1、1/15 拉盖尔多项式拉盖尔多项式 I氢原子薛定谔方程氢原子薛定谔方程广义拉盖尔方程广义拉盖尔方程拉盖方程与拉盖尔多项式拉盖方程与拉盖尔多项式广义拉盖尔多项式广义拉盖尔多项式2/15 ErZe )2(222定态薛定谔方程定态薛定谔方程rZerV2)( 氢原子是最简单的原子氢原子是最简单的原子,它的核由一个它的核由一个质子组成质子组成,其电荷数其电荷数 Z=1. 为使计算结果为使计算结果也适用于其它类氢原子也适用于其它类氢原子, 假定原子核有假定原子核有 Z 个质子个质子, 带有正电荷带有正电荷 +Ze . 取核在坐取核在坐标原点标原点, 根据库仑定律根据库仑定律, 势函数势函数)(222zyx
2、r 薛定谔方程薛定谔方程 2222rZeti 分离变量分离变量. 设设)(),(),(tfzyxtzyx 3/15 rryxz cossinsincossinrzryrx 0,20 2222222zyx 22222222sin1)(sinsin1)(1 rrrrrr势能具球面对称性势能具球面对称性, 考虑坐标变换考虑坐标变换22222222sin1)(sinsin1)(1 rrrrrr4/15)(222rVH 薛定谔方程算符薛定谔方程算符sin1)(sinsin122222 L其中其中rzerLrrrrH2222222)(12 ErZerLrrrr 2)(12222222球坐标系下定态薛定谔方
3、程球坐标系下定态薛定谔方程),()(),( YrRr 分离变量法分离变量法, 设设)(2)(2222222RYERYrLrZerrrr 5/15 2)(22222rZeErrRrrRYYL YYL 2角动量本征方程角动量本征方程ErYLYrZerRrrRr 22222221)(12 YYL2 2)(22222rZeErrRrrRYYL 2)(2222rZeErrRrrRYllYL)1(22 求解结果求解结果(见球谐函数见球谐函数) 6/15径向方程径向方程YllYL)1(122 角向方程角向方程RllRrZeErdrdRrdrd)1(2)(2222 ( 球谐函数球谐函数 )( 拉盖多项式拉盖多
4、项式 )0)1(2222222 RrllRrZeEdrdRrdrRd 令令 , r )()( RU 1drdRddU 222221 drRddUd 7/1541222 E28E 222 Ze 令令 0)1(/22222222 UllUZeEddUdUd 0)1(412222 UllUUddUdUd 渐近行为分析渐近行为分析: :当当 时时, 方程近似为方程近似为)0( 8/152/ eU04122 UdUd 2/)( euUl令令0) 1(2222 UllddUdUd lU 02/241) 1( euuullUlll2/112121 2 euulullll ululll)2(1 2/12)41
5、) 1( eullllll2/121 euuulUlll2/1122)2(2 euulUlll9/150)1() 1( 222 uldduldud 称方程为称方程为 n 次次 (2l +1) 阶广义拉盖尔方程阶广义拉盖尔方程)(r 2/)( euUl)()(rUrR 径向薛定谔方程解径向薛定谔方程解)()(12 lnLu为为 n 次次 (2l +1) 阶广义拉盖尔多项式阶广义拉盖尔多项式2/ )(12)()()(rlnllnerLrrR nl ) 1( 记记10/15拉盖尔方程拉盖尔方程0)1(22 nydxdyxdxydx 0111)1(kkkkkkxkckxcdxdy 112222)1()
6、1(kkkkkkkxkcxkkcxdxydx 1kkkkxcdxdyx 0kkkxcy设级数解设级数解 0kkknxcny0)1()(012 kkkkxckckn微分方程微分方程 11/150)1()(12 kkckcknkkckknc21)1( ), 2, 1, 0( k01ncc 021222)1(21cnncnc 02122223) ! 3()2)(1(32)2)(1(32cnnncnncnc 02) !()1()1()1(ckknnnckk 002!1)1() !(!)1(cncnncnnn ), 2, 1( k12/15!1)1() ! 2()1(1 220nnxnxnnnxcy 拉
7、盖尔方程拉盖尔方程多项式解多项式解 nkkknxknknxL022)!() !(1)1() !()(取取!0nc 多项式最高次项系数为多项式最高次项系数为n)1( !) !()1()1()1(2nkknnnckk 22) !()!() !()1(kknnn ), 2, 1, 0( k13/151)(0 xL1)(1 xxL24)(22 xxxL6189)(233 xxxxL24967216)(2344 xxxxxL拉盖尔拉盖尔多项式多项式0)1( nnnnLLxLx拉盖尔拉盖尔方程方程0)1( nxnxnxLneLexLxe0)( nxnxLneLxe14/15!1)1() ! 2()1(1
8、220nnxnxnnnxcy 注注: 量子力学教材所用拉盖尔量子力学教材所用拉盖尔多项式略有不同多项式略有不同 nkkknxknknxL02)!() !(1)1(!)(取取10 c广义拉盖尔多项式广义拉盖尔多项式2) !()!(!)1(kknncnk ), 2, 1, 0( k nkkkmnxkmknknmxL0)!()!( !1)1()!()(15/151)(0 xLxxL 1)(1)42(21)(22xxxL 0)(1()( mnmnmnnLLxmLx拉盖尔方程与广义拉盖尔方程比较拉盖尔方程与广义拉盖尔方程比较1)(10 xLxxL 2)(11)66(21)(212xxxL 1)(20 xLxxL 3)(11)812(21)(222xxxL 0)1( nnnnLLxLx拉盖尔多项式与广义拉盖尔多项式比较拉盖尔多项式与广义拉盖尔多项式比较16/15思考题与练习题思考题与练习题22222222sin1)(sinsin1)(1 ururrurrru1. 比较极坐标和球坐标下拉普拉斯表达式异同比较极坐标和球坐标下拉普拉斯表达式异同0)1(2222 RlldrdRrdrRdr2. 证明二阶常微分方程证明二阶常微分方程的解为的解为)1(21)( llrCrCrR22222211 vrrvrrvv
