1、信号与系统信号与系统Signals and Systems三峡大学电气信息学院电子工程系李海军课程位置课程位置:先修课程先修课程后续课程后续课程高等数学高等数学线性代数线性代数复变函数复变函数 电路电路本课程为通信、电子类学生重要的专业基础课。本课程为通信、电子类学生重要的专业基础课。数字信号处理数字信号处理 通信原理通信原理 郑君里郑君里 应启珩应启珩 杨为理杨为理:信号与系统信号与系统(第二版第二版) 上下册上下册 高等教育出版社高等教育出版社 2000年年5月月教材:讲课内容：一至八章，十二章讲课内容：一至八章，十二章主要参考书目:(1) 吴大正吴大正: 信号与线性系统分析信号与线性系统
2、分析. 高等教育出版社高等教育出版社, 2004(2) ALANV.OPPENHEIM :Signals and Systems(信号与系统信号与系统) 电子工业出版社，电子工业出版社，2006.8(3) 管致中等管致中等: 信号与线性系统信号与线性系统. 高等教育出版社高等教育出版社, 2002(4) Simon Haykin,Barry Van Veen: Signals and Systems , second Edition. 电子工业出版社，电子工业出版社，2003.7 主要内容主要内容本课程研究信号与系统理论的基本概念与基本分析方法。本课程研究信号与系统理论的基本概念与基本分析方法
3、。第一章第一章 绪论（信号、系统基本概念）绪论（信号、系统基本概念）第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析第三章第三章 傅里叶变换傅里叶变换第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析域分析第五章第五章 傅里叶变换应用于通信系统傅里叶变换应用于通信系统-滤波、调制与抽样滤波、调制与抽样第六章第六章 信号的矢量空间分析信号的矢量空间分析第七章第七章 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析第八章第八章 z变换、离散时间系统的变换、离散时间系统的z域分析域分析第十二章第十二章 系统的状态变量分析系统的状态变量分析与与电路电路比较，更抽象，更
4、一般化；比较，更抽象，更一般化；应用数学知识较多，用数学工具分析物理概念；应用数学知识较多，用数学工具分析物理概念；常用数学工具：常用数学工具： 微分、积分微分、积分( (定积分、无穷积分、变上限积分）定积分、无穷积分、变上限积分） 线性代数线性代数 微分方程、差分方程求解微分方程、差分方程求解 傅里叶级数、傅傅里叶级数、傅里里叶变换、拉氏变换、叶变换、拉氏变换、z 变换变换课程特点课程特点学习方法学习方法注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计算；注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计算；注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理意义及其产注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的
5、物理意义及其产生的后果；生的后果；同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的解法，比较同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的解法，比较各方法之优劣；各方法之优劣；在学完本课程相当长的时间内仍需要反复学习本课程的基本概在学完本课程相当长的时间内仍需要反复学习本课程的基本概念。念。图1RC无源低通滤波电路)()()(3)(2222tetrdttdrRCdttrdCR )()()(3)(222sEsRsRCsRsRsCR )()(55)()()()(1253253125325323zEzeeTRCzRzRzeezRzeTRCTRCTRCTRCTRC ) 1()(55)() 1()() 2(2
6、532532532533 neeeTRCnrnreenreTRCTRCTRCTRCRCT(1)闭卷考试闭卷考试.70%(2)课内外练习课内外练习.15%(3)实验实验.10% (4)平时表现（含上课）平时表现（含上课）.5%考核本课程为学位课程。信号信号(signal)系统（系统（system）信号理论与系统理论信号理论与系统理论What Is a Signal? A signal is formally defined as a function of one or more variables that conveys information on the nature of a phys
7、ical phenomenon. What Is a System? A system is formally defined as an entity that manipulates one or more signals to accomplish a function, thereby yielding new signals.信号信号( (Signal) )消息（消息（Message）：在通信系统中，一般将语言、文字、：在通信系统中，一般将语言、文字、图像或数据统称为消息。图像或数据统称为消息。信号（信号（Signal）：指消息的表现形式与传送载体。指消息的表现形式与传送载体。信息（
8、信息（Information）：一般指消息中赋予人们的新知识、一般指消息中赋予人们的新知识、新概念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。新概念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传送内信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传送内容。例如电信号传送容。例如电信号传送声音、图像、文字声音、图像、文字等。等。电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等。通等。 系统系统( (System) )系统（系统（system）：由若干相互作用和相互依赖的事物由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具
9、有稳定功能的整体。如太阳系、组合而成的，具有稳定功能的整体。如太阳系、通信通信系统系统、控制系统控制系统、经济系统、生态系统等。、经济系统、生态系统等。系统可以看作是变换器、处理器。系统可以看作是变换器、处理器。电系统具有特殊的重要地位。如微分、积分、放大电电系统具有特殊的重要地位。如微分、积分、放大电路可以完成对输入信号微分、积分、放大的功能，它路可以完成对输入信号微分、积分、放大的功能，它们也可以被称为系统。们也可以被称为系统。在电子技术领域中，在电子技术领域中，“系统系统”、“电路电路”、“网络网络”三个名词在一般情况下可以通用。三个名词在一般情况下可以通用。Overview of Sp
10、ecific Systems : Communication Systems Control Systems Micro-electromechanical Systems Remote Sensing Biomedical Signal Processing Auditory System Analog versus Digital Signal Processing 信号理论与系统理论信号理论与系统理论信号理论信号理论 系统理论系统理论 信号分析信号分析：研究信号的基本性能，如信号：研究信号的基本性能，如信号 的描述、性质等。的描述、性质等。信号传输：信号传输：信号处理：信号处理：系统分析
11、系统分析：给定系统，研究系统对于输入：给定系统，研究系统对于输入 激励所产生的输出响应。激励所产生的输出响应。系统综合：按照给定的需求设计（综合）系统综合：按照给定的需求设计（综合） 系统（滤波器设计）。系统（滤波器设计）。重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。 通信的目的是为了实现消息的传输。通信的目的是为了实现消息的传输。原始的光通信系统原始的光通信系统古代利用烽火传送边疆警报；古代利用烽火传送边疆警报；声音信号的传输声音信号的传输击鼓鸣金。击鼓鸣金。利用电信号传送消息。利用电信号传送消息。1837年，莫尔斯年，莫尔斯(F.B.
12、Morse)发明电报；发明电报；1876年，贝尔年，贝尔(A.G.Bell)发明电话。发明电话。利用电磁波传送无线电信号。利用电磁波传送无线电信号。1901年，马可尼年，马可尼(G.Marconi)成功地实现了横渡大西洋的成功地实现了横渡大西洋的无线电通信；全球定位系统无线电通信；全球定位系统GPS(Global Positioning System)；个人通信具有美好的发展前景。；个人通信具有美好的发展前景。光纤通信带来了更加宽广的带宽。光纤通信带来了更加宽广的带宽。信号的传输离不开信号的交换。信号的传输离不开信号的交换。信号传输信号传输信号处理信号处理(Signal Processing
13、)含义：含义：对信号进行某种加工或变换。对信号进行某种加工或变换。目的目的：消除信号中消除信号中的的多余内容；多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。和选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。 通信系统通信系统(Communication Systems) 为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。信道信道发送发送设备设备接收接收设备设备受信受信者者信息信息源源噪声噪声源
14、源上面框图中的每个部分与信号、系统的关系？上面框图中的每个部分与信号、系统的关系？信号的分类信号的分类典型确定性信号介绍典型确定性信号介绍信号与系统的描述框图信号与系统的描述框图激励激励输入信号输入信号响应响应输出信号输出信号系统系统一信号的分类一信号的分类信号的描述：数学表达式、函数的图像（波形）信号的描述：数学表达式、函数的图像（波形）信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。进行分类。按实际用途划分按实际用途划分：电视信号电视信号雷达信号雷达信号控制信号控制信号通信信号通信信号广播信号广播信号按所具有的时间特性划分按所具有的时间特性划分
15、：1.4 Classification of Signals a real-valued signal a complex-valued signal1) Continuous-time and discrete-time signals2) Even and odd signals symmetric conjugate symmetric antisymmetric conjugate antisymmetric3) Periodic signals and nonperiodic signals fundamental period frequency angular frequency
16、4) Deterministic signals and random signals5) Energy signals and power signals1 1确定性信号和随机信号确定性信号和随机信号( (Deterministic signals and random signals )确定性信号：确定性信号：对于指定的某一时刻对于指定的某一时刻 t ，可确定一相应的函数值，可确定一相应的函数值 f(t)。若干。若干不连续点除外。不连续点除外。随机信号随机信号:具有未可预有未可预知性。具有未可预有未可预知性。伪随机信号：伪随机信号：貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。貌似随机而遵
17、循严格规律产生的信号（伪随机码）。 2 2周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号(periodic and nonperiodic signals) 非周期信号非周期信号周期信号周期信号 号号）除除简简谐谐信信号号外外的的周周期期信信复复杂杂周周期期信信号号（）简简谐谐信信号号正正弦弦周周期期信信号号（ ) , ( ) ( 衰衰减减函函数数脉脉冲冲瞬瞬态态频频率率之之比比值值为为无无理理数数准准周周期期瞬态信号：除准周期信号外的瞬态信号：除准周期信号外的一切可以用时间函数描述的非一切可以用时间函数描述的非周期信号。周期信号。 ttsinsin 例如例如3 3连续时间信号和离散时间信号连续时间
18、信号和离散时间信号(continuous- and discrete-time signals)连续时间信号连续时间信号：信号存在的时：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义间范围内，任意时刻都有定义（即都可以给出确定的函数值，（即都可以给出确定的函数值，可以有有限个间断点）。可以有有限个间断点）。用用t 表示连续时间变量表示连续时间变量。离散时间信号离散时间信号：在时间上是离：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，其他时间没瞬时给出函数值，其他时间没有定义。有定义。用用n 表示离散时间变量表示离散时间变量。nO1 2f(n)tf(t)O离散时间信号也
19、可认为是一组序列值的集合：离散时间信号也可认为是一组序列值的集合：x(n)=1,2,3,24 4模拟信号、抽样信号、数字信号模拟信号、抽样信号、数字信号(analog,sampling and digital signals)数字信号：时间和幅值均为离散数字信号：时间和幅值均为离散 的信号的信号。主要讨论确定性信号。主要讨论确定性信号。先连续，后离散；先周期，后非周期。先连续，后离散；先周期，后非周期。模拟信号：时间和幅值均为连续模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号的信号。抽样信号：时间离散的，幅值抽样信号：时间离散的，幅值 连续的信号连续的信号。量化量化抽样抽样F(n)nOF(n)nOOtF
20、(t)Sampling Quantization 判断信号性质判断信号性质:判断下列波形是连续时判断下列波形是连续时间信号还是离散时间信间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号号，若是离散时间信号是否为数字信号？是否为数字信号？连续信号连续信号离散信号离散信号离散信号离散信号数字信号数字信号f(n)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12n54321tf(t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1254321f(t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t543215一维信号和多维信号一维信号和多维信号(One- and N-Dimension
21、al Signals)一维信号：一维信号：只由一个自变量描述的信号，如语音信号。只由一个自变量描述的信号，如语音信号。多维信号：多维信号：由多个自变量描述的信号，如图像信号。由多个自变量描述的信号，如图像信号。二几种典型的确定性信号二几种典型的确定性信号5.5.钟形脉冲函数钟形脉冲函数( (高斯函数高斯函数) )1.1.指数信号指数信号(exponential signals)(exponential signals)2.2.正弦信号正弦信号(sinusoidal signals)(sinusoidal signals)3.3.复指数信号复指数信号( (表达具有普遍意义表达具有普遍意义) )
22、(complex exponential signals) (complex exponential signals)4 4. 抽样信号抽样信号(Sampling SignalsSampling Signals)信号的表示：信号的表示：函数表达式函数表达式f(t)f(t)波形波形1.6 Elementary Signals1.6.1 Exponential Signals decaying exponential, for which a 01.6.2 Sinusoidal Signals1.6.3 Relation between Sinusoidal and Complex Eulers
23、identity Eulers formula1.6.4 Exponentially Damped Sinusoidal Signals1.6.5 Step Function Rectangular pulse RC circuit1.6.6 Impulse Function1.6.7 Derivatives of the impulse1.6.8 Ramp Function重要特性：重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式其对时间的微分和积分仍然是指数形式。1 1指数信号指数信号( (Exponential Signals)单边指数信号单边指数信号f(t)=Kef(t)=Keatata=
24、0 a=0 直流直流( (常数常数) ), , a0 a0 a0 指数增长指数增长00 K0 Ot1 tf 0e0 ttt 0f(t)=t tdecaying exponential, for which a 02 2正弦信号正弦信号( (Sinusoidal Signals ) )振幅：振幅：K 周期：周期： 频率：频率：f 角频率：角频率：=2=2f初相：初相：fT12 0 0 00sine)( tttKtft)sin()( tKtf按指数规律衰减的正弦信号按指数规律衰减的正弦信号: :（Exponentially Damped Sinusoidal Signals) Ot tfK T 2
25、 2period、frequency、angular frequency、amplitude、phase angular欧拉公式欧拉公式Eulers identity 、 Eulers formula tttttttttjjjj jeej21sinee21cossinjcoseRelation between Sinusoidal and Complex: 3 3复指数信号复指数信号（Complex Complex Exponential Signals Exponential Signals ）讨论讨论 衰减指数信号衰减指数信号升指数信号升指数信号直流直流 0 , 0 0 , 0 0 , 0
26、 振荡振荡衰减衰减增幅增幅等幅等幅 0 , 0 0 , 0 0 , 0 为复数，称为复频率为复数，称为复频率 j s ,均为实常数均为实常数 tKtKtKtfttstsinejcose)( e)(rad/s /s1 的量纲为的量纲为，的量纲为的量纲为 （Complex Complex Frequency Frequency ）4 4抽样信号抽样信号( (Sampling Signals) )t tSa123O 性质性质: ，偶函数，偶函数ttSaSa)1 1)Sa(lim1)Sa(, 0)20 tttt，即，即3 , 2 , 1, 0)Sa()3 nntt， dsin,2dsin)40tttt
27、tt0)Sa(lim)5 tt tttsin)sinc()6 tttsin)Sa( 5 5钟形脉冲函数钟形脉冲函数( (高斯函数高斯函数) )2e)( t ttEtfOt tfEt t2t teEE78. 0在随机信号分析中占有重要地位。在随机信号分析中占有重要地位。欧拉公式欧拉公式 je cos sinReImj11 11 sinjcosej 1ej je欧拉公式欧拉公式复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为时，时，此点可表示为此点可表示为: :cos+jsincos+jsine是自然对数的底，此式称为欧拉是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公
28、式。公式。e可以用可以用计算方法定义为计算方法定义为71828. 211lime nnn欧拉公式与三角函数的关系欧拉公式与三角函数的关系 由泰勒级数展开由泰勒级数展开: 753sin753 sinjcos753j6421!4j!3j!2j!1j1e753642432j 三角函数可表示为三角函数可表示为:j2eesin2eecosjjjj 6421cos642 同样若同样若ej 展开，可得到展开，可得到:1.3 信号的运算1.5 Basic Operation on Signals1.5.1 Operations Performed on Dependent Variables Amplitud
29、e scaling Addition Multiplication Differentiation Integration1.5.2 Operations Performed on The Independent Variable Time scaling Reflection Time shifting1.5.3 Precedence Rule for Time Shifting and Time Scaling1.1.信号的移位信号的移位( (Time shifting)2.2.信号的反褶信号的反褶(Reflection)3.3.信号的展缩（尺度变换）信号的展缩（尺度变换）(Time sc
30、aling )4.4.一般情况一般情况一信号的自变量的变换（波形变换）一信号的自变量的变换（波形变换）(Operations Performed on The Independent Variable)1信号的平移(Time shifting) 为常数为常数即得时移信号即得时移信号轴平移轴平移沿沿将信号将信号 , t tt tt t tfttf)()(t t tftf例：例：t t 0，右移，右移(滞后滞后) 。宗量法宗量法是已知是已知f f(t)(t)图形，画出图形，画出f f(t-)(t-)的图形的一种方法。的图形的一种方法。基本原理：基本原理：宗量宗量相同，函数值相同。相同，函数值相同。
31、Oty1=f(t)1 11Oty1=f(t) y2=f(t+1)1 11-2Ot1 11-2y1=f(t) y3=f(t-1)具体方法具体方法: :f(t)有有3个关键点：个关键点： f(-1)=0、 f(0)=1、 f(1)=1f(t+1 1)对应的对应的3个关键点为：个关键点为： f(-2+1)=0、 f(-1+1)=1、 f(0+1)=1f(t-1 1)对应的对应的3个关键点为：个关键点为： f(0-1)=0、 f(1-1)=1、 f(2-1)=12反褶(Reflection )()(tftf 例：例：以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。 O1
32、2 1 tftO21 1 tf t没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可以实现此概没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可以实现此概念，例如堆栈中的念，例如堆栈中的“后进先出后进先出”。宗量法宗量法:已知已知f(t)图形，画出图形，画出f(-t)的图形。的图形。解：解：f(t)有有3个关键点：个关键点： f(-2)=0、 f(0)=1、 f(1)=1f(-t)对应的对应的3个关键点为：个关键点为： f(-(2)=0、 f(-0)=1、 f(-(-1)=13信号的展缩(Time scaling )f(t)f(t)f(at)f(at)波形的压缩与扩展，标度变换波形的压缩与扩展，标度变换时
33、间尺度变换时间尺度变换： f(t)f(at) |a|1 波形波形压缩压缩 |a|1，压缩，压缩a倍；倍； a1，扩展，扩展1/a倍倍 后平移：后平移： +，左移左移b/a单位；，右移单位；，右移b/a单位单位 注意注意:一切变换都是相对一切变换都是相对t 而言而言最好用先翻缩后平移的顺序最好用先翻缩后平移的顺序 加上倒置：加上倒置： abtafbatf Ot)(tf1 11解解: :t)5( tf6 14 5 Ot)3( tf131O31 例题例题:已知已知f(t)，求，求f(3t+5)= f 3(t+5/3) 。宗量宗量t 宗量宗量3t+5 函数值函数值t=-13t+5=-1，t= -2f(
34、-1)=1t=03t+5=0，t= -5/3f(0)= 1t=13t+5=1，t= -4/3f(1)= 0验证：验证：计算特殊点计算特殊点标度标度变换变换时移时移标度标度变换变换时移时移t12 34 f 3(t+5/3) =f(3t+5)解解: :例题例题:已知已知f(t)，求，求f(-3t+5)= f 3(-t + 5/3) 。宗量宗量t 宗量宗量-3t+5 函数值函数值t=-1-3t+5=-1，t=2f(-1)= 1t=0-3t+5=0，t= 5/3f(0)= 1t=1-3t+5=1，t= 4/3f(1)= 0验证：验证：计算特殊点计算特殊点Ot)(tf1 11t)3( tf131O31
35、标度标度变换变换时移时移倒置倒置t1234f 3(-t +5/3)t6 4 5 )5( tf1O时移时移t12 34 标度标度变换变换倒置倒置f(3t+5)t12 34 f3(t+5/3)二微分和积分二微分和积分( (Differentiation and Integration) )Ot tf2t t2t t Ot1t t2 tf 1 2t t 2t tOt tf2t t2t t Ot1 tft tt td2t t 2t tt t ttd)(ddtftfttftf积积分分：，微微分分：冲激信号冲激信号三两信号相加和相乘三两信号相加和相乘(Addition and (Addition and
36、Multiplication ) )t tsint t8sint tt 8sinsin同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。t tsint t8sint tt 8sinsin )线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统时变系统与时不变系统时变系统与时不变系统线性时不变系统的微分特性线性时不变系统的微分特性因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统1.8 Properties of Systems1.8.1 Stability1.8.2 Memory1.8.3 Causality1.8.4 Invertibility Inverse of system Non-inv
37、ertible system1.8.5 Time Invariance1.8.6 Linearity一一线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统(Linear System and Nonlinear System)(Linear System and Nonlinear System) ( (t t) )T T e e( (t t) )r r , ,( (t t) )T T e e( (t t) )r r2 22 21 11 1线性系统线性系统：指具有线性特性指具有线性特性(Linearity property)的系统。的系统。 线性线性:指均匀性，叠加性。指均匀性，叠加性。叠加性叠加性(S
38、uperposition)：均匀性均匀性( (齐次性齐次性)(Homogeneity)(Homogeneity)：1.定义 ( (t t) )e e( (t t) )T T e e( (t t) )r r( (t t) )r r2 21 12 21 1 (t)(t)TkeTke(t)(t)krkr (t)(t)TeTe(t)(t)r r1 11 11 11 1 )()()()(22112211ttttrree 线性特性线性特性:(Linearity property)T te2 tr2T)(1te tr1 tete2211 T trtr2211 先线性运算，再经系统先经系统，再线性运算先线性运
39、算，再经系统先经系统，再线性运算2.2. 判断方法判断方法若若 tfHCtfHCtfCtfCH22112211 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。注意：外加激励与系统非零状态单独处理。则系统则系统 是线性系统是线性系统,否则是非线性系统。否则是非线性系统。 H1C2C tf1 tf2 tfC11 tfC22 tfCtfCH2211 H H tf1 tf2 tfH1 tfH21C2C tfHC11 tfHC22 tfHCtfHC2211 H 例例1-7-1 判断下述微分方程所对应的系统是否为线性判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统系统?0 )(5)(10d)(d ttetrttr先线性
40、运算，再经系统先经系统，再线性运算先线性运算，再经系统先经系统，再线性运算0 )()(5 )()(10d )()(d221122112211 ttectectrctrcttrctrc0 )(5 )(10d )(d111111 ttectrcttrc0 )(5 )(10d )(d222222 ttectrcttrc例例1-7-1 判断下述微分方程所对应的系统是否为线性判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统系统?0 )(5)(10d)(d ttetrttr分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均均匀性匀性和和叠加性叠加性。可以证明：。可以证明：
41、请看下面证明过程请看下面证明过程: :1)1)系统不满足均匀性系统不满足均匀性2)2)系统不具有叠加性系统不具有叠加性所以所以此系统为非线性系统。此系统为非线性系统。证明均匀性证明均匀性:设信号设信号e(t)作用于系统，响应为作用于系统，响应为r(t)1(0 )(5)(10d)(d ttAetArttAr原方程两端乘原方程两端乘A： )2(0 )(5)(10d)(d ttAetrttrA(1),(2)两式矛盾。故此系统两式矛盾。故此系统不满足均匀性不满足均匀性当当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，作用于系统时，若此系统具有线性，则则0 )(5)(10d)(d ttetrttr证明叠加性
42、证明叠加性: )4(0510dd)3(0510dd222111 ttetrttrttetrttr )5(0510dd212121 ttetetrtrtrtrt )6(01010dd212121 ttetetrtrtrtrt(5)、(6)式矛盾，该系统为式矛盾，该系统为不具有叠加性不具有叠加性假设有两个输入信号假设有两个输入信号 分别激励系统，则由分别激励系统，则由所给微分方程式分别有：所给微分方程式分别有： )()(21tete及及当当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有应有)()(21tete (3)+(4)得得0 )(5)(10d)(d tte
43、trttr二时变系统与时不变系统二时变系统与时不变系统( (Time-variant system and Time-invariant system ) )一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。称为时变系统。认识认识: :电路分析上看电路分析上看: :元件的参数值是否随时间而变元件的参数值是否随时间而变 从方程看从方程看: :系数是否随时间而变系数是否随时间而变从输入输出关系看从输入输出关系看: :1.定义)(te)(0tte )(t
44、r)(0ttr H时不变性时不变性(Time invariance ):)(tettTOO)(trt)(0tte O0tTt 0tO)(0ttr 0t先时移，再经系统先经系统，再时移先时移，再经系统先经系统，再时移2.2. 判断方法判断方法若若则系统则系统 是非时变系统是非时变系统, ,否则是时变系统。否则是时变系统。 t tt t tytfH H H tf tfHDEDE t t tyt tDEDEt t tf H t t tfH t t tf ty例例1-7-2 判断下列两个系统是否为非时变系统。判断下列两个系统是否为非时变系统。1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。系统的作用是对输入信号
45、作余弦运算。 )()()1(0 0ttetet 时移时移0 )(cos)(011 tttetr经过系统经过系统)(cos)()2(tete经过系统经过系统所以所以此系统为时不变系统。此系统为时不变系统。 trtr1211 0cos ttetr系统系统1 1： 0cos tttetr系统系统2 2：0 )(cos)(012 0 tttetrt时移时移 0cos ttetr系统系统1 1：)()()1(00ttetet 时移时移0cos)()(021 ttttetr经过系统经过系统ttetecos)()()2(经过系统经过系统0)cos()()(00220 tttttetrt时时移移此系统为时变系
46、统。此系统为时变系统。)()(2221trtr 系统作用系统作用:输入信号乘输入信号乘cost 0cos tttetr系统系统2 2：例例1-7-3 判断系统是否为线性非时变系统。判断系统是否为线性非时变系统。 tftty 1)是否为线性系统？是否为线性系统？可见可见, ,先线性运算，再经系统先经系统，再线性先线性运算，再经系统先经系统，再线性运算运算, ,所以此系统是线性系统。所以此系统是线性系统。 1C2C tf1 tf2 tfC11 tfC22 tfCtfCt2211 H H tf1 tf2 tft1 tft2 1C2C tftC11 tftC22 ttfCttfC2211 H H tf
47、 tft DE t tt t tftt tDEt t tf H t t tft t t tf可见，时移、再经系统可见，时移、再经系统 经系统、再时移，所以经系统、再时移，所以此系统是时变系统。此系统是时变系统。 2)是否为时不变系统？是否为时不变系统？三线性时不变系统的微分特性线性时不变系统满足微分特性、积分特性线性时不变系统满足微分特性、积分特性:利用线性证明，可推广至高阶。利用线性证明，可推广至高阶。系系统统 te tr系统系统 ttedd ttrdd系统系统 ttetd ttrtd 四四. .因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统(Causal system and Noncausal
48、 system)1. 定义定义因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的输出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的输出（响应）不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。（响应）不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。系统的这种特性称为因果特性。系统的这种特性称为因果特性。符合因果性的系统称为因果系统符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统非超前系统)。输出不超前于输入输出不超前于输入2.判断方法 系系统统。代代表表的的系系统统是是否否是是因因果果微微分分方方程程2 tetetr0 t 200 eer现在的
49、响应现在的响应=现在的激励现在的激励+以前的激励以前的激励所以所以该系统该系统为因果系统。为因果系统。 系统。系统。代表的系统是否是因果代表的系统是否是因果微分方程微分方程2 tetetr0 t 200 eer 未来的激励未来的激励所以该系统为所以该系统为非因果系统。非因果系统。例1-7-41.2.3.3.实际的物理可实现系统均为因果系统实际的物理可实现系统均为因果系统)()()(tutete 0)(, 0 tet相当于相当于4.因果信号表示为：表示为： 非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。号的压缩、扩展，语音信号
50、处理等。 若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。t = 0接入系统的信号称为因果信号。接入系统的信号称为因果信号。着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部变量情况；变量情况；单输入单输入/ /单输出系统；单输出系统；列写一元列写一元 n 阶微分方程。阶微分方程。输入输入输出描述法：输出描述法：状态变量分析法：状态变量分析法：一一. .建立系统模型的两种方法建立系统模型的两种方法不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，不
