1、一、教学目标一、教学目标：1.掌握等腰三角形的性质、等腰三角形的判定；2.能灵活运用等腰三角形的性质和判定解决相关问题；3.在等腰三角形腰和底不明确或顶角不明确时要用分类 讨论的思想，让学生体会分类讨论思想。二、考情分析二、考情分析：等腰三角形的概念、性质、判定是中考的一重点，在选择题、填空题、解答题中都有涉及。三、重点三、重点：等腰三角形的性质和判定。 难点难点：分类讨论思想。1.定义：定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形有两边相等的三角形叫做等腰三角形2.性质：性质：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等（在一个三角形中，等边对等角）（在一个三角形中，等边对等角）等腰三角形的顶
2、角平分线、底边等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线和高线互相重合上的中线和高线互相重合（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）概念概念一、等腰三角形一、等腰三角形知识的梳理知识的梳理(3)(3)是轴对称图形是轴对称图形(1).定义：定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形有两边相等的三角形叫做等腰三角形(2).判定定理：判定定理：3、等腰三角形的判定：、等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的性质 例1已知： 在ABC中，ABAC， B80求C和A的度数 例2 如图10.3.3，在ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，B30，求ADC
3、和1的度数图 10.3.3 分类讨论思想 例例 3、已知、已知ABC是等腰三角形，是等腰三角形，BC边上边上的高恰好等于的高恰好等于BC边长的一半，求边长的一半，求BAC的度的度数。数。AD BC， AD=1/2BC=BD=CD， BAD= B= C = CAD= 450 BAC= 900BACD解：解：1、当、当BC为底边时，如图：为底边时，如图：ABCD AD=1/2BC=1/2AB AD BC B= 300 BAC= C = 1/2（1800300 ) = 7502、当、当BC为腰时，设为腰时，设B为顶角，分下面几种为顶角，分下面几种 情况情况 讨论：讨论：（1） 顶角顶角B为锐角时，如
4、图：为锐角时，如图：DBAC（2）当顶角）当顶角B为钝角时，如图：为钝角时，如图： AD BC AD=1/2BC=1/2AB ABD= 300 BAC= C= 1/2 ABD = 150 BAC的度数为的度数为900 或或750或或 150（3）当顶点）当顶点B为直角时，为直角时，高高AD与腰与腰AB重合重合则有则有AD=AB=BC，与已知矛盾，与已知矛盾，故故B 900(分类讨论思想分类讨论思想) 在解等腰三角形的题目时在解等腰三角形的题目时,经常经常会运用分类思想讨论会运用分类思想讨论,以防止掉以防止掉入数学入数学“陷阱陷阱”! 2. 若等腰三角形的一个内角是若等腰三角形的一个内角是45,
5、则它的顶角为则它的顶角为90( ) 1.若等腰三角形二条边的长分别是若等腰三角形二条边的长分别是4和和8,则它的周长为则它的周长为_.3.若等腰三角形的一外角是若等腰三角形的一外角是100,那么它的三个内角分别是那么它的三个内角分别是_.总结总结:在解等腰三角形的题目时在解等腰三角形的题目时,经常会运用经常会运用分类思想分类思想讨论,以防止掉入数学以防止掉入数学“陷阱陷阱”!20错错50、50、80或或80、80、204.等腰三角形一腰上的高是腰长的一半等腰三角形一腰上的高是腰长的一半,则顶角度数为则顶角度数为_。30或或150(填对填对 或错或错!)5.等腰三角形一个内角为等腰三角形一个内角
6、为80度，则另外两个内角度，则另外两个内角分别为分别为_。 50、50或或80、20 每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几给出的，这样字母的取值不同也会影响问
7、题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为解决的数学思想，称之为分类讨论思想分类讨论思想。【数与代数数与代数】1、 概念分段定义概念分段定义2、 公式、定理、法则分段表达公式、定理、法则分段表达3、 实施某些运算引起分类讨论实施某些运算引起分类讨论4、 含参方程或不等式含参方程
8、或不等式【几何几何】5、 图形位置不确定图形位置不确定6、 图形形状不确定图形形状不确定【其他其他】题设本身有分类题设本身有分类1、 明确分类对象明确分类对象2、 明确分类标准明确分类标准3、 逐类分类、分级得到阶段性结果逐类分类、分级得到阶段性结果4、 用该级标准进行检验筛选结果用该级标准进行检验筛选结果5、 归纳作出结论归纳作出结论【类型一、类型一、与数与式有关的分类讨论与数与式有关的分类讨论】热点热点1：实数分类、绝对值、算术平方根：实数分类、绝对值、算术平方根热点热点2：与函数及图象有关的分类讨论：与函数及图象有关的分类讨论 ：变量取值范围、：变量取值范围、 增减性增减性热点热点3：含
9、参不等式：含参不等式热点热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。热点热点5：含参方程：含参方程【类型二、类型二、三角形中的分类讨论三角形中的分类讨论】热点热点1. 与等腰三角形有关的分类讨论与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中，无论边还：在等腰三角形中，无论边还是顶角、底角不确定的情况下，要分情况求解，有时要分钝角三角是顶角、底角不确定的情况下，要分情况求解，有时要分钝角三角形、直角三角形、锐角三角形分别讨论解决形、直角三角形、锐角三角形分别讨论解决（1） 与角有关的分类讨论与角有关的分类讨论（2） 与边有关的分类讨论与边有关的分类讨论（
10、3） 与高有关的分类讨论与高有关的分类讨论热点热点2：与直角三角形有关的分类讨论与直角三角形有关的分类讨论：在直角三角形中，如果没有：在直角三角形中，如果没有指明哪条边是直角边、斜边，这需要根据实际情况讨论；当然，在指明哪条边是直角边、斜边，这需要根据实际情况讨论；当然，在不知哪个角是直角时，有关角的问题也需要先讨论后求解不知哪个角是直角时，有关角的问题也需要先讨论后求解热点热点3：与相似三角形有关的分类讨论与相似三角形有关的分类讨论（1） 对应边不确定对应边不确定（2） 对应角不确定对应角不确定【类型三类型三：圆中的分类讨论圆中的分类讨论】热点热点1：点与圆的位置关系不确定：点与圆的位置关系
11、不确定热点热点2：弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论：弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论热点热点3：两弦与直径位置：两弦与直径位置热点热点4：直线与圆的位置的不确定：直线与圆的位置的不确定热点热点5：圆与圆的位置的不确定：圆与圆的位置的不确定一、概念中的分类讨论一、概念中的分类讨论3 3、如半径为、如半径为3cm3cm的的O O1 1与半径为与半径为4cm4cm的的O O2 2 相切相切，两圆的圆两圆的圆心距心距O O1 1O O2 2 cm.cm.1 1、已知、已知| |a a|=3|=3，| |b b|=2|=2，且，且abab0 0，则，则a - b a - b = = ；2 2、等
12、腰三角形的两边为、等腰三角形的两边为6 6和和8 8，那么此三角形的周长为，那么此三角形的周长为 ；1、直角三角形的两边为直角三角形的两边为3 3和和4 4，那么第三边长为，那么第三边长为 ；2、等腰三角形的一个角的度数为、等腰三角形的一个角的度数为40，那么此三角形的另两，那么此三角形的另两个角的度数为个角的度数为 ；3、若半径为、若半径为3和和5的两个圆相切，则它们的圆心距为的两个圆相切，则它们的圆心距为 。二、图形不确定的分类讨论二、图形不确定的分类讨论例例1 1、在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两、在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成顶点构成等腰三角形
13、等腰三角形. .A AC CB B50501101102020（1）、对）、对A进行讨论进行讨论（2）、对）、对B进行讨论进行讨论（3）、对）、对C进行讨论进行讨论CABACB2020202020202020CAB50505050CAB808080802020CAB65 65 5050CAB35 35110110CAB50505050例例2、已知、已知 O的半径为的半径为5cm，AB、CD是是 O的弦，且的弦，且AB=6cm， CD=8cm，ABCD，则，则AB与与CD之间的距离为之间的距离为 ；BBACDDCAO OO O例例3、在直角坐标系中，、在直角坐标系中，O为坐标原点，已知为坐标原点
14、，已知 A（1，1），），在在x轴轴上确定点上确定点P，使得，使得AOP为等腰三角形，则符合条件为等腰三角形，则符合条件的的P点共有点共有 个个4yoxA (1,1)P1(2,0)P3( ,0)2P2(- ,0)2P4( 1, 0 )-1-1111 1、若直线若直线 y=x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是与两坐标轴围成的三角形的面积是2 2，则则b b的值为的值为 ；2 2或或-2-2 y yxo o y yxo oOACBOACB三、运动变化中的分类讨论三、运动变化中的分类讨论例例1 1、A A为数轴上表示为数轴上表示-1-1的点，将点的点，将点A A沿数轴平移沿数轴平移3 3个单位到个
15、单位到B B，则点则点B B所表示的实数为（所表示的实数为（ ） A A、2 B2 B、2 C2 C、-4 D-4 D、2 2或或-4-4例例2 2、如图，直线、如图，直线ABAB，CD相交于点相交于点O，AOC300 0，半径为，半径为1cm1cm的的P的圆心在射线的圆心在射线OA上，且与点上，且与点O的距离为的距离为6cm如果如果P以以1cm/s的速的速度沿由度沿由A向向B的方向移动，那么（）秒种后的方向移动，那么（）秒种后P与直线与直线CD相切相切4 4 8 8 4 4或或6 4 4或或8PACDBO1 1、如图，、如图，OO从直线从直线ABAB上的点上的点A A（圆心（圆心O O与点与
16、点A A重合）出发，沿直线重合）出发，沿直线ABAB以以1 1厘米秒的速度向右运动（圆心厘米秒的速度向右运动（圆心O O始终在直线始终在直线ABAB上）已知线段上）已知线段ABAB6 6厘米，厘米，OO，BB的半径分别为的半径分别为1 1厘米和厘米和2 2厘米当两圆相交时，厘米当两圆相交时，OO的运动时间的运动时间t t（秒）的取值范围是（秒）的取值范围是_._.O(A)B2、 如图，如图，ABC中，中，AB=AC=5，BC=6，点，点P从从A出发，沿出发，沿AB以每秒以每秒1cm的速度向的速度向B运动，同时，点运动，同时，点Q从点从点B出发，沿出发，沿BC以相以相同速度向同速度向C运动，问，
17、当运动几秒后，运动，问，当运动几秒后，PBQ为为直角三角形直角三角形？ABCPQCABPQHABPQHPQB 或或 QPB思考：若思考：若PQB为直角三角形，哪些角可能为直角？为直角三角形，哪些角可能为直角？四、含参变量的分类讨论四、含参变量的分类讨论例例1、解关于、解关于x 的方程：的方程：ax - 1= x；解：解：ax x = 1；（a 1）x = 1；x =a 11（1） 当当a =1时时；此方程无解；此方程无解；（2） 当当a 1时时；方程的解为：；方程的解为：（1）不经过第二象限，那可以只经过第一、三象限，此时）不经过第二象限，那可以只经过第一、三象限，此时 b = 0；（2）不经
18、过第二象限，也可以经过第一、三、四象限，此时）不经过第二象限，也可以经过第一、三、四象限，此时 b 0.b 0也可以用图象来直观地解决这问题：也可以用图象来直观地解决这问题：xy例例2、若直线：、若直线：y = 4x +b 不经过第二象限，那么不经过第二象限，那么b的取值范围的取值范围为为 ；某班四个小组的人数如下：某班四个小组的人数如下：1010、1010、x x、8 8，已知这组，已知这组数据的中位数和平均数相等，数据的中位数和平均数相等，则则 x = _.x = _.8或或12分析：分析：涉及到中位数，与涉及到中位数，与参数参数x x的排列位置有关的排列位置有关. . 这样，存在几种，分
19、这样，存在几种，分别加以讨论别加以讨论. .若若x x88，则中位情况数为，则中位情况数为9 9，平均数为，平均数为9 9，则，则x x=8=8若若88x x1010，则中位数为则中位数为(10+(10+x x)/2)/2，平均数为，平均数为(10+10+(10+10+x x+8)/4, +8)/4, 得得(10+(10+x x)/2= )/2= (10+10+(10+10+x x+8)/4, +8)/4, x x=8=8若若x x1010, , 则中位数为则中位数为10, 10, 平均数为平均数为10, 10, x x=12=121.通过本堂课的复习通过本堂课的复习,你有何收获你有何收获? 2. 反思一下你所获的经验反思一下你所获的经验, 与同学交流与同学交流!数学知识数学知识: “等边对等角等边对等角” 、“等角对等边等角对等边”及及“三线合一三线合一” (在同一个三角形在同一个三角形)数学思想数学思想: 分类思想！分类思想！
