1、知识结构因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法待定系数法求根法一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。提公因式法随堂练习：二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。 接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab
2、+b2)及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导 222222222222222212222122222221zyzxyxzyzyzxzxyxyxyzxzxyzyxyzxzxyzyx222公式法随堂练习：二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。三、十字相乘法(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq例1：因式分解x2+4x+31313+1
3、+3p、q型因式分解例2：因式分解x27x+10(2)(5)(2) + (5)25十字相乘法随堂练习：三、十字相乘法试因式分解6x2+7x+2。十字相乘法（适用于二次三项式）ac(ad+bc)bd二次项系数常数项= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 223124+ 3= 721 3213522+ 15= 1113255+ 62 35= 65 x2 6 xy 8 y2试因式分解5x26xy8y2。十字相乘法15244 10254简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。十字相乘法随堂练习：四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因
4、式分解的目的。例1：因式分解 abac+bdcd 。(ab ac) (bd cd)(b c)(b c)(a + d) 还有别的解法吗？四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解 abac+bdcd 。(ab + bd) (ac + cd)(a + d)(a + d) (b c)例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。(x2+x+1) (x+1)(x2x+1)立方和公式分组分解法随堂练习：回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。+2x2x2(x2+1)2 (x2+x+1)(x2x+1)五*、拆项添项法怎么
5、结果与刚才不一样呢？因为它还可以继续因式分解 拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。 最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。五*、拆项添项法+ 4x2 4x2都是平方项猜测使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆项添项法随堂练习：配方法配成完全平方式因式分解 a2b2+4a+2b+3 。(b1)2配方法 (拆项添项法)分组分解法完全平方公式平方差公式二、新课1. 我们把)0(2acbxax叫做x的二次三项式。这个式子的x的最高次项是2，并有一次项和常数项
6、，共有三项。2. 请同学说出x的二次三项式)0(2acbxax和x的一元二次方程)0(02acbxax形式上有什么不同？答案：二次三项式是代数式，没有等号，方程有等号。3. 用配方法把222xx分解因式。分析：对xx22再添一次项系数的一半的平方（注意：因为因式分解是恒等变形，所以必须同时 减去一次项系数一半的平方）解：) 31)(31() 3() 1(3) 1(21122222222xxxxxxxx这是配方的关键4. 分解因式6822xx分析：把二次项系数化为1，便于配方，但不能各项 除以2 ，而是各项提取公因数2我们知道在解一元二次方程时，配方法的步骤是固定模式的，即“千篇一律”，它的一般
7、模式就是解一元二次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解必定与方程的根有关系，这个关系是什么7272 2)7() 2(2 7) 2(2 34) 44(2) 34( 2682222222xxxxxxxxxx解：从以上例2的因式分解来研究。与二次三项式6822xx对应的一元二次方程是 6822xx=0 这个方程的两根是7222)6(24)8(82x72,7221xx由此可以看出例2的因式分解的结果与两根的关系是什么？)(2)72()72( 2682212xxxxxxxx这个关系是：二次三项式系数乘以x 减去一个根的差，再乘以x减去另一个根所得的差。以上的结论怎样证明？证明：设一元二次方程aa
8、cbbxaacbbxxxacbxax24,24)0(02221212则，的两根是)(),(,2221212121acxabxacbxaxxxacxxabacxxabxx就是)()(2121212xxxxaxxxxxxa结论：在分解二次三项式例如，已知一元二次方程2, 10462212xxxx的两根是就可以把二次三项式分解因式，得)2)(1(24622xxxx然后写成的两根公式求出方程的因式分解时，可先用2122,0)0(xxcbxaxacbxax)(212xxxxacbxax三、例题讲解例1 把8652 xx分解因式1014610196652)8(5466086522xxx的根是解：方程2,5
9、421xx即：)2)(54(58652xxxx)2)(45(xx此步的目的是去掉括号内的分母例2分解因式把22582yxyx22)5(24)8(805822222yyyxyxyxx的根是的方程解：关于yyy2644628)264)(264(258222yxyxyxyx本题是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数注意：1.因式分解是恒等变形，所以公式)(212xxxxacbxax中的因式 千万不能忽略。2.在分解二次三项式cbxax2的因式时，可先用求根公式求出方程02cbxax的两个根x1,x2然后,写成)(212xxxxacbxaxa2. 选择题（1）已知方程,2130322和的两根为axx
10、分解因式的结果为则322axx（ ）)21)(3(xxA、)21)(3(2xxB、)21)(3(2xxC、)21)(3(2xxD、（2）下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ ）1562 xxA、2242yxyxC、22542yxyxD、DD五、本课小结1. 对于不易用以前学过的方法：cbxax2)()(2bxaxabxbax分解二次三项式宜用一元二次方程的求根公式分解因式。2. 当因式；在实数范围内可以分解时，cbxaxacb2204因式；在实数范围内不能分解时，cbxaxacb2204当(例如：分解因式2322 xx在实数范围内不能分解)3. 用求根公式分解二次三项式)0(2acbxax其程序是固定的，即：（1）第一步：令02cbxax（2）第二步：求出方程的两个根;,21xx；（3）写出公式)(212xxxxacbxax并把;,21xx的值代入公式中的21,xx处。
