1、二次函数二次函数y=ax2+k图象和性质图象和性质1、二次函数、二次函数 y=2x 、 的图象的图象与二次函数与二次函数 y=x 的图象的图象3.532.521.510.5-2-1122xy22xy221xy 221xy a0课前复习课前复习:Oxy1 2 3 4 5123455 4 3 2 1 5 4 3 2 1 2xy 221xy22xya01二次函数二次函数y2x2的图象是的图象是_，它的开口，它的开口向向_，顶点坐标是，顶点坐标是_；对称轴是；对称轴是_，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的增大而的增大而_，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随随x的增大而的增大而_，函数，函数y
2、2x2当当x_时，时， y有最有最_值，其最值，其最_值是值是_。课前复习课前复习:yax2a0a0a0时时, , 开口向上开口向上; ;当当a0a0,(k0,向上平移向上平移;k0;k0a0a 0 c 0 时时 向向上上平移平移c c个单位得到个单位得到. .当当c 0 c 0时时,向向上上a0时时,向向上上a0)y=a(x-h)2 (a0)（h，0）（h，0）直线直线x=h直线直线x=h向上向上向下向下当当x=h时时,最小值为最小值为0.当当x=h时时,最大值为最大值为0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大的增大而减小而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随随着着x的增
3、大而增大的增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大的增大而增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随随着着x的增大而减小的增大而减小. 越小越小,开口越大开口越大. 越大越大,开口越小开口越小.aa开口大小开口大小二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系 二次函数二次函数y=a(x-h)2的图象可以看作是的图象可以看作是抛物线抛物线y=ax2先沿着先沿着x轴向右平移后得到的轴向右平移后得到的 当当h 0 时时 向向右右平移平移 h 个单位得到个单位得到.w在同一坐标系中作出函数在同一坐标系中作出函数y=3x,y=3(x-1)y=3(x-1)2 2和和y=3(x
4、-1)y=3(x-1)2 2+2的图象的图象,它们之间有何关系它们之间有何关系.？ 做一做做一做w1 1、完成下表、完成下表, ,并比较并比较3x3x2 2,3(x-1),3(x-1)2 2和和3(x-1)2+2+2值值, ,它们之它们之间有何关系间有何关系? ? x-4-3-2-10123423xy213 xy2132 xy27123031227 27123031227 27123031227 29 14 52514 29 2132xy对称轴仍是平行于对称轴仍是平行于y轴的直轴的直线线(x=1);增减性与增减性与y=3x2类似类似. 顶点是顶点是(1,2).w二次函数二次函数y=3(x-1)
5、y=3(x-1)2 2+2的的图象图象和抛物线和抛物线y=3x,y=3(x-y=3(x-1)1)2 2有什么关系有什么关系?它的开口它的开口方向方向,对称轴和顶点坐标分对称轴和顶点坐标分别是什么别是什么?213xy开口向上开口向上,当当X=1时有最小时有最小值值:且最小值且最小值=2.w先猜一猜先猜一猜, ,再再做一做做一做, ,在同一坐标系中在同一坐标系中作二次函数作二次函数y=3(x-1)y=3(x-1)2 2-2, ,会是什么样会是什么样? ?23xyX=1二次函数二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作的图象可以看作是抛物线是抛物线y=3x2先沿着先沿着x轴向右平移轴向右平移1个单
6、位个单位,再沿直线再沿直线x=1上平移上平移2个单位后得到的个单位后得到的对称轴仍是平行于对称轴仍是平行于y轴的直线轴的直线(x=1);增减性与增减性与y=3x2类似类似. 顶点是顶点是(1,-2).w二次函数二次函数y=3(x-1)y=3(x-1)2 2-2-2的的图象与抛物线图象与抛物线y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2有何关系有何关系? ?它的它的开口方向、对称轴和顶开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么点坐标分别是什么? ? 23xy开口向上开口向上,当当x=1时时y有有最小值最小值:且且最小值最小值= -2.w想一想想一想,二次函数二次函数y=-3(x-1
7、)y=-3(x-1)2 2+2和和y=-3x,y=-y=-3(x-1)3(x-1)2 2的图象有什么关系的图象有什么关系?它们的开口方向它们的开口方向,对对称轴和顶点坐标分别是什么称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看再作图看一看X=12132xy213xy2132xy二次函数二次函数y=3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物的图象可以看作是抛物线线y=3x2先沿着先沿着x轴向轴向右平移右平移1个单位个单位,再沿直再沿直线线x=1向下平移向下平移2个单个单位后得到的位后得到的对称轴仍是平行于对称轴仍是平行于y轴的直线轴的直线(x=1);增减性与增减性与y= -3x2类似类似. 顶点分别是顶点分
8、别是(1,2)和和(1,-2).w二次函数二次函数y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2+2与与y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2-2的图象的图象和抛物线和抛物线y=-3x,y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2有什么关有什么关系系? 它的开口方向它的开口方向,对称轴和对称轴和顶点坐标分别是什么顶点坐标分别是什么?213 xy开口向下开口向下,当当x=1时时y有有最大值最大值:且且最大值最大值= 2(或最大值或最大值=-2).2132xyy23xy 2132xyX=1二次函数二次函数y=-3(x-1)2+2与与y=-3(x-1)2+2的图象可以的图象可以看作是抛物线看作是抛物线
9、y=-3x2先沿着先沿着x轴向右平移轴向右平移1个个单位单位,再沿直线再沿直线x=1向上向上(或或向下向下)平移平移2个单位后得到的个单位后得到的.函数函数y=3(x-1)+1的图像有什么特点的图像有什么特点 ？函数函数y=-3(x+1)+1的图像呢？的图像呢？图像是图像是抛物线抛物线顶点是顶点是（1.1）对称轴对称轴直线直线x=1开口方向开口方向向上向上理由是y=3(x-1)+1的图像可以看成是的图像可以看成是y=3(x-1)平移得到的平移得到的w1. 2. 二次函数y=a(x-h)+k与y=ax的关系w(2)都是轴对称图形都是轴对称图形. w(3)都有最都有最(大或小大或小)值值.w(4)
10、a0时时, 开口向上开口向上,在对称轴左侧在对称轴左侧,y都随都随x的增大而减小的增大而减小,在对称在对称轴右侧轴右侧,y都随都随 x的增大而增大的增大而增大. a0时时,向右平移向右平移;当当h0时时向上平移向上平移;当当k0) y=a(x-h)2(a0)y=ax2(a0)y=a(x+h)2(a0c0a0时时, , 开口向上开口向上; ;当当a0a0时时, ,开口向上开口向上; ;(2)(2)对称轴是直线对称轴是直线x=h;x=h;(3)(3)顶点是顶点是(h,k).(h,k).二次函数二次函数开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y=2(x+3)y=2(x+3)2 2+5+5向上向上
11、(1,(1,2)2)向下向下向下向下(3,7)(3,7)(2,(2,6)6)向上向上直线直线x=x=3 3直线直线x=1x=1直线直线x=3x=3直线直线x=2x=2( (3,5)3,5)y=y=3(x3(x1) 1)2 22 2y = 4(xy = 4(x3)3)2 27 7y=y=5(25(2x)x)2 26 61. 1.完成下列表格完成下列表格: :2.2.请回答抛物线请回答抛物线y = 4(xy = 4(x3)3)2 27 7由抛物线由抛物线y=4xy=4x2 2怎怎样平移得到样平移得到? ?3.3.抛物线抛物线y =y =4(x4(x3)3)2 27 7能够由抛物线能够由抛物线y=4
12、xy=4x2 2平移平移得到吗得到吗? ?y = ax2y = ax2 + k y = a(x - h )2y = a( x - h )2 + k上下平移上下平移左右平移左右平移上下平移上下平移左右平移左右平移结论结论: 抛物线抛物线 y = a(x-h)2+k与与y = ax2形状相同，位置不同形状相同，位置不同。各种形式的二次函数的关系各种形式的二次函数的关系2) 1(43xy3) 3(432xy2)5(432xy2) 1(432xy如何平移：如何平移： 1. 1.函数函数y=xy=x2 2-1 -1的图象，可由的图象，可由y=xy=x2 2的图象向平的图象向平 _ 移移 个单位个单位.
13、.2.2.把函数把函数y=3xy=3x2 2+2+2的图象沿的图象沿x x轴对折，得到的图轴对折，得到的图 象的函数解析式为象的函数解析式为_._.3.3.已知（已知（m,n)m,n)在在y=axy=ax2 2+a+a的图象上，（的图象上，（- m,n - m,n ） _（在，不在）（在，不在）y=axy=ax2 2+a+a的图象上的图象上. .4. 4. 若若y=xy=x2 2+ +（2k-12k-1）的顶点位于）的顶点位于x x轴上方，则轴上方，则K_K_例题讲解下下1y=-3x2-2在在 0.5 1. 1. 一次函数一次函数y=ax+by=ax+b与与y=axy=ax2 2-b-b在同一
14、坐标系中在同一坐标系中的大致图象是（的大致图象是（ ）思维与拓展x0yx0 x0 x0 xxyyyB.A.C.D.B2. 函数函数y=ax2+a与与y= （a0)在同一坐标系中在同一坐标系中 的大致图象是（的大致图象是（ ）xa 思维与拓展yx0 x0yx0yA.xy0B.C.D.D. 思维与拓展.3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为y=2(x+1)2-84.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.逆向思考逆向思考,由由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知知:先向左平先向左平移移3个单位个单位,再向上平移再向上平
15、移5个单位个单位.y= 2（x+3）2-2画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？何？y= 2（x-3）2+3y= 2（x-2）2-1y= 3（x+1）2+1 在平面直角坐标系xoy中画出 二次函数y= (x6)2+3的图像； 此图象与x轴、y轴交点坐标各是多少？ 根据图像，说出x取哪些值，函数值y=0？y0？y0？12x 6 y3 已知抛物线 ，将这条抛物线平移，当它的顶点移到点M（2，4）的位置时，所得新抛物线的表达式是什么？ 23xy 抛物线y=x2
16、+mx-n的对称轴为x=3，且过点（0，4）求m、n的值练习3 抛物线 向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线 ，求b、c的值 cbxxy22xy 1、已知二次函数的图像的对称轴是直线x=4，在y轴上的截距为6，且过点（2，0）求它的解析式。 2、在同一直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像与一次函数y=kx+m的图像交于点（3，13），若一次函数的图像在y轴上截距是1，当x=1时二次函数的最小值是5，求这两个函数的解析式。 3、已知二次函数的图像经过点（1，9）和（2，4）且它与x轴只有一个交点，求这个二次函数。 4、如图所示的抛物线是把y=-x2经过平移而得到的，这时抛
17、物线经过原点O和X轴正方向上一点A，顶点为P，当OPA=90时，求抛物线的顶点P的坐标及解析式 5、已知、已知A为抛物线为抛物线 的顶点，的顶点，B为抛物线与为抛物线与y轴的交点。轴的交点。C为为X轴上一点，设线段轴上一点，设线段BC，AC，AB的长度分的长度分别为别为a，b，c当当a+c=2b时求经过时求经过B、C两两点直线的解析式点直线的解析式。33232xxy例例4.4.要修建一个圆形喷水池要修建一个圆形喷水池, ,在池中在池中心竖直安装一根水管心竖直安装一根水管. .在水管的顶端在水管的顶端安装一个喷水头安装一个喷水头, ,使喷出的抛物线形使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为水柱
18、在与池中心的水平距离为1m1m处处达到最高达到最高, ,高度为高度为3m,3m,水柱落地处离水柱落地处离池中心池中心3m,3m,水管应多长水管应多长? ?123123解解: :如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系, , 点点(1,3)(1,3)是图中这段抛物线的顶点是图中这段抛物线的顶点. . 因此可因此可设这段抛物线对应的函数是设这段抛物线对应的函数是这段抛物线经过点这段抛物线经过点(3,0)(3,0) 0=a(30=a(31) 1)2 23 3 解得解得: :因此抛物线的解析式为因此抛物线的解析式为: :y=a(xy=a(x1) 1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)当当x=0 x=0时时,y=2.25,y=2.25答答: :水管长应为水管长应为2.25m.2.25m.3 34 4a=a=y= (xy= (x1) 1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)3 34 4
