1、二次根式的混合运算1、二次根式的混合运算是指二次根式的_、_、_、_的混合运算2、二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同：先算_，后算_，有括号的先算括号里面的加减乘除乘除加减二次根式的混合运算：3、二次根式的加减运算步骤：4、二次根式的乘法运算公式： 5、二次根式的除法运算公式：2.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母表示为上次更新: 2022年4月27日星期三1.整式乘法中单项式乘以多项式的法则用字母表示为：一、借用整式乘法的法则进行二次根式混合运算。.上次更新: 2022年4月27日星期三乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字母如何表示？1、平方差公式： 。 2、完全平方和公式：
2、 。3、完全平方差公式： 。二、套用乘法公式进行二次根式混合运算说一说说一说 如果梯形的上、下底长分别为如果梯形的上、下底长分别为 高高为为 ，那么它的面积是多少？，那么它的面积是多少？2 2 cm4 3 cm， ，6 cm 1= 2 2+4 362= 2+2 36= 26+2 36 = 2 6+2 3 6 = 2 2 3+2 3 3 2= 2 3+2 3 2梯梯形形面面 积积 () ()()()2 = 2 3+6 2 cm .()()举举例例例例3 计算：计算： 3 1 6 28 2 2 + 3 2 1 2 - - -( ) ( ) ； ()()().()()(). 二次根式的混合运算是根据
3、实数的运算律进二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的行的.3 1 6 28- -解解 ( ) ( ) 3= 6 2 28- -3= 6 2 2 8- -3= 3 2 2 4 - -3= 2 3 2- -1= 2 32- -()()3= 32 ； 2 2 + 3 2 1 2 - - () ()() () ()()= 2 2 2+ 3 2 3 22-= 2 2 2+ 3 2 3 2-= 4 + 2- - . . 从例从例3的第的第( (2) )小题看到，二次根式的和相乘，小题看到，二次根式的和相乘，与多项式的乘法相类似与多项式的乘法相类似.例例3 计算：计算： 2 2 + 3 2 1 2 -
4、-()()().()()(). 我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二次根式的和相乘的运算次根式的和相乘的运算.举举例例例例4 计算：计算：2 1 2 + 1 2 1 2 2 3 - - -( )()() ( )()() ； ()() .()() .从例从例4的第的第( (1) )小题的结小题的结果受到启发，把分子与果受到启发，把分子与分母都乘以分母都乘以 ，就，就可以使分母变成可以使分母变成1.2+1()()动脑筋动脑筋 如何计算如何计算 ？2+12 1- -2+12 1- -2+12+1= 2 12+1()()()()()()()()- -222+
5、2 2+1= 21()()()() - -= 2+2 2+1= 3+2 2.举举例例例例5 计算计算：151+ 5 - -. .15 1+ 5- -解解 1515= 1+ 515- -()()()()()()()()2221 2 5+5= 15()()()()- - -6 2 5= 4- - - 31= +522- -. .1 2 5+5= 1 5- - - 1. 计算：计算： 练习练习3 1 5 15 4 5- -( )() ( )() ；3 答答案案： 2 1 + 2 3 3 3 - -()()()()()()； 3 2 + 3 2 3 - -()()()()()()；2 4 5 + 3
6、2 ()() .()() . 5 3 3 答答案案：- -1 答答案案：43+30 2 答答案案：2)377()5(、)2762)(6227)(4(22)632()632()6(、3213547()7(）、)23(18)8(、277)3(）（、313231）、（5127)2(、1、计算：注意：1、运算顺序 。2、运用运算律和乘法公式，简化运算。3、结果为最简二次根式。1、分母有理化的定义：把分母中的根号化去。2、方法： 分子、分母同时乘以分母的有理化因式。3、有理化因式：4、常见的互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含二次根式 ，我们说这两个二次根式互为有理化因式。a
7、abcabcdab的有理化因式：aacabcdab二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算三更灯火五更鸡，正是男儿读书时；黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 二次根式运算二次根式运算（提高篇）（提高篇）一：二次根式混合运算一：二次根式混合运算 例例1 1：计算：计算：(每小题4分)解题示范解题示范规范步骤，该得的分一分不丢！规范步骤，该得的分一分不丢！ 2分 4分 4分 (3)(3)已知已知 的整数部分为的整数部分为a，小数部分为，小数部分为b，求，求a2 2b2 2的值的值知能迁移知能迁移: :y11x4 1x,y23xyxy例 、 （ ）当 =时，求代数式的值；yx1xyxyxxyyxyx
8、yxyxxyyxyx-yx yx y解：( )（）-（） =（)(）- =+ =-11113 223x,y5.11233 223当 时， 原式=2211(2)a, b=,a2abb75252 已知： = 求的值222212a52 ,521b=52.52a2abb7a-b74793Q( ) （） 二：二次根式运算中的技巧二：二次根式运算中的技巧例例2 2：1.1.x2 2xyy2 2是一个对称式，可先求出基本对称式是一个对称式，可先求出基本对称式xy4 4， xy1 1，然后将，然后将x2 2xyy2 2转化为转化为(xy)2 2xy，整体代入即，整体代入即 可可. . (3)已知a32 ，b3
9、2 ，求a2bab2的值； 解：ab(32 )(32 )4 ， ab(32 )(32 )11， a2bab2ab(ab)(11)4 44 .5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 (4)已知x ，y ，求 的值； 解：x ( 1)232 ， y ( 1)232 ， xy6，xy4 ，xy1. 原式 .2 12 1 2 1 1 22 12 1 2 2 2 2 2121 2 2 2 2 2 2 xy xy xy 2 22 2xy 6 6 4 4 2 2 6 62 22 21 1 2424 2 23434 12121717 2 2 三：注意二次根式运算中隐含条件 例3 已知：a ，求
10、 的值学生作答解：原式 a1 a1 . 当a 时， 原式 1(2 )12 . a1 1 a1 1 a1 1 a1 1 2 2a a1 1 a1 1a a1 1 1 1a 1 12 2 3 3 1 12 2 3 3 3 3 3 3 规范解答 解：a 1，a10. |a1|1a. 原式 a1 . 当a 时， 原式 1(2 )3.1 12 2 3 3 a2 22 2a1 1 a1 1 2 2 a1 1 a1 1 a1 1 1 1aa a1 1 1 1a 1 12 2 3 3 1 12 2 3 3 3 3 计算计算22()x yxyxy3131(1) () (2) (3) 解：（解：（1）原式）原式=
11、 2aab22x yxyxyxyxy（2）原式）原式=(3) 原式原式=22313 1221x（4）. （4）原式）原式=（5）原式）原式=2441xx2269xxyy （5）23xy ：相信自己能行：相信自己能行=2例题讲析例题讲析8364 23 62 2例1.计算 (2) 解：原式解：原式=863686364 33 242223 6223232解：原式解：原式=（1）（我是小老师）（我是小老师）例例2. 计算计算23255353(1) (2) 解：原式解：原式=解：原式解：原式=225 23 215222151322 2253532例例3.先化简，再求值先化简，再求值23366aaa a2
12、1a ，其中解：原式解：原式=222366aaa222666aaa26aa当当 21a 时，时，原式原式=22162122 21 6 26 4 23课堂展示课堂展示2358040553323abab1计算 （2）（3） （4）（1）第一轮解：原式解：原式=解：原式解：原式=解：原式解：原式=解：原式解：原式=232580540561080540542 253523332 152 532 3 33aaabbabb33aababb32abab4747626223222 52 第二轮 （2）（3） （4）2计算（1）解：原式解：原式=解：原式解：原式=解：原式解：原式=解：原式解：原式=224716
13、7922626242232322 34 3474 3222 52 2 522 204 102224 10课堂小结课堂小结 在进行二次根式的运算时，类比整式的运算，灵活合理运用恰当的方法，在进行二次根式的运算时，类比整式的运算，灵活合理运用恰当的方法， 要注意过程和结果的正确要注意过程和结果的正确老师忠告 (1)题目中的隐含条件为a 1，所以 |a1|1a，而不是a1； (2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之一，上题中的隐含条件a |a1| 1a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力 的培养，提高解题的正确性. 1 12 2 3 3 a2 22 2a1 1 a1 1 2
14、2 a2 22 2a1 1 a1 1 2 2 bababa+baaabb+练习：1.已知ab=3，求 的值2.已知a+b=-8,ab=12,求 的值2.已知已知23232 30abc（）2求求 3a + 5b c 的值。的值。222a3abb0 a-b)(2ab)0Q解： （aaab=0a=b, =0. aa当时， 即原式2ab02a=b, a2aa(12)12 =2 23.a2aa(12)12当时，即原式先化简，再求值：先化简，再求值：114aaaa （）（）-422，其中a =131:解：例例5：化简：化简：3 2 23 2 2解解：原式：原式=22=2 1(21)(21)=21(21)= 2 12 1 = - 212 1 已知已知a，b分别是分别是363的整数部分和小数部分的整数部分和小数部分，那么那么a 2b 的值是的值是；2已知已知 x + 3x-1=0，2求求12xx的值的值。22
