1、2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为，所以,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握
2、集合的交并补的基本概念即可求解.2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计
3、值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；该地农户家庭年收入平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的
4、估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】，.故选：B.4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6【答案】C【解析】【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【详解】由，当时，
5、则.故选：C.5. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.6. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图
6、，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案【详解】由题，当数列时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的
7、必要条件故选：B【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）A. 346B. 373C. 446D. 473【答案】B【解析】【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案【详解】
8、过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以所以因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以故选：B【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为9. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，解得，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.10. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【
9、详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为.故选：C.11. 已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.【详解】，为等腰直角三角形，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12. 设函数的定
10、义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案【详解】因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路一：从定义入手所以思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方
11、程公式即可【详解】由题，当时，故点在曲线上求导得：，所以故切线方程为故答案为：14. 已知向量若，则_【答案】.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.15. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_【答案】【解析】【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以， ，即四
12、边形面积等于.故答案为：.16. 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为_【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.三、解答题：共70分解答应写出交字说明、证明
13、过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【解析
14、】【分析】根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,乙机床生产的产品中的一级品的频率为.（2）,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18. 已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列是等差数列：数列是等差数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【答案】证明过程见解析【解析】【分析】选作条件证明时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定
15、义可证；选作条件证明时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选作条件证明：方法一：待定系数法+与关系式设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，故.方法二 ：待定系数法设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立则有，解得所以选作条件证明：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选作条件证明：方法一：定义法设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.方法二【最
16、优解】：求解通项公式因为，所以，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择证明的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进而得到；选时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求
17、，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点 （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）方法一：几何法因为，所以又因为，所以平面又因为，构造正方体，如图所示，过E作
18、的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则又因为，所以又因为，所以平面又因为平面，所以 方法二 【最优解】：向量法因为三棱柱是直三棱柱，底面，又，平面所以两两垂直以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，由题设（）因为，所以，所以 方法三：因为，所以，故，所以，所以（2）方法一【最优解】：向量法设平面的法向量为，因为，所以，即令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则当时，取最小值为，此时取最大值为所以，此时 方法二 ：几何法如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面
19、与平面所成二面角的平面角设，过作交于点G由得又，即，所以又，即，所以所以则，所以，当时，方法三：投影法如图，联结，在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则设，在中，在中，过D作的平行线交于点Q在中，在中，由余弦定理得，当，即，面与面所成二面角的正弦值最小，最小值为【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方
20、法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维20. 抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且已知点，且与l相切（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切判断直线与的位置关系，并说明理由【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标
21、，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；（2）方法一：设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程
22、为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.方法二【最优解】：设当时，同解法1当时，直线的方程为，即由直线与相切得，化简得，同理，由直线与相切得因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为所以直线与相切综上所述，若直线与相切，则直线与相切【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到
23、直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路21. 已知且，函数（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.【详解】（1）当时，,令得,当时，,当时，,函数在上单调递增；
24、上单调递减；（2）方法一【最优解】：分离参数设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.方法二：构造差函数由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解构造函数，求导数得当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意；当时，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为由于，当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即构造函数，则，所以递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且所以，实数a
25、的取值范围为方法三分离法：一曲一直曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点当时，与只有一个交点，不符合题意当时，取上一点在点的切线方程为，即当与为同一直线时有得直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点记，令，有在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所当且时有综上所述，实数a的取值范围为方法四：直接法因为，由得当时，在区间内单调递减，不满足题意；当时，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即
26、故实数a的范围为【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.方法三：将问题取对，分成与两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22. 在直角坐标系中，以坐
27、标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；（2）方法一：设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为；（2）方法一【最优解】设，设，则，即，故P的轨迹的参数方程为（为参数）曲线C的圆心为，半径
28、为，曲线的圆心为，半径为2，则圆心距为，两圆内含，故曲线C与没有公共点.方法二：设点的直角坐标为，因为，所以，由，即，解得，所以，代入的方程得，化简得点的轨迹方程是，表示圆心为，半径为2的圆；化为参数方程是，为参数；计算，所以圆与圆内含，没有公共点【整体点评】本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，方法一：利用参数方程的方法，设出的参数坐标，再利用向量关系解出求解点的参数坐标，得到参数方程. 方法二：利用代数方法，设出点的坐标，再利用向量关系将的坐标用点的坐标表示，代入曲线C的直角坐标方程，得到点的轨迹方程，最后化为参数方程.选修4-5：不等式选讲（10分）23. 已知函数（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围【答案】（1）图像见解析；（2）【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.【详解】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
