1、第 1 页，共 17 页 高三（上）期中数学试卷 高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知复数 = 3(3)，则 = ()A. 1 + 3B. 13C. 1 + 3D. 132.已知集合 = 2,1,0，1，2， = |24 0，则 = ()A. 1,0，1，2B. 0，1，2C. 1,0，1D. 2,1,0，1，23.产品质检实验室有 5 件样品，其中只有 2 件检测过某成分含量若从这 5 件样品中随机取出 3 件，则恰有 2 件检测过该成分含量的概率为()A. 35B. 310C. 25D. 234.已知向量,满足 = 1,|
2、= 2，则(32) = ()A. 5B. 5C. 6D. 65.函数 = | + 1的图象与圆2+(1)2= 4所围成图形较小部分的面积是()A. 4B. 2C. 43D. 6.已知方程26 + 2+2 + 2= 1表示焦点在 x 轴的双曲线，则 m 的取值范围是()A. 2 1B. 3 2C. 1 2D. 2 37.已知 l，m，n 是三条不重合的直线，其中命题“若/且 则 ”是真命题若把 l，m，n 中的任意两条直线换成平面，另一条保持不变，则所得到的所有新命题中，真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3第 2 页，共 17 页8.如图所示的程序框图，若输入 x 的数值是 19，
3、则输出的 y 值为()A. 124B. 124C. 26D. 09.已知() = + 1，10 ，若 = ( ), = ( + 2), =12() + ()，则关于 l，m，n 的关系式中，正确的是()A. = C. = 10.已知非零实数 a，b，c 不全相等，则下列说法正确的个数是()(1)如 a，b，c 成等差数列，则1,1,1能构成等差数列(2)如 a，b，c 成等差数列，则1,1,1不可能构成等比数列(3)如果 a，b，c 成等比数列，则1,1,1能构成等比数列(4)如 a，b，c 成等比数列，则1,1,1不可能构成等差数列A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个11.在 中
4、，“ 是钝角三角形”是“ = 2”的()A. 必要不充分B. 充要C. 充分不必要D. 既不充分也不必要第 3 页，共 17 页12.已知函数() =4|, 4(4)2, 4，且函数()满足() + (4) = 5，则函数 = ()()的零点个数为()A. 0B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.某金属零件的三视图，如图所示(单位：)，则该零件的体积为_14.已知实数 m 是区间0,4上的随机数， 则方程2+3 + 33 = 0有异号两根的概率为_15.已知函数() =12sin2 +12 + 1，则()的最小正周期是_，最小值是_16.某制药厂生产
5、A，B 两种药品均需用甲，乙两种原料已知生产 1 吨每种药品所需原料及每天原料的可用限额，如表所示如果生产 1 吨 A，B 产品可获利润分别为4 万元，5 万元，则该制药厂每天可获最大利润为_万元AB原料限制甲(吨)4315乙(吨)2310三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）第 4 页，共 17 页17.某电信运营公司为响应国家 5G 网络建设政策，拟实行 5G 网络流量阶梯定价每人月用流量中不超过(一种流量计算单位)的部分按 2 元/收费；超出 kGB 的部分按 4 元/收费从用户群中随机调查了 10 000 位用户，获得了他们某月的流量使用数据整理得到如下的频率分布直方图：(
6、)若 k 为整数，依据本次调查，为使80%以上用户在该月的流量价格为 2 元/，k至少定为多少？()假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 = 3时，试估计用户该月的人均流量费18.已知等差数列和正项等比数列满足1=1= 2，2+3= 10，24=18()求数列、的通项公式()设数列中=+，求和：1+3+5+ +21第 5 页，共 17 页19.如图， 直三棱柱111的底面是边长为 4 的正三角形，M， N 分别是 BC，1的中点()证明：平面 平面11；()若直线1与平面11所成的角为30，试求三棱锥的体积20.设椭圆与两坐标轴的交点分别为(,0)，B (0,)( 0)，点 O 为
7、坐标原点，点 M 满足 = 2，OM 所在直线的斜率为510()试求椭圆的离心率 e；()设点 C 的坐标为(0,)，N 为线段 AC 的中点，证明 21.已知函数() = ( + )，曲线 = ()在点(1,(1)处的切线与直线 + 2 = 0垂直()求 a 的值()令() =2，是否存在自然数 n，使得方程() = ()在(, + 1)内存在唯一的根？如果存在，求出 n，如果不存在，请说明理由第 6 页，共 17 页22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 6 +12 =32(为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 的极坐标方程为 = 4 3()写出 的
8、直角坐标方程；()为直线(上的一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标23.已知关于 x 的不等式| + | 的解集为|4 0 + 2 0，即3 0 + 2 0，求出解集即可本题考查双曲线的定义，属于基础题7.【答案】C【解析】解：不变，有/且 ；不变，有/且 ；不变，有/且 ；分析知，正确故选：C根据线面平行，和面面平行，线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可本题主要考查空间直线和平面位置关系的应用， 结合相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键比较基础第 9 页，共 17 页8.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得 = 19 = 13 满足判断框内
9、的条件 0，执行循环体， = 7 满足判断框内的条件 0，执行循环体， = 1 满足判断框内的条件 0，执行循环体， = 5 不满足判断框内的条件 0，退出循环， = (5)3+1 = 124，输出 y 的值为124故选：A由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9.【答案】C【解析】解：由对数运算的性质知 = ( ) = ln +1 =12 +12 + 1， =12() + () =12( + 1 + + 1)
10、 =12 +12 + 1，所以 = ，又()为增函数，0 ，所以 ，所以有 = 故选：C结合对数的运算性质及函数单调性即可进行比较大小本题主要考查了利用对数的运行性质及函数的单调性进行比较大小，属于基础试题10.【答案】C【解析】解： 非零实数 a，b，c 不全相等，若 a，b，c 成等差数列，可得 = ，11=，11=，要使 = ，即 = ，即为 = = ，这不成立，故1,1,1不可能构成等差数列，故(1)错误；第 10 页，共 17 页若 a，b，c 成等差数列，则2 = + ， 12=1( + 2)2=4( + )2，要使4( + )2=1，需 = = ，这不可能，故1,1,1不可能构成
11、等比数列，故(2)正确；若 a，b，c 成等比数列，则1,1,1能构成等比数列，例如 ： = 2， = 4， = 8时，故(3)正确，若 a，b，c 成等比数列，则2= ，12=1，则1,1,1不可能构成等差数列，故(4)正确综上可得，(1)错，(2)(3)(4)对，故选：C由题意利用等差数列、等比数列的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，属于基础题11.【答案】A【解析】解：在 中，已知“ 是钝角三角形”，假设 C 为钝角，则 0，显然“ = 2”不成立；在 中，又由 = 2，可知cos( + ) = 2，即cos() = 0，此时有
12、 = 2，即 A 为钝角或 B 为钝角，从而 为钝角三角形 “ 是钝角三角形”推不出“ = 2”；“ = 2”“ 是钝角三角形” “ 是钝角三角形”是“ = 2”的必要不充分条件故选：A根据充分必要条件的定义，先由条件“ 是钝角三角形”推理，看是否推出结论“ = 2”；反之，由内角和定理得 = ( + )，利用两角和差的余弦公式、诱导公式化简式子，根据特殊角的余弦值判断出角之间的关系，即可得三角形的形状，即可得出结论本题考查了两角和差的余弦公式、诱导公式的应用，充分必要条件的判断，属于基础题12.【答案】D第 11 页，共 17 页【解析】解：由() = 5(4)，知 = ()() = ()
13、+ (4)5的零点就是方程() + (4) = 5的根，令() = () + (4)，则(4) = (4) + ()所以有(4) = ()，即()的图象关于直线 = 2对称当0 2时，() = () + (4) = 4 + 4(4) = 4；当 0且33 0；解得： 0 04 + 3 152 + 3 10作出可行域知，由第 13 页，共 17 页4 + 3 = 152 + 3 = 10解得(52,53)z 在点(52,53)处取得最大值553故答案为：553设每天生产甲乙两种产品分别为 x，y 吨，利润为 z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平
14、移法求出 z 的最大值此题考查了线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解本题的关键17.【答案】 解 ：()由直方图可知， 用户所用流量在区间0.5,1，(1,1.5，(1.5,2，(2,2.5，(2.5,3内的频率依次是0.1，0.15，0.2，0.25，0.15所以该月所用流量不超过 3GB 的用户占85%，所用流量不超过 2GB 的用户占45%，故k 至少定为 3；()由所用流量的频率分布图及题意，用户该月的人均流量费用估计为：2 1 0.1 + 2 1.5 0.15 + 2 2 0.2 + 2 2.5 0.25 + 3 2 0.15 + (3 2+ 0.5 4) 0.0
15、5 + (3 2 + 1 4) 0.05 + (3 2 + 1.5 4) 0.05= 5.1元【解析】根据图形找出各个区间的频率，在进行解答本题考查频率直方图，为中等题18.【答案】解：()设等差数列的公差为 d，因为2+3= 10，所以21+3 = 10，又1= 2，所以 = 2，即= 2 + (1) 2 = 2，设正项等比数列的公比为 q， 0，因为24=18= 36，即21 4= 36，由1= 2， 0知 =3，所以= 2 ( 3)1；()=+= 2 + 2 ( 3)1，设21=1+3+5+ +21，则21= (2 + 2) + (6 + 2 3) + + 2(21) + 2 31= (
16、2 + 6 + + 2(21) + (2 + 2 3 + + 2 31)=12(2 + 42) +2(13)13= 22+ 31【解析】()设等差数列的公差为 d，设正项等比数列的公比为 q， 0，分别运用通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；第 14 页，共 17 页()=+= 2 + 2 ( 3)1，设21=1+3+5+ +21，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于基础题19.【答案】()证明：如图所示，由直三棱柱111知 1，又 M 为 BC 的中点
17、知 ，且1 = ，所以 面11；又 平面 AMN，所以平面 平面11；()解：设 AB 的中点为 D，连接1，CD；因为 是正三角形，所以 ；由直三棱柱111知 1，所以 平面11，所以1为直线1与平面11所成的角，即1 = 30；所以1 = 2 = 2 32 4 = 4 3，所以1 = 6；在 1中，1=122=364 = 4 2， =121=12 4 2 = 2 2；则三棱锥的体积即为三棱锥的体积，所以 =13 =13 (34 4212) 2 2 =463【解析】()由题意知 1， ，得出 面11，从而证明平面 平面11；()取 AB 的中点 D，连接1，CD； 证明 平面11，得出1为直
18、线1与平面11所成的角，利用三棱锥的体积 = 三棱锥的体积，计算即可得出结论第 15 页，共 17 页本题考查了空间中的垂直关系证明问题，也考查了三棱锥体积计算问题，是中档题20.【答案】解：()设(,)，因为 = 2，即(,) = 2(,)，则 =23， =13，即(23,13)，由=510知2=510，所以 =5， =22= 2，所以 =255；()证明：由 N 是 AC 的中点知，点(2,2)，所以 = (6,56)，又 = (,)，所以 = 162+562=16(522)，由()知 =5，即522= 0，所以 = 0，即 【解析】()根据 = 2表示出 M 的坐标，进而可表示出直线 O
19、M 的斜率，求出a，b，c 之间的关系，即可的离心率；()计算出 的值为 0，得证本题考查椭圆离心率的计算，两直线的位置关系，利用坐标法表示向量是关键，属于中档题21.【答案】解：()由题意知切线的斜率为 2，即(1) = 2，又() = +1， = 1；()设() = ()() = ( + 1)2，当 (0,1时，() 0， 存在0 (1,2)，使得(0) = 0又() = +1+1 +(2)， 当 (1,2)时，() = +1+1 +(1)21 11 0，当 2, + )时，() 0即 (1, + )时，()为增函数， = 1时，方程() = ()在(, + 1)内存在唯一的根【解析】本题
20、考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题()由已知可得切线的斜率为 2，求出原函数的导函数，再由(1) = 2求解 a 值；第 16 页，共 17 页()设() = ()() = ( + 1)2，得当 (0,1时，() 0，再利用导数判断 (1, + )时，()为增函数，即可得到 = 1时，方程() = ()在(, + 1)内存在唯一的根22.【答案】解：()由 = 4 3知2= 4 3，所以2+ 2= 4 3，所以 的直角坐标方程为2+ 24 3 = 0()由()知 的标准方程为2+(2 3)2= 12， 即圆心(0,2 3)，
21、设 P 点坐标为(6 +12,32)，则| =(6 +12)2+ (3223)2=2+ 48，所以当 = 0时，|有最小值，此时 P 点坐标为(6,0)【解析】()直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果()利用两点间的距离公式的应用和二次函数的最值的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用， 二次函数的最值的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.【答案】解：(1)由| + | 知 ， = 4 = 6，解得 = 5 = 1(2)依题意，知： + 10+=5 + 10+=52+ 1 (5)2+ 12 (2)2+ ()2=6(2 + ) = 2 3当且仅当52=1即 =13时等号成立故所求式子的最大值为2 3【解析】本题第(1)题先去掉绝对值符号，然后与解集进行比较即可得到 a、b 的值；第(2)题根据根式的特点运用柯西不等式即可得到最大值第 17 页，共 17 页本题主要考查解含参绝对值不等式的计算能力，柯西不等式的应用，本题属中档题
