1、南昌十三中南昌十三中 陶丹丹教师陶丹丹教师新课引入到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数baxy) 1, 0(aaayx且) 1, 0(logaaxya且axy cbxaxy2（a0）新课引入到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数baxy) 1, 0(aaayx且) 1, 0(logaaxya且axy cbxaxy2（a0）大家首先来看一个例子大家首先来看一个例子 邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为_)5()5(325)5(5xxxxf（
2、x） 从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中建立函数模型呢？大家首先来看一个例子大家首先来看一个例子 邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为_)5()5(325)5(5xxxxf（x） 从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中建立函数模型呢？ 解答应用题重点要过三关：解答应用题重点要过三关：要点：要点： 事理关事理关文理关文理关数
3、理关数理关 解答应用题重点要过三关：解答应用题重点要过三关：要点：要点： 事理关事理关文理关文理关数理关数理关（1）_：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读能力如教材中讲的储蓄问题，要清楚什么是复利，各期的本利的阅读能力如教材中讲的储蓄问题，要清楚什么是复利，各期的本利和如何变化，即变化规律是什么，只有搞清这些问题，才能准确表达本和如何变化，即变化规律是什么，只有搞清这些问题，才能准确表达本利和利和y与利率与利率r及存期及存期x的关系的关系 （3）_：构建了数学模型后，要正确解答出数学问题，需要扎：构建了数学模型后，要正确解答出数学问
4、题，需要扎实的基础知识和较强的数理能力实的基础知识和较强的数理能力解答应用题重点要过三关：解答应用题重点要过三关：（2）_：需把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，以：需把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，以把实际问题抽象为一个函数问题把实际问题抽象为一个函数问题要点：要点：事理关事理关文理关文理关数理关数理关（1）_：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读能力如教材中讲的储蓄问题，要清楚什么是复利，各期的本利的阅读能力如教材中讲的储蓄问题，要清楚什么是复利，各期的本利和如何变化，即变化规律是什么，只有搞清这些问题，才能准确表
5、达本和如何变化，即变化规律是什么，只有搞清这些问题，才能准确表达本利和利和y与利率与利率r及存期及存期x的关系的关系 （3）_：构建了数学模型后，要正确解答出数学问题，需要扎：构建了数学模型后，要正确解答出数学问题，需要扎实的基础知识和较强的数理能力实的基础知识和较强的数理能力解答应用题重点要过三关：解答应用题重点要过三关：（2）_：需把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，以：需把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，以把实际问题抽象为一个函数问题把实际问题抽象为一个函数问题要点：要点：事理关事理关文理关文理关数理关数理关 例1国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值v(美元)与
6、其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元 (1)写出v关于的函数关系式； (2)若把一颗钻石切割成重量比为1 3的两颗钻石，求价值损失的百分率；一次函数、二次函数模型应用题一次函数、二次函数模型应用题 (3)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试用你所学的数学知识证明：当mn时，价值损失的百分率最大 例1国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值v(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元 (1)写出v关于的函数关系式； (2)若把一颗钻石切割成重量比为1 3的两颗钻石，求价值损失
7、的百分率； (3)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试用你所学的数学知识证明：当mn时，价值损失的百分率最大解：解：(1)依题意设依题意设vk2，又当又当3时，v54000，所以k6000，故v60002.解：解：(1)依题意设依题意设vk2，又当又当3时，v54000，所以k6000，故v60002.解：解：当且仅当mn时等号成立即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率最大解：解：当且仅当mn时等号成立即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率最大一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查
8、一次函数、二次函数模型 解决此类问题应注意三点： 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决， 但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； 确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； 解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题 悟悟技法技法一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(2)以分段函数的形式考查 解决此类问题应注意以下三点： 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解； 构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不
9、漏； 分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者) 提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域 提醒：提醒：(1) 构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域 . (2) 对构造较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉对构造较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉 的函数问题求解的函数问题求解 .分数函数模型应用题分数函数模型应用题(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用分数函数模型应用题分数函数模型应用题(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，
10、并求出最小总费用分数函数模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数 f(x)ax 与反比例函数 f(x)bx叠加而成的 (2)解决实际问题时一般可以直接建立 f(x)axbx的模型，有时可以将所列函数关系式转化为 f(x)axbx的形式 (3)利用模型 f(x)axbx求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件 悟悟技法技法分数函数模型的关键点分数函数模型的关键点例例1某城市现有人口总数为某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为万人，如果年自然增长率为1.2%，试解，试解答下列问题：答下列问题：（1）写出该城市人口总数）写出该城市人口总数y（万人）与年份（万人）
11、与年份x（年）的函数关系式；（年）的函数关系式；（2）计算）计算10年后该城市人口总数年后该城市人口总数(精确到精确到0.1万人万人)；（3）计算大约多少年后该城市人口将达到）计算大约多少年后该城市人口将达到120万人（精确到万人（精确到1年）（取年）（取1.012101.127，log1.0121.2015） 指数函数、对数函数模型应用题指数函数、对数函数模型应用题例例1某城市现有人口总数为某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为万人，如果年自然增长率为1.2%，试解，试解答下列问题：答下列问题：（1）写出该城市人口总数）写出该城市人口总数y（万人）与年份（万人）与年份x（年）的函
12、数关系式；（年）的函数关系式；（2）计算）计算10年后该城市人口总数年后该城市人口总数(精确到精确到0.1万人万人)；（3）计算大约多少年后该城市人口将达到）计算大约多少年后该城市人口将达到120万人（精确到万人（精确到1年）（取年）（取1.012101.127，log1.0121.2015） 指数函数、对数函数模型应用题指数函数、对数函数模型应用题【解解析析】 （1）当当燕燕子子静静止止时时，它它的的速速度度 v0 代代入入题题中中所所给给公公式式可可 得得 05log2Q10，解解得得 Q10，即即燕燕子子静静止止时时的的耗耗氧氧量量是是 10 个个单单位位 （2）将将耗耗氧氧量量 Q80
13、 代代入入题题中中所所给给公公式式得得 v5log280105log2815(m/s)， 即即当当一一只只燕燕子子的的耗耗氧氧量量是是 80 个个单单位位时时，它它的的飞飞行行速速度度为为 15m/s. 【解解析析】 （1）当当燕燕子子静静止止时时，它它的的速速度度 v0 代代入入题题中中所所给给公公式式可可 得得 05log2Q10，解解得得 Q10，即即燕燕子子静静止止时时的的耗耗氧氧量量是是 10 个个单单位位 （2）将将耗耗氧氧量量 Q80 代代入入题题中中所所给给公公式式得得 v5log280105log2815(m/s)， 即即当当一一只只燕燕子子的的耗耗氧氧量量是是 80 个个单
14、单位位时时，它它的的飞飞行行速速度度为为 15m/s. 应 用 指 数 与 对 数 函 数 模 型 应 注 意 的 问 题 (1)指 数 函 数 模 型 的 应 用 类 型 常 与 增 长 率 相 结 合 进 行 考 查 ，在 实 际 问 题 中 有 人 口 增 长 、 银 行 利 率 、 细 胞 分 裂 等 增 长 问 题 可 以利 用 指 数 函 数 模 型 来 解 决 (2)应用指数与对数函数模型时的关键关键是对模型的判断 ， 先 设 定 模 型 ， 再 将 已 知 有 关 数 据 代 入 验 证 ， 确 定 参 数 ， 从 而确 定 函 数 模 型 (3)通 常 利 用 指 数 运 算
15、 与 对 数 函 数 的 性 质 求 解 悟悟技法技法应用指数与对数函数模型应注意的问题应用指数与对数函数模型应注意的问题应 用 指 数 与 对 数 函 数 模 型 应 注 意 的 问 题 (1)指 数 函 数 模 型 的 应 用 类 型 常 与 增 长 率 相 结 合 进 行 考 查 ，在 实 际 问 题 中 有 人 口 增 长 、 银 行 利 率 、 细 胞 分 裂 等 增 长 问 题 可 以利 用 指 数 函 数 模 型 来 解 决 (2)应用指数与对数函数模型时的关键关键是对模型的判断 ， 先 设 定 模 型 ， 再 将 已 知 有 关 数 据 代 入 验 证 ， 确 定 参 数 ，
16、从 而确 定 函 数 模 型 (3)通 常 利 用 指 数 运 算 与 对 数 函 数 的 性 质 求 解 悟悟技法技法应用指数与对数函数模型应注意的问题应用指数与对数函数模型应注意的问题例例1某工厂今年某工厂今年1月、月、2月、月、3月生产某产品分别为月生产某产品分别为1万件、万件、1.2万件、万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数与月份数x的关系，根据已有的知识的关系，根据已有的知识经验模拟函数可选用二次函数或函数经验模拟函数可选用
17、二次函数或函数yabxc（其中（其中a、b、c为常为常数），已知数），已知4月份该产品的产量为月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明你的理由模拟函数较好，并说明你的理由函数模型的选取函数模型的选取例例1某工厂今年某工厂今年1月、月、2月、月、3月生产某产品分别为月生产某产品分别为1万件、万件、1.2万件、万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数与月份数x的关系，根据已有的知识
18、的关系，根据已有的知识经验模拟函数可选用二次函数或函数经验模拟函数可选用二次函数或函数yabxc（其中（其中a、b、c为常为常数），已知数），已知4月份该产品的产量为月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明你的理由模拟函数较好，并说明你的理由函数模型的选取函数模型的选取 (1) (1)数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法；数学表达式的一种方法；(2)(2)根据拟合模型，可以对某变量进行预测或控制；根据拟合模型，可以对某变量进行预测或控制； (3)(3)解决数
19、据拟合问题应首先作出散点图，然后通过观察解决数据拟合问题应首先作出散点图，然后通过观察散点趋势选用相应的模型进行拟合，为使散点图更为清晰，可散点趋势选用相应的模型进行拟合，为使散点图更为清晰，可将数据适当简化。将数据适当简化。悟悟技法技法函数模型的选取应注意的问题函数模型的选取应注意的问题 (1) (1)数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法；数学表达式的一种方法；(2)(2)根据拟合模型，可以对某变量进行预测或控制；根据拟合模型，可以对某变量进行预测或控制； (3)(3)解决数据拟合问题应首先作出散点图，然后通过观察解
20、决数据拟合问题应首先作出散点图，然后通过观察散点趋势选用相应的模型进行拟合，为使散点图更为清晰，可散点趋势选用相应的模型进行拟合，为使散点图更为清晰，可将数据适当简化。将数据适当简化。悟悟技法技法函数模型的选取应注意的问题函数模型的选取应注意的问题解函数的应用问题，一般地可按以下四步进行：第一步：阅读理解，认真审题；第二步：引进数学符号，建立数学模型；第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题 （即数学模型）予以解答，求得结果；第四步：再转移成具体问题作出解答。用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此，往往需要对模型进行修正。注注意意解函数的应用
21、问题，一般地可按以下四步进行：第一步：阅读理解，认真审题；第二步：引进数学符号，建立数学模型；第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题 （即数学模型）予以解答，求得结果；第四步：再转移成具体问题作出解答。用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此，往往需要对模型进行修正。注注意意1A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度(1)求x
22、的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？2.某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？31999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：4.某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：f(x)pqx；f(x)logqxp；f(x)(x1)(xq)2p (以上三式中p、q均为常数，且q2)(1)为准确研究其价格走势，应选择哪种价格模拟函数，为什么？(2)若f(1)4，f(3)6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是1,6其中x1表示4月1日，x2表示5月1日，以此类推)；(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水果在哪几个月内价格下跌
