1、海南省2022届高三（下）第六次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分共40分在每个小题中，只有一个选项是符合题目要求的）1（5分）已知集合A1，3，a2，B1，a+2，若ABB，则实数a的取值为（）A1B1或2C2D1或12（5分）若mR，则复数（m+1）+（2m）i在复平面内表示的点在第一象限的一个充分不必要条件为（）A1m2Bm2C2m2Dm03（5分）抛物线y4x2的焦点到准线的距离为（）A2B1CD4（5分）函数f（x）定义如下表，数列xn满足x02，且对任意的自然数均有xn+1f（xn），则x2022（）x12345f（x）51342A1B2C4D55（5分）如图1
2、，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（）ABCD6（5分）点P是菱形ABCD内部一点，若2+3+，则ABCD的面积与PBC的面积的比值是（）A6B8C12D157（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿中间舞动的线条流畅且充
3、满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（）ABCD28（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且yf（x）的图像是一条连续不断的曲线，f（x+1）为偶函数，f（2x+2）为奇函数，f（0）0，当x（0，2）时，f（x）0，则当x（2，8）时
4、，f（x）0的解集为（）A（4，5）B（6，8）C（5，7）D（2，4）（6，8）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每个小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求，全部选对得5分部分选对得2分有选错的得0分）（多选）9（5分）不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（）Aa30，b25，A150，有一解Ba7，b14，A30，有两解Ca6，b9，A45，有两解D，无解（多选）10（5分）已知M是椭圆C：+1上一点，F1，F2是其左、右焦点，则下列选项中正确的是（）A椭圆的焦距为2B椭圆的离心率eC|MF1|+|MF2|4DMF1F2的面积的最大值是4（多选）11（
5、5分）四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB是球O的一条直径，且AC2，BC4，现有下面四个结论，其中所有正确结论是（）AAC上存在一点M，使得ADBMB四面体ABCD体积的最大值为C球O的表面积为20D若AD3，则BD4（多选）12（5分）已知圆C：（x+2）2+y2r2（r0），直线l：（a+b）x+ay2b0（a，b不全为0），过点A（0，2）作直线l的垂线，垂足为B，点B轨迹为，O为原点，则下列说法正确的是（）A直线l过定点（2，2）B|OB|最大值为+1，|OB|最小值为1C若曲线C与曲线有公共点，则2r+3D当r2时，曲线C与曲线的公共弦为三、填空题（本大勉共4小题，每小题
6、5分，共20分）13（5分）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”，某三位同学甲、乙、丙对冬奥会冰壶项目产生了浓厚的兴趣，并参与其中，若甲、乙、丙每次投冰壶进入大本营的概率分别为，若甲、乙、丙各投一次冰壶，则三人均未投入到大本营的概率为 14（5分）若直线2axby+20（a0，b0）始终平分圆x2+y2+2x4y+10的圆周，则的最小值为 15（5分）在一个棱长为的正方体内部有一个大球和小球，大球与正方体的六个面都相切，小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球体积的最大值是 16（5分）已知椭圆C：+1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点
7、，定点A（3，3），B（1，1），则|PA|PF|的最小值为 ，|PB|+|PF|的最大值为 四、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知数列an的前n项和Sn，且Sn，nN*，数列bn满足anlog2bn（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn，Tn数列cn的前n项和，求T2n18（12分）如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧，下都是一个矩形ABCD，圆弧所在圆的圆心为O经测量AB4米，BC1米，COD120，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上设OGF；矩形EFGH的面积为S（1）求圆O的半径，并求出当3
8、0时，矩形EFGH的面积为S：（2）求矩形EFGH的面积S关于变量的函数关系式，并求cos为何值时，矩形EPGH的面积S最大？19（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，BCAD，ADC90，BCCD1，PAPDAD2，E为线段AD的中点，过BE的平面与棱PD，PC分别交于点G，F（1）求证：GF平面PAD；（2）试确定点G的位置，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为20（12分）目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊
9、天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理（）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况21（12分）已知圆E：（x+1）2+y28，点F（m，0）（m0），P是圆E上一点，线段PF的垂直平分线l与直线EP相交于点Q（1）
10、若m2，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹是什么（不用求轨迹方程）？说明理由；（2）若m1，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹记为曲线C过E点作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与曲线C交于两点A，B，l2与曲线C交于两点C、D，求四边形ABCD的面积的取值范围22（12分）已知函数（1）当a1时，求函数f（x）在1，e上的最小值和最大值；（2）当a0时，讨论函数f（x）的单调性；（3）是否存在实数a，对任意的x1，x2（0，+），且x1x2，都有恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分共40分在每个小题中，只有一个选项是符合题目要求的）1
11、【答案】C【解析】ABB，BA，a+23或a+2a2，a1或a1或a2，a1或a1时，集合A的元素不满足互异性，不合题意；a2时，符合题意，a2故选：C2【答案】D【解析】复数（m+1）+（2m）i在复平面内表示的点在第一象限，可得，解得1m2，m|m0m|1m2m0是复数（m+1）+（2m）i在复平面内表示的点在第一象限的充分不必要条件，故选：D3【答案】D【解析】抛物线的标准方程x2y，则焦点坐标为（，0），准线方程为x，焦点到准线的距离dP，故选：D4【答案】B【解析】x1f（x0）f（2）1，x2f（x1）f（1）5，x3f（x2）f（5）2，x4f（x3）f（2）1，该数列的周期为3
12、，x2022x32故选：B5【答案】D【解析】在图2中，水中部分是四棱柱，四棱柱底面积为S（）2sin60，高为2，四棱柱的体积为V2a，设图1中容器内水面高度为h，则V，解得h图1中容器内水面的高度是故选：D6【答案】A【解析】如图，设AB中点为E，BC中点为F，因为，即，则，即，则SPBC2SPBF2SBEF，所以ABCD的面积与PBC的面积的比值是6故选：A7【答案】A【解析】如图建立平面直角坐标系，依题意，可得双曲线的渐近线方程为y，由O4（13，11）在渐近线上，可得11即可得，则双曲线C的离心率为故选：A8【答案】D【解析】由f（x+1）为偶函数，可得f（x+1）f（x+1），即为
13、f（x）f（x+2），由f（2x+2）为奇函数，可得f（2x+2）+f（2x+2）0，即为f（x+2）+f（x+2）0，即有f（x）+f（x+4）0，所以f（x+2）+f（x+4）0，即f（x+2）f（x），可得f（x+4）f（x+2）f（x），所以f（x）的最小正周期为4，当x（0，2）时，f（x）0，由f（x）的图象关于点（2，0）对称，可得x（2，4）时，f（x）0；又f（x）的最小正周期为4，可得x（6，8）时，f（x）0所以f（x）0的解集为（2，4）（6，8）故选：D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每个小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求，全部选对得5分
14、部分选对得2分有选错的得0分）9【答案】AD【解析】A选项：A90，ab，只有一解，故A正确；B选项：absinA，有一解，故B错误；C选项：absinA，无解，故C错误；D选项：sinB1，无解，故D正确故选：AD10【答案】BCD【解析】椭圆C：+1，可得a2，b2c，椭圆的焦距为2c4，离心率e，|MF1|+|MF2|2a4，MF1F2的面积的最大值2cb224，因此BCD正确，而A不正确故选：BCD11【答案】BC【解析】因为AB是球O的一条直径，所以ACBC，ADBD，所以，若AD3，则，D错；球的半径为，球O的表面积为，C对；因为AD与平面ABC相交，所以AC上找不到一点M，使得A
15、DBM，A错；因为D到平面ABC的距离的最大值为球的半径，所以四面体ABCD体积的最大值为，B对；故选：BC12【答案】AB【解析】由直线l：（a+b）x+ay2b0，可得a（x+y）+b（x2）0表示过x+y0与x20的交点的直线，由，得，所以直线l过定点M（2，2），故A正确；设B（x，y），过点A（0，2）作直线l的垂线，垂足为B，MBMA，0，（x，y2）（x2，y+2）0，x（x2）+（y2）（y+2）0，x22x+y240，（x1）2+y25，故点B的轨迹是以N（1，0）为圆心，为半径的圆，|ON|1，|OB|最大值为+1，|OB|最小值为1，故B正确；若曲线C与曲线有公共点，则r
16、|NC|r+，又|NC|3，3r3+，故C错误；当r2时，圆C：（x+2）2+y24，点B的轨迹方程为x22x+y240，公共弦的方程为x，圆心C到直线x的距离为，公共弦长为22，故D错误；故选：AB三、填空题（本大勉共4小题，每小题5分，共20分）13【解析】根据题意，记事件甲、乙、丙每次投冰壶进入大本营分别为事件A、B、C，则P（A），P（B），P（C），则有P（）1，P（）1，P（）1，三人均未投入到大本营的概率pP（）P（）P（）；故答案为：144【解析】由题意，圆的圆心（1，2）在直线2axby+20（a0，b0）上2a2b+20（a0，b0）a+b1（a+b）（）2+2+24当且仅
17、当，即ab时，的最小值为4故答案为：4.15【解析】如图所示，为组合体的中截面，则当小球的表面积最大时大球半径R和小球半径r满足：RR+r+r，因为正方体的棱长为6+4，所以R3+2，代入可得r1，则小球的最大体积为，故答案为：161；5【解析】椭圆C：+1的右焦点为F（1，0），其左焦点F（1，0），a2则|PA|PF|PA|（2a|PF|）|PA|+|PF|4|AF|44541，当且仅当三点A，P，F共线时取等号|PA|PF|的最小值为1，|PB|+|PF|PB|+2a|PF|4+|PB|PF|4+|BF|4+15当且仅当三点B，P，F共线时取等号|PB|+|PF|的最大值为5故答案为：1
18、；5四、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17解：（1）数列an的前n项和，当n1时，a1S11，当n2时，两式相减得：anSnSn1n（n2），又n1时，a11满足上式，所以ann，又anlog2bn，所以nlog2bn，所以；（2），由（1）知，所以，T2n（c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n）18解：（1）如图，作OPCD分别交AB，GH于M，N，由四边形ABCD，EFGH是矩形，O为圆心，COD120，所以OMAB，ONGH，P，M，N分别为CD，AB，GH中点，CON60，在RtCOP中，CP2，COP60，所以，所以，在RtONG中，所以，所以，所以，
19、所以S关于的函数关系式为：；（2）由（1）得：，因为所以，令S0，得）设，且，所以S0，得00，即S在（0，0）单调递增，S0，得，即S在单调递减所以当0时，S取得最大值，所以当时，矩形EFGH的面积S最大19（1）证明：连接PE，BCAD，且E为线段AD的中点，BCDE，又BCAD，四边形BCDE为平行四边形，BECD，CDAD，BEAD，CD平面PCD，BE平面PCD，BE平面PCD，又BE平面BEGF，平面BEGF平面PCDGF，BEGF，又平面PAD平面ABCD，BE平面ABCD，BEAD，平面PAD平面ABCDAD，BE平面PAD，PE平面PAD，BEPE，BEGF，GFAD，GFP
20、E，PEADE，PE，AD平面PAD，GF平面PAD（2）解：G为棱PD上靠近D的三等分点证明如下：PAPD，E为线段AD中点，PEAD，又平面PAD平面ABCD，如图，以E为坐标原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），B（0，1，0），E（0，0，0），D（1，0，0），（0，1，），（0，1，0），（1，0，），设（01），得G（），（），设平面BEGF的法向量（x，y，z），则，取x，得（），直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为，|cos|，解得或1（舍），G为棱PD上靠近D的三等分点时，直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为20解：（）设从此群
21、主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，则P（A）（）X的可能取值为0，1，2，连续两个月中均为群氛围优良的为：（1，2），（2，3），（5，6），连续两个月均为群氛围不是优良的为：（7，8），（10，11），（11，12），则P（X2），P（X1），P（X0），X的分布列为： X 0 1 2 P E（X）1（）该群的“群健康度”从图表中看出，在前半年的“群健康度”保持不错水平，在后几个月有上扬的趋势，说明群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理21解：（1）m2时，点F在圆E外，由Q是线段PF的垂直平分线/与直线EP的交点，|QP|QF|，又点Q在线段PE外，故有|，于是有|，又
22、由，即|QE|QF|EF|，由双曲线定义知点Q的轨迹是以E，F为焦点的双曲线（不说明|QE|QF|EF|扣1分）（2）当m1时，E（1，0），F（1，0），同（1）可得，故Q点的轨迹C是以E，F为左右焦点的椭圆，c1，又，a22，b21，故曲线C方程：设l1：xty1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），当t0时，直线MN与x轴重合，t0由，消去x得（t2+2）y22ty10，因点E在椭圆内，所以有0恒成立，且，由点M（x0，y0）在直线l1xty1上，即，因直线l1，l2相互垂直，故可设，同理可得，（i）若，则有t21，此时，直线MN方程：则有，化简整理得：，此时直线MN恒
23、过点（ii）若，则有t21，此时，或，此时直线MN过点；综上可知直线MN恒过定点22解：（1）当a1时，则，x1，e当x（1，2）时，f（x）0，当x（2，e）时，f（x）0，f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，e）上是增函数当x2时，f（x）取得最小值，其最小值为f（2）2ln2又，.，f（e）f（1）（2）f（x）的定义域为（0，+），当2a0时，f（x）在（0，a）上是增函数，在（a，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数当a2时，在（0，+）上是增函数当a2时，则f（x）在（0，2）上是增函数，在（2，a）上是减函数，在（a，+）上是增函数（3）假设存在实数a，对任意的x1，x2（0，+），且x1x2，都有恒成立，不妨设0x1x2，若，即f（x2）ax2f（x1）ax1，令只要g（x）在（0，+）为增函数要使g（x）0在（0，+）恒成立，只需12a0，故存在满足题意
