1、高等电力系统分析课程简介n 电网络分析基础电网络分析基础n 潮流算法及其扩展潮流算法及其扩展n 电力系统状态估计电力系统状态估计n 电力系统静态安全分析电力系统静态安全分析第一部分：系统分析篇1 电网络分析基础基础知识节点导纳矩阵电力网络方程求解方法第一部分：系统分析篇（续）2 潮流算法及其扩展潮流计算的数学模型潮流计算的经典算法保留非线性的潮流算法最小化潮流潮流计算中的自动调整最优潮流交直流潮流与含FACTS元件的系统潮流第一部分：系统分析篇（续）3 电力系统状态估计电力系统状态估计的基本概念最小二乘估计不良数据检测第一部分：系统分析篇（续）4 电力系统静态安全分析概述电力系统静态等值电力系
2、统预想事故选择1 电网络分析基础1.1 基础知识：电力网络的概念1 电力网络的概念电力网络的概念 电力网络是指将输电配电线路、变压器等电气元件按一定形式连接而成的一个整体，达到输送和分配电能的目的。 两个要素：电气元件及其连接方式电气元件及其连接方式。元件特性约束元件特性约束欧姆定律欧姆定律网络拓扑约束网络拓扑约束基尔霍夫定律基尔霍夫定律基尔霍夫电流定律（基尔霍夫电流定律（KCLKCL）基尔霍夫电压定律（基尔霍夫电压定律（KVLKVL）kkkVz I0kk lV0kkjI1.1 基础知识：电力网络的描述方法2 电力网络的描述方法电力网络的描述方法基于基尔霍夫电流定律：节点电压方程基于基尔霍夫电
3、压定律：回路电流方程用节点电压方程描述电力用节点电压方程描述电力网络的一个例子网络的一个例子按节点电压整理后得到：n左式中，左端是由各节点流出的电流，右端是向各节点注入的电流。n左式可以表示为规范的形式 4215316 114233241225332351314212532000 y VVy VVy Vy VVy VVy VVy VVy VVy VVy VViy VVi()()()()()()()()()()456142534 1134233145 1322353251214123252000 yyy Vy Vy Vy Vyyy Vy VyVy Vy Vyyy Vy VyVyVIy Vy VI
4、()()()以基尔霍夫电流定律列出节点方程：前述式子表示为规范形式如下 ：可以看出，其中的元素如下：n左式中，即为相应节点间的自导纳及互导纳。其余节点间互导纳为零。11 1122133144155121 1222233244255231 1322333344355341 1422433444455451 15225335445555Y VY VY VY VY VIY VY VY VY VY VIY VY VY VY VY VIY VY VY VY VY VIY VY VY VY VY VI114562213433235441552YyyyYyyyYyyyYyYy1221413315233232
5、442135532YYyYYyYYyYYyYYy 45614253411342331451322353251214123252000 yyy Vy Vy Vy Vyyy Vy VyVy Vy Vyyy Vy VyVyVIy Vy VI()()()n上式为电力网络的节点方程节点方程。n在求出节点电压后，就可以求出各支路电流，从而使网络变量得以求解。n节点方程反映了各节点电压与注入电流间的关系。在此例中，除节点4、5外，其余节点注入电流均为0。11 1122133144155121 1222233244255231 1322333344355341 1422433444455451 1522533
6、5445555Y VY VY VY VY VIY VY VY VY VY VIY VY VY VY VY VIY VY VY VY VY VIY VY VY VY VY VI重写规范形式如下 ：一般情况下，如果电力网络有n个节点，则有节点方程：式中：式中：nY是导纳矩阵，对角元是节点i的自导纳，非对角元是节点间的互导纳。1122 , nnIVIVIVIV111212122212nnnnnnYYYYYYYYYYn分别是节点注入电流列向量及节点电压列向量YVI 1.1 基础知识：电力网络的关联矩阵描述例如，对上例所示的网络接线图，其节点-支路关联矩A为 对于N+1个节点b条支路的图，定义一个矩阵(
7、行号对应节点号，列号对应支路号),矩阵中第i行第j列元素定义为 不直接相联。与节点当支路，联入；向节点，当支路联出；从节点当支路ijijijaij01, 1节点支路关联矩阵节点支路关联矩阵0000100000010101-1-0001101-11-1-000A支路：支路：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6节点节点节点节点节点大地作为参考节点A节点关联矩阵网络拓扑结构对上图的节点，列KCL方程并写成矩阵形式为000000000100000010101-1-0001101-11-1-000654321iiiiii此方程组的系数矩阵就是该图的关联矩阵推广到一般情况：推广到一般情况：将将b
8、b个支路电流写成支路电流向量，则基尔个支路电流写成支路电流向量，则基尔霍夫电流定律的关联矩阵形式为霍夫电流定律的关联矩阵形式为 KCL KCL的关联矩阵形式的关联矩阵形式0bAI A KVL KVL的关联矩阵形式的关联矩阵形式此方程的系数矩阵等于图的关联矩阵 的转置选上图为例，用节点电压之差表示支路电压，并写成矩阵形式： 推广到一般情况：推广到一般情况：设网络有设网络有b b条支路，条支路，n n个节点，第个节点，第n n号节点为号节点为参考节点，支路电压和节点电压向量分别记作参考节点，支路电压和节点电压向量分别记作： 则节点电压与支路电压的关系即KVL：T21buuuUT1,21nnnnuu
9、unUUUAnT54321654321000010010100011001101010001010uuuuuuuuuuunnnnnnA第k条广义支路的方程可以表示成 (k=1,b)b条支路的支路方程矩阵形式是(省略了复变量s)： 简写为 )(sUsk)(sIsk)(sIk)(sZk)(sUk)(),(sIsUkk)a ()b()()()()()()()()()()(sUsIsZsIsZsUsIsIsZsUSkSkkkkSkSkkkkSbSSSbSSbbbbUUUIIIZZZIIIZZZUUUOO212121212121000000000000SSUZIZIU 如何表示支路特性约束如何表示支路特
10、性约束欧姆定律欧姆定律2022-5-9高等电力网络分析18diag21bYYYYT21SSbSSUUUUT21SSbSSIIIIdiagZ21bZZ Z其中U U 、I I-支路电压向量与支路电流向量-支路源电压与支路源电流量-支路阻抗矩阵与支路导纳矩阵若矩阵Z Z存在逆矩阵 ，令 并乘在 两端，得 1Z1 ZYSSUZIZIUSSIYUYUI2022-5-9高等电力网络分析19令 (称节点导纳矩阵)节点电压方程简化为AIAI0 0移项后得 节点电压方程SSIYUYUI0 0)(SSIYUYUAAI UUAnT0 0 SSnTAIAYUUAYASSnAIAYUUAYA TSSSnAIAYUI
11、TAYAY nSnnnIUY 矩阵A反映了网络的拓扑约束，Y反映了网络的支路特性约束，所以节点导纳矩阵集中了网络两种约束的全部信息。边界条件 如何表示整个网络如何表示整个网络节点电压方程节点电压方程2022-5-9高等电力网络分析20nsnnUIZ 若网络参数用阻抗形式表示，则节点网络方程有如下形式：1nnZY2022-5-9高等电力网络分析21 关联矢量的引入关联矢量的引入0110TkM 1ijN一般串联支路010TkM 1iNTkkkkkNM IM y M V11()bbTkkNkkkNNkkM IIM y MVYV2022-5-9高等电力网络分析22广义关联矢量和变压器/移相器支路的数学
12、描述1100TkijMtt1ijNTkkkkkNM IM y M V 1.2 节点导纳矩阵：物理意义 节点导纳阵反映了电力网络的参数及接线情况 节点导纳阵 节点电压方程 的推导过程SnnnIUY TAYAY n1.2 节点导纳矩阵：物理意义 由导纳矩阵所构成的节点方程式是电力网络广泛应用的一种数学模型。111 112211221 1222221 1221 122 .iinniinniiiiiiinnnnnniinIY VY VY VY VIY VY VY VY VIY VY VY VY VIY VY VY VYnnVSnnnIUY n节点导纳物理意义：节点导纳物理意义：n如果在节点i加一单位电
13、压，而把其余节点全部接地10 1 2 .(, , ,)ijVVjnji则上述节点方程式成为11 1122121 122221 1221 1122212YYYYYY YYY Y Y YYYYYnnnniiiniiiiinniinnniniiVVVIIVVVVVVVVVVVIIV.nnVn节点自导纳Yii 节点i加单位电压，其它节点接地时，节点i向电网注入的电流。n节点互导纳Yji节点i加单位电压，其它节点接地时，节点j向电网注入的电流。n特点：n当不含移相器时，导纳阵为对称矩阵n导纳矩阵为稀疏矩阵n出线数24条，每行非对角元中仅有24个非零元n例如，节点数分别10，1000的两个网络，平均出线为
14、3n前者非零元40个，占总数40。n后者非零元4000个，占总数0.4。n计算时充分利用对称及稀疏性1.2 节点导纳矩阵：导纳矩阵的特点1.2 节点导纳矩阵：导纳矩阵的形成1.1.矩阵计算形成：节点矩阵计算形成：节点- -支路关联矩阵支路关联矩阵节点导纳矩阵：TAYAY n矩阵A为节点-支路关联矩阵，Y为支路原始导纳阵。例：有以下三节点网络n导纳矩阵有如下形式，现考虑如何求其中各元素111213212223313233YYYYYYYYYY1.2 节点导纳矩阵：导纳矩阵的形成2.2.按支路逐条形成：关联矢量按支路逐条形成：关联矢量 从图中可以看出：112131011121310212211231
15、331131111 1IIIIYzzzIIYzIIYz n形成导纳阵第一列元素 Y11，Y21，Y31。应在节点1加单位电压，节点2、3接地。 从图中可以看出：1211212221221233211 0IIYzIIYzIY n形成导纳阵第二列元素 Y12，Y22，Y32。应在节点2加单位电压，节点1、3接地。 从图中可以看出：n形成导纳阵第三列元素 Y13，Y23，Y33。应在节点3加单位电压，节点1、2接地。131131322333133131 01IIYzIYIIYz n最后，得到该网络的导纳矩阵12101312131212131311111110110zzzzzYzzzz推广到一般情况：
16、 Y 1 2ikkiVIin(, , )nk=i时，上式说明，当网络中除节点i以外所有节点都接地时，从节点i注入网络的电流同施加于节点i的电压之比，即节点自导纳Yii。节点i加单位电压，其它节点接地时，节点i向电网注入的电流。n自导纳Yii是节点i以外的所有节点都接地时节点i对地的总导纳。显然，应等于与节点i相接的各支路导纳之和。0 0 ( =1,2,)kjVVjn jk.,得0YjiikkVj kIV,则令nki时，上式说明，当网络中除节点k以外所有节点都接地时，从节点i注入网络的电流同施加于节点k的电压之比，即节点互导纳Yik。节点k加单位电压，其它节点接地时，节点i向电网注入的电流。n此
17、时节点i的电流实际上是自网络流出并进入地中的电流，所以互导纳Yik应等于节点i，k间的支路导纳的负值。0YjiikkVj kIV,TllbllMyMY1Y以地为参考点的节点导纳矩阵ANxb阶节点支路关联矩阵MlA的第l个列矢量按支路扫描，累加每条支路对导纳矩阵的贡献，最后就得到Y矩阵。对互感支路，应将互感支路组成一组，共同考虑它们对节点导纳矩阵的贡献。TkkkTlmkTkmlTlllTklkmmlklMyMMyMMyMMyMMMyyyyMM1.2 节点导纳矩阵：导纳矩阵的形成按支路逐条形成：关联矢量按支路逐条形成：关联矢量kmkmmlmlkmkmmlmlyyyyyyyyyyyyyyyy= i
18、p j q 1、支路的移去和添加TlllMyMYY2、节点合并pqPppqppqVVVIII 导纳矩阵中相应的行列相加，网络方程降低一阶1.2 节点导纳矩阵：导纳矩阵的修正3、节点消去pnpnppTppnIIVVYYYYppppnnTppppnIYYIVYYYY11)(TppppnYYYYY1消去节点p，只需对Y阵中和p有支路相连的节点之间的元素进行修正，其他节点之间的元素不需要修正。4、节点电压给定的情况snsnssTssnIIVVYYYY展开得：sssnTssssnnnVYVYIVYIVY5、变压器变比发生变化的情况 自己思考（略）6、一条支路导纳参数发生变化的情况 自己思考（略）7、移去
19、和添加带互感支路的情况添加一条和原网络中支路k有互感的连支支路l时，可分两步进行修正：1）将支路k移出；2）将支路l和k成组追加进去。TTlllkklkklkTkkklkMMyyyyMMkMyM1.3 电力网络方程求解方法：高斯消去法常用方法有高斯消去法和因子表法常用方法有高斯消去法和因子表法1高斯消去法设有n阶线性方程组a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2 . (1)an1x1+an2x2+annxn=bn 或缩记为： AX=B (2)nnnnnnaaaaaaaaa212222111211Anbbb21B12112222211111211nnnnn
20、nnnnnaaaaaaaaaaaaA增广A阵求解的具体步骤如下：求解的具体步骤如下：第一步：按列消去。消去第1列第1行规格化： 1, 3 , 2,111)1(1njaaajj得)1(1, 1)1(13)1(121naaa 消去第1列下三角元素：ninjaaaajiijij, 3 , 2, 1, 3 , 2,)1 (11)1 (则 变成一般地，消去第k列：A1A)1(1,)1()1(2)1(1, 2)1(2)1(22)1(1, 1)1(11121001nnnnnnnnnaaaaaaaaa）（A第k行规格化： 1, 1,)1()1()(nkjaaakkkkkjkkj 消去第k列下三角元素：nkin
21、kjaaaakkjkikkijkij, 1, 1, 1,)()1()1()(则 变成最后可得： 1kAkA)(1,)(1,)2(1, 2)2(2)1(1, 1)1(1)1(1210101knnknknknkkaaaaaaaOOA)(1,)3(1, 3)3(, 3)2(1, 2)2(, 2)2(23)1(1, 1)1(, 1)1(13)1(121111nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaOA 写成方程组形式：)(1,)3(1, 33(33)2(1, 2)2(23)2(232)1(1, 1)1(13)1(132)1(121.).nnnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxax
22、BAX 它与原方程 同解第二步：按行回代第n行 )(1,nnnnax将结果代入第n-1行，得nnnnnnnnxaax)1(, 1)1(1, 11一般地，将 代入第i个方程，得11,innxxx1 , 1,1)()(1,nnixaaxnijjiijinii例：按列消元按行回代的高斯消去法例：按列消元按行回代的高斯消去法由原方程写出增广矩阵第1列规格化第1列消去第2列规格化第2列消去第3列规格化第3列消去第4列规格化原方程改写成：回代：设有n阶线性方程组a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2 . (1)an1x1+an2x2+annxn=bnnnnnnna
23、aaaaaaaa212222111211Anbbb21B或缩记为：AX=B (2)在实际计算中，经常遇到这种情况：对于方程组需要多次求解，每次仅改变其常数项B，而系数矩阵A是不变的。这时，为了提高计算速度，可以利用因子表求解。1.3 电力网络方程求解方法：因子表法因子表法的基本概念因子表法的基本概念因子表可以理解为高斯消去法解线性方程组的过程中对常数项B全部运算的一种记录表格。高斯消去法分为消去过程和回代过程。回代过程的运算由对系数矩阵进行消去运算后得到的上三角矩阵元素确定，公式：1 , 1,1)()(1,nnixaaxnijjiijinii为了对常数项进行消去运算（又叫前代过程），还必须记录
24、消去过程运算所需要的运算因子。消去过程中的运算又分为规格化运算和消去运算，以按列消去过程为例，公式：规格化： （i=1,2,n）将上式中的运算因子 及 逐行放在下三角部分，和消去过程得到的上三角矩阵元素合在一起，就得到了因子表。)1()1()(iiiiiiiabb消去： )()1()1()(kkkikkikibabb(k=1,2,i-1) )2(1,)1(21,.,iiiiiaaa)1( iiia )1()3(4)2(3)1(21)4(4)3(44)2(43)1(4241)3(3)3(34)2(33)1(3231)2(2)2(24)2(23)1(2221)1(1)1(14)1(13)1(121
25、1.nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnndlllludllluudlluuudluuuud.4321444434241334333231224232221114131211)1( iiiiiad)(iijijau )1( iijijal（ij） (ji) 因子表中下三角部分的元素就是系数矩阵在消去过程中曾用以进行运算的元素，因此只要把它们保留在原来的位置，并把对角元素取倒数就可以得到因子表的下三角部分。而因子表中上三角部分的元素就是系数矩阵在消去过程完成后的结果。111111211222112121212222111211OOOnnnnn
26、nnnnnnnuuudddlllaaaaaaaaaLDUA下三角上三角阵对角阵记 即 LDL iiiidl LUA 则因子分解迭代格式：kjulalkiulalupjjpkpkjkjpkipipikiiik, 2 , 11, 2 , 111111iiiiiidbb/)1()()()1()(kkikkikiblbb)(nnnbx nijjjiiiixubx1)(n用因子表法求解线性方程组对于方程组，需要多次求解，每次仅改变其常数项B而系数矩阵A是不变的情况，应首先对其系数矩阵A进行消去运算，形成因子表。有了因子表，就可以对不同的常数项B求解。这时，可以直接应用因子表中的元素。消去 （i=k+1,
27、n）回代例：用因子表法求解下述方程组例：用因子表法求解下述方程组解：对照前例，形成因子表0212124131214321xxxxxxxxxx解方程消去第1列：规格化：消去：得消去第2列：规格化：消去：得得消去第3列： 消去第4列： 得：原方程变为：逐行回代，得：1、由于电力网络结构的特点，每个节点仅与35个节点相连，因此描述网络结构的矩阵是稀疏矩阵。 n*m的矩阵，非零元个，稀疏度等于/ n*m 如果系统有N=500个节点，平均每个节点与5条支路相连，则 稀疏度=5*500/（500*500）=1%2、计算中，我们仅关心一部分的变量：稀疏矢量。3、与稀疏矩阵和稀疏矢量相关的运算中，零元素不参与
28、存储和计算排零存储排零存储和排零计算排零计算1.4 电力网络求解的稀疏技术：引入原因特点特点：排零存储，即只存储其中的非零元和有关的检索信息。要求：节省内存方便地检索和存取考虑网络结构变化时能方便地对存储的信息加以修改稀疏矢量：存储矢量中的非零元值和相应的下标稀疏矩阵：考虑稀疏结构和所采用的算法1.4 电力网络求解的稀疏技术：稀疏存储44434233232221141211000000aaaaaaaaaaAVAa11a12a14a21a22a23a33a42a43a44IA1112223444JA1241233234散居格式a1313 常用存储方式常用存储方式散居格式按行（列）存储格式三角检索
29、存储格式链表存储格式例：VAa11a12a14a21a22a23a33a42a43a44JA1241233234IA1478按行存储格式VAa11a12a13a14a21a22a23a33a42a43a44JA12341233234IA1589修改后三角检索存储格式Ua12a14a23JU243IU1344La21a42a43IL244JL1234Da11a22a33a44Ua12a13a14a23JU2343IU1455La21a42a43IL244JL1234Da11a22a33a44修改后链表存储格式VAa11a12a14a21a22a23a33a42a43a44JA1241233234
30、LINK23056009100IA1478VAa11a12a14a21a22a23a33a42a43a44a13JA12412332343LINK2110560091003IA1478修改后小结小结存储单元检索修改散居格式3工作量大易按行存储格式 2+n按行检索难三角检索存储格式2+n按行（列）检索难链表格式3+n按行检索易1、稀疏矩阵的因子分解、稀疏矩阵的因子分解loopendloopendloopendaaaanpiLoopaaanpjLoopnpLooppjipijijpppjpj, 1/, 11, 1loopendloopendifendloopendifendaaaathenaifn
31、piLoopaaathenaifnpjLoopnpLooppjipijijippppjpjpj0, 1/0, 11, 1采用高斯消去法进行计算1）按行规格化2）消去运算1.4 电力网络求解的稀疏技术：排零计算loopendloopendloopendlLkUaapILipJLpJLlLoopkJUjpDkUkUpIUpIUkLoopnpLoopijij)()()(1) 1(,),()()(/ )()(1) 1(,),(1, 1决定其位置由决定其位置由jiqjiqLjiqjiqUjiiDaij,)(,)()(采用三角检索存储格式时例6020050000453072AU7-3JU24IU1333L
32、5-2IL24JL1233D24561p2 , 1k25 . 32/7) 1 (jU1l5 .135 . 354) 1 () 1 ()2(2222LUaaD2i时1k时2k45 . 12/3)2(jU1l2i5 . 75 . 150) 1 () 3() 3(U2424）（LUaa602005005 . 705 .1355 . 105 . 32A2pU3.5-1.57.5JU244IU1344L5-2IL24JL1233D2-13.556889. 40200500555. 005 .1355 . 105 . 32AU3.5-1.5-0.555JU244IU1344L5-2IL24JL1233D2
33、-13.554.889889. 40200500555. 005 .1355 . 105 . 32AU3.5-1.5-0.555JU244IU1344L5-2IL24JL1233D2-13.554.8893p889. 40205005 .1352L101555. 0015 . 105 . 31U2 2、利用稀疏矩阵因子表求解稀疏线性代数方程组、利用稀疏矩阵因子表求解稀疏线性代数方程组yUxzDybLzbxLDUbAx)(1）前代过程11niiizlbzLbznnnnnzzzlllbbbzzzO212121212100011,11212121000nnnnnnzlzllbbbzzz计算流程loo
34、pendloopendzlzznijLoopniLoopbzijijj, 11, 1loopendifendloopendifendzlzzthenlifnijLoopthenzifniLoopbzijijjjii0, 101, 1loopendloopendlLizzzkJUjiJLiJLlLoopniLoopbzjj)()()(1) 1(,),(1, 1除法运算nidzyiiii, 2 , 1/回代运算njjjxuyxUyx2nnnnnxxxuuuyyyxxxO21, 2, 1122121000nnnnnnxuuxuyyyxxx000, 1, 12122121计算流程loopendloop
35、endxuxxjiLoopnjLoopyxjijii1 , 12 ,loopendifendloopendifendxuxxthenuifjiLoopthenxifnjLoopyxjijiiijj01 , 102 ,采用三角检索存储格式时采用按列存储格式Uu12u24u34u15u25u45IU123124JU12247loopendloopendxkUxxkIUijJUjJUkLoopnjLoopyxjii)()() 1(, 1)(2 ,2121142422434335151152522545442345xuxxjjxuxxxuxxjxuxxxuxxxuxxj跳过例111333. 0667.
36、 015 . 005 . 012333. 15 . 1211333. 05 . 01667. 0015 . 01LDUAU3.5-1.5-0.555IU244IU1344L5-2IL24JL1233D2-13.554.889A图有向A图赋权有向A图A图：和矩阵A有相同拓扑结构的网络图有向A图：对给定A图及节点编号，规定边的正方向由小号节点指向大号节点赋权有向A图：在有向A图中，将A的非对角非零元的值赋给互边，将A的对角元素的值赋给自边1 1、基本定义和术语、基本定义和术语1.4 电力网络求解的稀疏技术：基于图论因子图有向因子图赋权有向因子图因子图：和因子表矩阵U有相同拓扑结构的网络图有向因子图
37、：在因子图上规定边的正方向由小号节点指向大号节点形成赋权有向因子图：在有向因子图中，将U的非对角非零元的值赋给互边，将对角线矩阵D的元素的值赋给自边loopendloopendifendloopendifendaaaathenaifnpiLoopaaathenaifnpjLoopnpLooppjipijijippppjpjpj0, 1/0, 11, 1规格化在赋权有向A图上，相当于对于节点p发出的所有互边的边权加以修正，新的边权等于原边权除以节点p的自边边权。消去运算对角元修正：在赋权有向A图上，就是对节点p发出的边的收点上的自边边权进行修正。piaaaapppiiiii2非对角元修正：在赋权
38、有向A图上，就是对节点p发出的边的中任取两边，其收点所夹的边的边权应减少的数量是p点发出的两条边的边权与p点自边边权的乘积。pjiaaaaapjppipijij,pjaaapppjpj/2 2、因子分解过程的图论描述、因子分解过程的图论描述算法流程在赋权有向A图上按节点号由小到大的顺序（例如对节点p）执行下面的操作：（1）对节点p发出的互边将其边权除以节点p的自边边权；（2）对节点p发出的互边的收点，将该点上的自边边权减去该互边边权平方乘以节点p的自边边权；（3）对节点p发出的所有互边，这些互边两两之间所夹得互边边权应减去两条相夹边边权与节点p的自边边权三者乘积。操作前被节点对之间无边的情况应
39、视为有一条零权值边。例2-1-1-12-1-12-1-1-145 . 02/1/5 . 02/1/111414111212aaaaaa节点1规格化消去5 . 02)5 . 0()5 . 0(05 . 32)5 . 0(245 . 12)5 . 0(2111412242421121244442112122222aaaaaaaaaaaaa节点2333. 05 . 1/5 . 0/667. 05 . 1/1/222424222323aaaaaa规格化消去333. 15 . 1)333. 0()667. 0(1333. 35 . 1)333. 0(5 . 3333. 15 . 1)667. 0(222
40、2423343422222444442222233333aaaaaaaaaaaaa1333. 1/333. 1/333434aaa节点3规格化消去2333. 1) 1(333. 32332344444aaaa111333. 0667. 015 . 005 . 012333. 15 . 1211333. 05 . 01667. 0015 . 01DUUAT3 3、前代回代过程的图论描述、前代回代过程的图论描述计算流程（1）将独立矢量b的非零元赋值为赋权有向因子图上的点位e；（2）扫描i从1到n-1，从公式ijjieueeiijjj,修正节点i发出的边的收端节点j的点位（3）对所有节点，用公式ii
41、iidee/对点位规格化 （4）扫描j从n到2，对所有指向节点j的边的发端节点i，用公式jijieueejijii,修正其点位例：在下面的赋权有向因子图上进行前代和回代。已知独立矢量为：Tb0010赋权有向因子图和独立矢量点位前代点位点位1：为零不用计算点位点位2：333. 01)333. 0(0667. 01)667. 0(02244422333eueeeuee点位点位3：1667. 0) 1(333. 033444euee规格化5 . 02/1/5 . 0333. 1/667. 0/667. 05 . 1/1/444433332222deedeedee回代5 . 05 . 0)5 . 0(
42、0834. 05 . 0)333. 0(667. 015 . 0) 1(5 . 0414114242243433eueeeueeeuee节点4节点35 . 11)667. 0(834. 032322euee节点215 . 1)25. 0(25. 021211eueeTx5 . 015 . 11结果结果已知：对称矩阵A的互边的边数是b，自边的边数是n，有向因子图上的互边边数是 。 消去运算的乘法次数：112nppK22)(2ppKpKKCKp节点p发出的边有pK条，则乘法次数总乘法次数为 规格化中的乘法次数：总乘法次数1122nppK1.4 电力网络求解的稀疏技术：计算代价分析相关概念相关概念稀
43、疏独立矢量，一个给定的只有少量非零元的独立矢量。稀疏解矢量，一个只有少数元素待求的解矢量，其余元素我们不关心道路树，在有向因子图上，从每个节点发出的边中取收点号最小的边作为树边，这样得到的道路树。点的路，在道路树上该点沿道路树到树根所经过的路径，它是道路树的一个子集。点集的路集，是该点集中所有点的路的并集。1.4 电力网络求解的稀疏技术：稀疏矢量技术一个例子一个例子(a)有向因子图(b)道路树(c) 点1的路(d)点集1，4，8的路集定理1 ：在有向因子图上，前代运算只在稀疏矢量中非零元点集的路集上进行定理2： 路集上任一点的前代运算必须在路集上比该点编号小且其道路经过该点的点的前代完成之后才
44、能进行，而路集中分支点以下的几点路先做哪个没有关系。定理3： 在有向因子图上，回代运算只在稀疏解矢量中待解元素的点集的路集上进行定理4 ：路集上任一点的回代运算必须在路集上比该点编号大且其道路经过该点的点的回代完成之后才能进行，而路集中分支点以上的几点路先做哪个没有关系。道路集的形成道路集的形成例1，按行存储，上三角矩阵中该行第一个非零元的列号12345678910Uu17u1,12u25u29u36u39u47u4,10u59u5,12JU7125969710912IU1357911131517191112131415161718192021Uu69u6,10u7,10u7,12u89u8,
45、11u9,10u9,12u10,11u10,12u11,12JU91010129111012111212IU2122loopendpIUJUpPpputrootispuntilLoop)(into 寻找节点p的道路 寻找点集的路集点集G中点的路集PloopendloopendpIUJUpPpputrootispuntilLoopGfrompgeiemptyisGuntilLoop)(into 计算代价分析计算代价分析不 用 稀 疏 矢量法稀疏矢量法前代运算F(PF个节点发出的边数）除法nPF(b中非零元点集的路集中的节点数)回代运算B (x中非零元点集的路集中的节点发出的边数)总计2 +nF+
46、PF+ B1、注入元素的多少与消去节点的顺序或节点编号有关1.4 电力网络求解的稀疏技术：节点优化编号所谓节点优化编号，就是寻找一种使注入元素数目最少的节点编号方式。2、三类节点编号优化方法 静态按最少出线支路数编号静态优化法编号之前，首先统计电力网络各节点的出线支路数，然后按出线支路数少的节点顺序编号，当有n个节点的出线支路数相同时，则可以按任意次序对这n个节点编号。依据：在导纳矩阵中，出线支路数最少的节点所对应得行中非零元素也最少，因此在消去过程中产生注入元素的可能性也最小。缺点：未考虑节点消去过程中，每消去一个节点，与该节点相连的各节点的出线支路数将发生变化。 动态地按最少出线支路数编号
47、半动态优化法针对静态优化法的缺点，在每消去一个节点后，立即修正尚未编号节点的出线支路数，然后选其中出线支路数最少的一个节点进行编号。缺点：只能使消去过程中出现新支路的可能性减少，但并不一定保证在消去这些节点时出现的新支路最少。 动态按增加出线数最少编号动态优化法针对上述缺点，采用按消去节点后增加出线数最少的原则编号。具体做法：首先，根据星网变换原理，按下式分别统计消去网络节点时增加的出线数，选其中增加出线数最少的被消节点编为第1节点。kJ如果与节点k相连的节点数为 ，则网形网络的支路数为 ，原有支路数为 ，则新增支路数1(1)2kkJJ kD1(1)2kkkkbJJD从网络消去该节点，相应修改
48、其余节点的出线数目。然后重复以上过程，一直到编完为止。缺点：工作量大 。例： 静态优化法统计各节点出线支路数节点ABCDEFGH出线数11322231F点总是编在C和G之前，故CG两点之间出现新支路难以避免。 半动态优化法节点ABCDEFGH被 编 节点节点号各节点出线数的变化情况(1)111(1)3332222(1)22(1)2(1)222222(1)33332(1)1111(1)AEDBHGFC12345678没有出现新支路。结论：结论：对于树形网络来说，半动态优化法永远只编出线为1的节点，因此这种任意性不会影响优化结果。 动态优化法被消节点ABCDEFGH出现新出线数00311130A:
49、1被消节点BCDEFGH出现新出线数0310130重复。工作量比半动态优化法大得多，但对于树形网络，效果和半动态优化一样。E:2推广：推广：网络类型静态半动态动态树形可能出现新支路无新支路无新支路简单环网（m边形）m-3新支路复杂环网无明确的一般性结论小小 结结1、稀疏技术包括稀疏矩阵技术和稀疏矢量技术，是电网计算中使用最为广泛的计算技术。2、稀疏技术的关键在于排零存储和排零计算。稀疏矩阵技术充分开发网络矩阵的稀疏结构，减少和稀疏矩阵有关的计算量。稀疏矢量技术充分开发矢量的稀疏性，在前代回代计算中只进行和稀疏矢量中非零元有关的计算，省略了不必要的计算，以进一步提高求解网络方程的计算速度。3、稀
50、疏矩阵技术和稀疏矢量技术可用图的方法来描述。赋权有向A图包含了矩阵A的所有信息，赋权有向因子图包含了矩阵A的因子表矩阵的所有信息。图上因子分解形象说明了稀疏矩阵技术中排零存储和排零计算的实质。4、节点优化编号对稀疏技术性能的提高至关重要。半动态节点优化编号简单有效，得到最为广泛的应用，可大大减少因子分解过程中注入元的数量。在对大规模互联电力系统进行统一分析时，分块计算是一种提高计算速度的有效处理手段。电力系统本身所具有的分层分区结构也特别适合分块计算的应用。根据协调变量的不同，网络分块计算主要分为两类：支路切割法支路切割法：通过切割原网络中的某些支路把原网络分解；节点撕裂法节点撕裂法：将原网络
