t) .,t.v2040微分方程微分方程: :. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 表示未知函数、未知函数导数以及自变量表示未知函数、未知函数导数以及自变量之间关系的关系式叫做之间关系的关系式叫做微分方程微分方程 .微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最分类分类1 1: : 常微分方
3、程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. .0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶阶显式显式微分方程微分方程)一般地一般地, , n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是或或高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之. .微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. . ,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且
4、任 意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. ., yy 例例;xCey 通解通解, 0 yy;cossin21xCxCy 通解通解(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .初始条件初始条件初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的特解的问题求微分方程满足初始条件的特解的问题. .) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxyn 阶方程的阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) )记作记作) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy,00ts200ddtts引例
5、引例2 24 . 022ddxsxxy2dd21xy引例引例1 1 Cxy22122 . 0CtCts通解通解: :tts202 . 0212 xy特解特解: :)()(1n)n(y,y, y, xfy解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd00tdtdx的特解的特解. ,Axt0. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特
6、解为所求特解为.cosktAx 求曲线所满足的微分求曲线所满足的微分例例2 2 已知曲线上任一点已知曲线上任一点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点轴交点为为QPQxyox解解: : 如图所示如图所示, , yYy1)(xX 令令 Y = 0 , , 得得 Q 点的横坐标点的横坐标yyxX,xyyx即即02 xyy点点 P(x, y) 处的法线方程为处的法线方程为且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分, , 方程方程 . 作作 业业 P353 1(2)(3) 2(3)(4) 3(3)微分方程；微分方程；微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ; 初
7、始条件；初始条件；特解；特解；初值问题；初值问题； 积分曲线积分曲线四、小结四、小结本节基本概念：本节基本概念：思考题思考题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?思考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.三三、设设曲曲线线上上点点),(yxP处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为Q, ,且且线线段段PQ被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空题填空题: : 1 1、022 yxy
8、yx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、 2sin dd是是_阶微分方程；阶微分方程；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . .二、确定函数关系式二、确定函数关系式)sin(21CxCy 所含的参数所含的参数, ,使使 其满足初始条件其满足初始条件1 xy, ,0 xy. .练练 习习 题题四四、已已知知函函数数1 xbeaeyxx, ,其其中中ba ,为为任任意意常常 数数, ,试试求求函函数数所所满满足足的的微微分分方方程程 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、3 3； 2 2、2 2； 3 3、1 1； 4 4、2.2.二、二、.2, 121 CC三、三、02 xyy. .四、四、xyy 1. .
