1、第 1 页，共 19 页 高三（上）期中数学试卷 高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知全集 = 2,1,0， 1，2， 集合 = |22 0)的离心率最小时，双曲线的渐近线方程为()A. 2 = 0B. 2 = 0C. 3 = 0D. 3 = 05.执行如图所示的程序框图，若输入 x 的数值是 9，则输出的y 值为()A. 10B. 9C. 8D. 7第 2 页，共 19 页6.若2(3) = 3 +7，则 = ()A. 32B. 32C. 32D. 327.第七届世界军人运动会于 2019 年 10 月 18 日在武汉举行，现
2、有 A，B，C，D，E5名志愿者分配到甲，乙，丙三个体育馆参加志愿者活动，每个体育馆至少安排一人且 A 和 B 是同学需分配到同一体育馆，则甲体育馆恰好安排了 2 人的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 158.直三棱柱111中，底面 ABC 为等腰直角三角形且斜边 = 2，D 是 BC 的中点，若1=2，则异面直线1与 AD 所成的角为()A. 30B. 45C. 60D. 909.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝某科研机构研究发现，某品种中医药的药
3、物成分甲的含量(单位：克)与药物功效(单位：药物单位)之间具有关系 = 102.检测这种药品一个批次的 5 个样本，得到成分甲的平均值为 4 克，标准差为 2克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为()A. 22 药物单位B. 20 药物单位C. 12 药物单位D. 10 药物单位10.函数() = sin( +3)( 0)，当 0,时函数()的值域为32,1，则函数()的最小正周期的取值范围是()A. ,3B. ,6C. 3,6D. 6,1211.等腰三角形 ABC 中， 点 D 在底边 BC 上， ， = 8， = 1， 则 的面积为()A. 974B. 4 7C. 2774D. 8 7第
4、 3 页，共 19 页12.已知 = (1 +1), = (1 +1)， =413，其中 e 是自然对数的底数，则 a，b，c 的大小关系是()A. B. C. D. 0， 若4，33，5成等差数列且4= 22+4(1)求数列的通项公式；(2)为整数，是否存在正整数使10= +2成立？若存在，求正整数 n 及；若不存在，请说明理由18.如图，四棱锥中， 平面 ABCD，/， ， = 2 = 2 = 2， = 2，点 M 满足 = 2第 4 页，共 19 页(1)求证：/平面 MAC；(2)求直线 PC 与平面 MAC 所成角的正弦值19.O 是坐标原点，椭圆：22+22= 1( 0)的左右焦点
5、分别为1，2，点 M 在椭圆上，若 12的面积最大时12= 120且最大面积为2 3(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)直线 l： = 2与椭圆 C 在第一象限交于点 N，点 A 是第四象限的点且在椭圆 C上，线段 AB 被直线 l 垂直平分，直线 NB 与椭圆交于另一点 D，求证：/20.2019 年 6 月 25 日，固体废物污染环境防治法(修订草案)初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定草案提出，国家第 5 页，共 19 页推行生活垃圾分类制度为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次
6、参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000 人的得分(满分 ： 100 分)数据，统计结果如表所示：得分30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2515020025022510050(1)由频数分布表可以认为， 此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布(,210)，近似为这 1000 人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求(36 79.5)；(2)在(1)的条件下，市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：得分不低于“的可以获赠 2 次随机话费，得分低于的可以获赠 1 次随机话费；每次获赠的
7、随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费(单位：元)2040概率21现市民小王要参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列及数学期望附： 210 14.5；若(,2)，则( + ) = 0.6827，(2 + 2) = 0.9545，(3 0)与曲线1交于点 A， 点 B 在曲线2上， 且 ， 求线段 AB的长度23.已知关于 x 的不等式| + | 的解集为|4 6(1)求实数 a，b 的值；(2)求 + 10 +的最大值第 7 页，共 19 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解： = |1 0)的 =， =2 + 4， = + 2 + 4 =2
8、+ 4，可得 =2+ 4= +4，由 0，可得 +4 2 4= 4，当且仅当 = 2时，取得等号，则双曲线的离心率 e 的最小值为 2，此时 = 2，即有 =2， =6，可得双曲线的渐近线方程 6 2 = 0，即为 3 = 0，故选：D求得双曲线的 a，b，c，可得离心率 e 的关于 m 的表达式，结合基本不等式可得 e 的最小值，以及 m 的值，即可得到所求双曲线的渐近线方程本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查基本不等式的运用，以及化简运算能力，属于基础题5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基
9、础题由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得 = 9 = 6第 9 页，共 19 页满足判断框内的条件 0，执行循环体， = 3满足判断框内的条件 0，执行循环体， = 0满足判断框内的条件 0，执行循环体， = 3不满足判断框内的条件 0，退出循环， = (3)2+1 = 10，输出 y 的值为 10故选：A6.【答案】B【解析】解：若2(3) = 3 +7，则 +3 = 3 +7，即 32 =7，即 7(3727) =7，故有sin() = 1，其中， =27， =
10、37 = 2 +2， ， = 2 +2+， = sin(2 +2+ ) = =37 = cos(2 +2+ ) = = 27则 =cos= 32，故选：B由题意利用两角和差的三角公式求出sin() = 1，其中， =27， =37，可得 = 2 +2+，再利用诱导公式求得、的值，再利用同角三角函数的基本关系求得本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题7.【答案】B【解析】解：现有 A，B，C，D，E5 名志愿者分配到甲，乙，丙三个体育馆参加志愿者活动，每个体育馆至少安排一人且 A 和 B 是同学需分配到同一体育馆，基本事件总数 =122 2213121133+ 222
11、31133= 36，甲体育馆恰好安排了 2 人包含的基本事件个数 = 2223111222= 12，则甲体育馆恰好安排了 2 人的概率 =1236=13故选：B第 10 页，共 19 页基本事件总数 =122 2213121133+ 22231133= 36， 甲体育馆恰好安排了 2 人包含的基本事件个数 = 2223111222= 12，甲体育馆恰好安排了 2 人的概率本题考查概率的求法，考查列举法和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.【答案】C【解析】解：取11的中点 E，连1，DE，CE，1/，所以异面直线 AD 与1所成角是1，或其补角易得1 平面11， 1
12、，在直角三角形1中，1 =1211= 1， =2+ 2=3，tan1 =1=3， 1 = 60故选：C取11的中点 E，连1，DE，CE， 1/，所以异面直线 AD 与1所成角是1，或其补角，在直角三角形1中可求得本题考查了异面直线所成的角，属中档题9.【答案】A【解析】解：设 5 个样本中药物成份甲的含量分别为1，2，3，4，5，则5 = 1= 20，155 = 1(4)2= 2，5 = 12= 90，5 = 1= 105 = 15 = 12= 110， 这批中医药的药物功效的平均值为：155 = 1= 22故选：A设 5 个样本所含成份甲分别为1，2，3，4，5，根据平均值和标准差列方程，
13、再带入平均值公式计算即可本题考查标准差的求法，考查数学转化思想方法，是中档题第 11 页，共 19 页10.【答案】D【解析】解 ： 函数() = sin( +3)( 0)，当 0,时，函数()的值域为32,1，当 = 0时， +3=3；当 = 时， +3= +3，2 +323，求出16 13， =2 6,12，故函数()的最小正周期的取值范围是6,12，故选：D由题意利用正弦函数的定义域和值域求出的范围，再利用正弦函数的周期性，求得函数()的最小正周期的取值范围本题主要考查正弦函数的定义域和值域，正弦函数的周期性，属于中档题11.【答案】C【解析】解：设 = = ，则 = 2， = 22，在
14、 中， = 8， = 8，则 = 8， 中， =22，由正弦定理可得sin=，即1sin(22)=8sin，可得2 =18，由于2 =18= 221 = 122，可得 =74， =34，可得 =12 sin =12 8 8 sin(2) = 643 =2774故选：C设 = = ，可求 = 2， = 8， = 8， = 8， =22，由正弦定理可得2 =18，进而可求，的值，根据三角形的面积公式即可计算得解本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能第 12 页，共 19 页力和转化思想，属于中档题12.【答案】A【解析】 解 ： 对 a， b， c 两边都取对
15、数可得 ： = (1 +1)， = (1 +1)， =13ln(1 + 3)，令() =ln( + 1)( 0)，() = + 1ln( + 1)2，令() = + 1ln( + 1)，() = ( + 1)2 0， 函数()在(0, + )上单调递减， () (0) = 0 () 0， 函数()在(0, + )上单调递减又 = (1)， = (1)， = (3) (3) (1) (1)， 0)，利用导数研究函数单调性即可比较出大小关系本题考查了利用导数研究函数单调性比较数的大小，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13.【答案】3【解析】解：2= 5,2= 3，| =7， ()2=2+22
16、= 82 = 7， 2 = 1， | + |2=2+2+2 = 9， | + | = 3故答案为：3根据条件可求出2= 5,2= 3，从而对| =7两边平方即可求出2 = 1，从而可求出| + |2的值，进而求出| + |本题考查了数量积的坐标运算，数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础第 13 页，共 19 页题14.【答案】12【解析】解： =， 则 z 的几何意义是区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，OA 对应的直线的斜率最小，由 = 1 + = 3，解得(2,1)， 的斜率 =12，即 z 的最小值为：12，故答案为：12作出不等式组对应的平面
17、区域， =，利用 z 的几何意义即可得到结论本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，注意要数形结合，是中档题15.【答案】72【解析】解：设(1,1)，(2,2)，线段 AB 的中点为(0,0)，由 A，B 关于直线 + = 0对称，可设 AB： + = 0，由 + = 02= 4可得24 + 4 = 0，则1+2= 4，12= 4，则0=1+ 22= 2，0=0 = 2，即(2,2)，由 E 在直线 + = 0上，可得 = 4，| =2|12| =2 (1+ 2)2412=2 1616 = 4，解得 =12， = 412=72故答案为：72设(1,1)，(2,2)
18、，线段 AB 的中点为(0,0)，由对称性可设 AB： + = 0，联立抛物线方程，消去 x，可得 y 的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得 E 的坐标，代入直线 + = 0，再由弦长公式，解方程可得 a，进而得到 m 的值第 14 页，共 19 页本题考查抛物线的方程和应用，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查弦长公式的运用，化简运算能力，属于中档题16.【答案】2【解析】解：点 D 是 的外心，过点 D 做 平面 ABC 使 =12 = 1，O 是外接球的球心，半径设为 R， = = ，在直角梯形 SADO 中， = 2， = 1， =2，得 =3，过点 D 作球 O 的
19、截面，当 截面时，截面面积最小，此时截面圆的半径为 22=2， 截面面积最小值是2故答案为：2D 为三角形 ABC 的外心， 则三棱锥球心在过 D 且垂直于平面 ABC 的直线上， 找到球心 O，求出球的半径，则当过 D 的截面垂直于 OD 时，截面面积最小，求出其值即可本题考查了三棱锥的外接球，球的截面圆的面积考查空间想象能力和计算能力属于中档题17.【答案】解：(1)等比数列的公比设为 q，首项1 0，且4，33，5成等差数列，可得63=4+5，即612=13+14，解得 = 2或 = 3，4= 22+4，即13= 21 + 4，当 = 2时，1= 1；当 = 3时，1= 421 0(舍去
20、)，则= 21， ；(2)=1(1)1=1212= 21，假设存在正整数使10= +2成立，可得10 21= (21) + 2，即有 =5 22+ 1= 552+ 1，由为整数，可得 = 2时， = 4，第 15 页，共 19 页则存在 = 2时， = 4满足条件【解析】(1)由已知条件利用等比数列通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，从而得到所求通项公式；(2)假设存在正整数使10= +2成立，运用等比数列的求和公式，求得关于 n 的关系式，结合条件，即可得到所求值本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及等差数列的中项性质，考查存在性问题的解法，以及化简运算能力和推理能
21、力，属于中档题18.【答案】解：(1)证明：连结 BD， 交 AC 于点O，连结 OM， /， = 2 = 2，= 2， = 2， = 2， /， 平面 MAC，平面 MAC， /平面 MAC(2)解：以 AB、AD、AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0，2)，(1,1，0)，(0,0，0)，(0,23,43)， = (1,1，2)， = (1,1，0)， = (0,23,43)，设平面 MAC 的法向量 = (,y，)，则 = + = 0 =23 +43 = 0，取 = 1，得 = (2,2,1)，设直线 PC 与平面 MAC 所成角为，则 =| |
22、|=69 直线 PC 与平面 MAC 所成角的正弦值为69【解析】(1)连结 BD，交 AC 于点 O，连结 OM，推导出/，由此能证明/平面 MAC(2)以 AB、AD、AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 PC 与平面 MAC 所成角的正弦值第 16 页，共 19 页本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.【答案】解：(1)当 M 为椭圆的上顶点或下顶点时， 12的面积最大，设 M 是椭圆的上顶点，则60 =3，即 =3，由因为 =12 2 = 2
23、3，所以 =2， =6，则有2= 8，所以椭圆 C 的标准方程为28+22= 1，(2)证明：由题意可知(2,1)，直线 ND 不与 x 轴垂直，设直线 ND： = (2) + 1 = + 12，直线 NA： = (2) + 1 = + 2 + 1，设(,)，(,)联立28+22= 1 = + 12，整理得(1 + 42)2+8(12) + 162164 = 0，所以2=1621641 + 42，即有=82821 + 42，同理得=82+ 821 + 42，又因为= +12，= +1 + 2，则=(+ )4= 16241 + 424161 + 42=12，又因为=12，所以=，即有/【解析】(
24、1)判断出当 M 在上(下)顶点时面积最大，表示出面积表达式，即可求出 b，c；(2)先求出(2,1)，联立直线 ND、NA 与椭圆方程求出 D、A 的横、纵坐标，即可表示出 AD 斜率，发现正好等于 ON 斜率，因而/本题是直线与椭圆的综合，判断出 M 在上(下)顶点时面积最大是关键，属于中档题20.【答案】解：(1)根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得 = 35 0.025 + 45 0.15 + 55 0.2 + 65 0.25 + 75 0.225 + 85 0.1 + 95 0.05 = 0.875 + 6.75 + 11 + 16.25 + 16.875 + 8.5
25、= 65；又36 652 210，79.5 65 +210，所以(36 0，令() = () = ( + 11) + ，则() = (1+12)，易得1+12与在1, + )上单调递减，所以则()在1, + )上单调递减，(1) = 2，()若2 0即0 0即 12时，0 (1, + )使得() = 0，所以()在(1,0)单调递增，此时() (1) = 0，所以() 0即()在(1,0)单调递增，() (1) = 0，不合题意，综上可得，a 的范围,12.【解析】(1)根据导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，(2)先对函数进行求导，然后对 a 进行分类讨论，结合导数与单调性的关系
26、可求本题综合考查了导数的几何意义及利用导数处理恒成立问题， 体现了转化思想与分类讨论思想的应用22.【答案】解：(1)曲线1的参数方程为 = 1 + cos = sin(为参数)，转换为直角坐标方程为2+ 22 = 0，转化为极坐标方程为 = 2(2)由 =3 = 2，解得(1,3)，所以| = 1点 B 在曲线2上，所以射线 OB 的极坐标为 = 6， = 6( +56) =3，解得| = 2，由于 ，所以| =12+ 22=5【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换(2)利用极径的应用和勾股定理的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角
27、坐标方程之间的转换，极径的应用，第 19 页，共 19 页勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.【答案】解：(1)由| + | 知 ， = 4 = 6，解得 = 5 = 1(2)依题意，知： + 10+=5 + 10+=52+ 1 (5)2+ 12 (2)2+ ()2=6(2 + ) = 2 3当且仅当52=1即 =13时等号成立故所求式子的最大值为2 3【解析】本题第(1)题先去掉绝对值符号，然后与解集进行比较即可得到 a、b 的值；第(2)题根据根式的特点运用柯西不等式即可得到最大值本题主要考查解含参绝对值不等式的计算能力，柯西不等式的应用，本题属中档题
