1、全等三角形证明一、判定两个三角形全等的方法：1.1.从全等三角形证明的四种证明方法（边角边、从全等三角形证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等边的夹角对应相等 或或 找第三边对应相等；找第三边对应相等；已知两角对应相等，第三个条件可以找已知两已知两角对应相等，第三个条件可以找已知两个角的夹边对应相等个角的夹边对应相等 或或 已知的两个角中的某已知的两个角中的某个角的对应边相等；个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是已知一边和一角对
2、应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等对应相等角的另一边对应相等 或或 是另一角对是另一角对应相等应相等如何才能找到证明全等三角形的第三个如何才能找到证明全等三角形的第三个条件呢？条件呢？1 1、再找一组对应边相等；、再找一组对应边相等；2 2、再找一组对应角相等。、再找一组对应角相等。对应边相等的情形：1 1、公共边是第三个条件、公共边是第三个条件例题1.如图，在ABC 和 ABD 中，AC = BD ，AD = BC ，求证 ： ABC ABD对应边相等的情形：1 1、公共边是第三个条件、公共边是第三个条件例题1.如图，在ABC 和 ABD 中，AC = BD ，AD = BC
3、 ，求证 ： ABC ABD证明：在证明：在 ABD 和和 BAC 中中 BD = AC ， BC = AD ， AB = BA （公共边）（公共边） ABC ABD （SSS）对应边相等的情形：2 2、相等对应边、相等对应边 + + 公共边的和公共边的和 对应相等对应相等例2.如图，AB = CD ，AE = DF ， CE = FB ，求证 ： AEB DFC对应边相等的情形：2 2、相等对应边、相等对应边 + + 公共边的和公共边的和 对应相等对应相等例2.如图，AB = CD ，AE = DF ， CE = FB ，求证 ： AEB DFC证明：证明： CE = FB CE + EF
4、= EF + FB （即（即 CF = BE） AB = DC , AE = DF ，CF = BE AEB DFC （SSS）对应边相等的情形：3.3.相等对应边相等对应边 - - 公共边的差公共边的差 对应相等对应相等例3.如图，DF = CE , AD = BC , D = C ， 求证：AED BFC对应边相等的情形：3.3.相等对应边相等对应边 - - 公共边的差公共边的差 对应相等对应相等例3.如图，DF = CE , AD = BC , D = C ， 求证：AED BFC证明：证明： DF = CE DF - EF = CE - EF, 即即 DE = CF在在 AED 和和
5、BFC 中中 AD = BC , D = C ， DE = CF AED BFC （SAS）对应边相等的情形：4.4.等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）等）例4.如图， ABC 和 CDE 都是等边三角形 ，求证 ：ACD BCE对应边相等的情形：4.4.等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）等）例4.如图， ABC 和 CDE 都是等边三角形 ，求证 ：ACD BCE证明：证明： ABC 和和 CDE 都是等边三角形都是等边三角形 AC = BC , CD = CE , ACB = DCE = 60 AC
6、B + ACE = DCE + ACE 即即 BCE = ACD在在 BCE 和和 ACD 中中 BC = AC , BCE = ACD , CE = CD BCE ACD （SAS）对应边相等的情形：5.5.添加辅助线与对应的线段相等添加辅助线与对应的线段相等例题5、如图，已知 AD 是 ABC 中 A 的角平分线，AC = AB + BD ，求证：B = 2C对应边相等的情形：5.5.添加辅助线与对应的线段相等添加辅助线与对应的线段相等例题5、如图，已知 AD 是 ABC 中 A 的角平分线，AC = AB + BD ，求证：B = 2C证明：延长证明：延长 AB 取点取点 E ，使，使
7、AE = AC , 连接连接 DE AD 平分平分 BAC EAD = CAD AE = AC , AD = AD AED ACD （SAS） E = C AC = AB + BD AE = AB + BD AE = AB + BE BD = BE BDE = E ABC = E + BDE ABC = 2E ABC = 2C对应边相等的情形：6.6.二次证全等找到对应的线段相等二次证全等找到对应的线段相等例题6、如图，已知 A = D = 90 ，AE = DE , 求证 ： ABC DCB对应边相等的情形：6.6.二次证全等找到对应的线段相等二次证全等找到对应的线段相等例题6、如图，已知
8、A = D = 90 ，AE = DE , 求证 ： ABC DCB证明：证明： A = D ， AE = DE , AEB = DEC （对顶角相等）（对顶角相等） AEB DEC （ASA） EB = EC EB + ED = EC + AE DB = AC在在 RtABC 和和 RtDCB 中中 A = D = 90 ， AC = DB ， BC = CB （公共边）（公共边） ABC DCB （HL）对应角相等的情形：1.1.公共角相等公共角相等例题7、如图，CABF 于点 A ，BECF 于点 E ，若 AC = BE ， 求证 ： AFC EFB对应角相等的情形：1.1.公共角相等
9、公共角相等例题7、如图，CABF 于点 A ，BECF 于点 E ，若 AC = BE ， 求证 ： AFC EFB证明：证明： CABF ，BECF CAF = BEF= 90在在 AFC 和和 EFB 中中 CAF = BEF ， F = F （公共角），（公共角）， AC = BE AFC EFB （AAS）对应角相等的情形：2.2.对顶角相等对顶角相等例8.如图，AE 和 BC 相交于点 M ，点 F 在 AM 上，CFM = E ，BE = CF , 求证 ： BEM CFM对应角相等的情形：2.2.对顶角相等对顶角相等例8.如图，AE 和 BC 相交于点 M ，点 F 在 AM 上，CFM = E ，BE = CF , 求证 ： BEM CFM证明略证明略对应角相等的情形：3.3.平行线截得的同位角或内错角相等平行线截得的同位角或内错角相等例9.如图，E, F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，AF = CE ，DF = BE ，DFBE 。求证：AFD CEB .
