1、如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，上修建一个泵站，分别向分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在你可以在 l 上找几个点上找几个点试一试，能发现什么规律？试一试，能发现什么规律？P两点之间线段最短两点之间线段最短垂线段最短垂线段最短 初三专题复习初三专题复习 几何中线段和最小值问题几何中线段和最小值问题回顾回顾APP注：求线段和最短，注：求线段和最短，可以通过对称，转化可以通过对称，转化成求两点之间线段最成求两点之间线段最短的问题短的问题如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道
2、l 上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在使所用的输气管线最短？你可以在 l 上找几个点上找几个点试一试，能发现什么规律？试一试，能发现什么规律？常用知识点：常用知识点： 线段垂直平分线上的点到两端点线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等。的距离相等。 三角形两边之和大于第三边，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。两边之差小于第三边。如图，如图，A为马厩，为马厩，B为帐篷，牧马人为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到
3、河边饮马，然后回某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮确定这一天的最短路到帐篷，请你帮确定这一天的最短路线。线。EF GHAB（造桥选址问题造桥选址问题）如图，如图，A A和和B B两地在一条河的两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥两岸，现要在河上造一座桥MNMN，桥造在何处才，桥造在何处才能使从能使从A A到到B B的路径的路径AMNBAMNB最短？（假定河的两岸最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）是平行的直线，桥要与河岸垂直）AMN归纳归纳基本题型：基本题型：线段和的最小值问题线段和的最小值问题基本图形：基本图形：1.两点一线型两点一线型2.两点两线型两点两线型3.
4、一点两线型一点两线型基本方法：基本方法： 对称或平移对称或平移基本思想：基本思想：化折为直化折为直(本质是转化思想本质是转化思想) 发现发现 A C B D E1、D、E是是ABC边边AB、AC上的定点，上的定点，在在BC上求一点上求一点M，使，使DEM的周长最短的周长最短.DM注：求三角形周长注：求三角形周长最短，当一边固定最短，当一边固定时，就是求线段和时，就是求线段和最短。最短。 2、点、点A（0，1）和点）和点B（4，3），在），在x轴上有一点轴上有一点C,使使 ABC的周长最小。请的周长最小。请你确定点你确定点C的坐标是的坐标是_。 C（1，0） ACyAB=x-1注：平面直角坐标系
5、注：平面直角坐标系内找对称点时，轴上内找对称点时，轴上点的对称点坐标比较点的对称点坐标比较好确定。好确定。EDABC3、边长为、边长为2的等边三角形的等边三角形ABC中，点中，点D、E是是AB、AC的中点，在的中点，在BE上找一点上找一点P,使使ADP的最小周长是的最小周长是_。DP注：充分利用等边注：充分利用等边三角形的对称轴是三角形的对称轴是中线（高线、角平中线（高线、角平分线）所在直线这分线）所在直线这一特性。一特性。ECDAB4、E为边长是为边长是2的正方形的正方形ABCD的边的边BC的的中点，在对角线中点，在对角线AC上有一点上有一点M，BM+EM的最小值是的最小值是_。M利用正方形
6、的对称利用正方形的对称性，构造直角三角性，构造直角三角形，进行线段长度形，进行线段长度的计算。的计算。55、已知如图，已知如图，MN是是 O的直径，的直径，MN=2点点A在在 O上，上，AMN=300,B为弧为弧AN的中的中点，点，P是直径是直径MN上的一个动点，则上的一个动点，则PA+PB的最小值为的最小值为_。OMNABPA2此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，但都有一个背景，但都有一个“轴对称性轴对称性”的图形共的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出同点，解题时只有
7、从变化的背景中提取出“建泵站问题建泵站问题”的数学模型，再通过找的数学模型，再通过找定定直线直线的的对称点对称点把把同侧线段和转换为异侧线同侧线段和转换为异侧线段和或差段和或差，实现，实现“折折”转转“直直”即可解决。即可解决。步骤：步骤：一一 确定对称轴确定对称轴 二二 作好对称点作好对称点 三三 连接后得出与定直线的交点连接后得出与定直线的交点 实战实战已知在抛物线的对称轴上存在一点已知在抛物线的对称轴上存在一点P，使得，使得PBC的周长最小，请求出点的周长最小，请求出点P的坐标的坐标 .p迁移迁移ABCEDa如图如图, ,在等边在等边ABCABC中中,BD,BD平分平分ABCABC交交A
8、CAC与点与点D,D,点点E E为为BCBC边的中点，边的中点，BC=aBC=a；(2)(2)在在BDBD上是否存在点上是否存在点Q Q，使，使QC+QEQC+QE最小？最小？(1)(1)在在BDBD上是否存在点上是否存在点P,P,使使PA+PEPA+PE最小最小? ? P32 2aABCEDQ最小值是最小值是 . .最小值是最小值是 . .32 2aABCDEFPE在在ABCABC中中(AB(ABBC),ABC=60BC),ABC=60，BC=a,BDBC=a,BD平分平分ABCABC， E E为为BCBC边上的一个动点，在边上的一个动点，在BDBD上是否存在点上是否存在点P P，使得使得P
9、C+PEPC+PE最小呢最小呢? ?则最小值则最小值=_.=_.32 2a妙招妙招：如果图形不是轴对称图形，如果图形不是轴对称图形， 可通过构造轴对称图形，可通过构造轴对称图形， 进而化折为直进而化折为直, ,达到解题达到解题 目的。目的。小结小结 方方 法法：作对称或平移作对称或平移理论依据理论依据： 两点之间线段最短两点之间线段最短数学思想数学思想：化折为直化折为直几何中线段和最小值问题几何中线段和最小值问题思考思考如图所示，要在公路上修建一个如图所示，要在公路上修建一个蔬菜收购站蔬菜收购站Q，由蔬菜基地，由蔬菜基地A，B向收购站运送蔬菜，收购站向收购站运送蔬菜，收购站Q应建应建在什么地方
10、，才能使在什么地方，才能使|QA-QB|最大？最大？ BQQ1、如图、如图|QA-QB|与与AB大小关系怎样？大小关系怎样？2、当、当Q点在点在L上上运动时，运动时， |QA-QB|与与AB相等吗？相等吗？妙招妙招：求解线段差的绝对值最大求解线段差的绝对值最大问题，只需连接两点，延长后与定问题，只需连接两点，延长后与定直线相交，该点即为所求的点。直线相交，该点即为所求的点。启迪启迪回忆：v记得初中的数学老师一直强调“两点之间，线段最短”，我也固执地认为，两点之间，线段最短。于是遇到许多问题的时候，总是用最短的线段从这个点，走向那个点。但事实告诉我，这样的方式并不一定能最快地解决问题。 然而在人
11、际关系中两点之间最短的然而在人际关系中两点之间最短的 距离并不一定是直线距离并不一定是直线 。在人与人的。在人与人的 关系以及做事情的过程中，我们很关系以及做事情的过程中，我们很 难直截了当就把事情做好。有时我难直截了当就把事情做好。有时我 们做事情会碰到很多困难和障碍，们做事情会碰到很多困难和障碍， 有时候我们并不一定要硬挺、硬冲，有时候我们并不一定要硬挺、硬冲， 我们可以选择有困难绕过去，有障我们可以选择有困难绕过去，有障 碍绕过去，也许这样做事情更加顺利。碍绕过去，也许这样做事情更加顺利。 感悟：v 人生并不是简简单单的走过就完了，它人生并不是简简单单的走过就完了，它真正的意义在于证明人们走过时留下价值足真正的意义在于证明人们走过时留下价值足迹的多少。迹的多少。 因此，不要因为线段的便捷而降低了人因此，不要因为线段的便捷而降低了人生的价值。生的价值。 闯一闯，弯路的终点就是成功的人生。闯一闯，弯路的终点就是成功的人生。 “海阔凭鱼跃，海阔凭鱼跃， 天高任鸟飞天高任鸟飞”
