1、四、函数的连续性1.函数的增量.x,xxx),x(Ox,)x(O)x( f0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数 .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy (一)、连续的定义2.连续的定义.x)x(f),x(f)x(flim ,DxD,f(x)y 9 . 200 xx00连连续续在在则则称称若若的的定定义义域域为为设设函函数数定定义义 .)x( fx0的连续点的连续点称为称为:A)x( flim0 xx定义的区别在于定义的区别在于与与
2、.x)x( f )1(:A)x( flim0 xx0可以无定义可以无定义在在 )x( fA)x( fA)2(00 或或,xxx0 设设),()(0 xfxfy , 0 xxx0 就是就是. 0y)x( f)x( f0 就是就是0ylim )x( f)x( flim9 . 20 x0 xx0 可写成可写成中中定义定义.x)x(f, 0ylim ,DxD,f(x)y :9 . 200 x0连连续续在在则则称称若若的的定定义义域域为为设设函函数数可可写写成成定定义义 201yxxx例： 证明在处连续22000020020limlimlim2() 0 xxxyxxxxxxyxxx证明：在处连续例1.0
3、, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义2.9知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 3.单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 性质2.14)x( f)0 x( f)0 x( fx)x( f0000 处连续处连续在在函数函数.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 例2.0, 0, 2,
4、 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf4.连续函数与连续区间:b, a)x( f上连续上连续在闭区间在闭区间连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.若f(x)在定义域内连续,则称f(x)为连续函数.定理2.3: 基本初等函数在定义域内都是连续的.f(x)在(a,b)内连续:连续连续在在00 x)x( f),b, a(x 连续连续在在)b, a()x( f )1()a( f)x( fl
5、im )2(ax )b( f)x( flim )3(bx (二)、函数的间断点及类型:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()().()(lim)3()(lim)2(.,)() 1 (,)(:00000000或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称存在但不等于不存在无定义但在的去心邻域内有定义在处满足下面三条件之一在设定义xfxxxfxfxfxfxxxfxxfyxxxx._,_)1x)(2x(4x2)x(xf
6、(x) 32间断点为间断点为个个的间断点个数为的间断点个数为例例 1x=2例4.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxfoxy.)(,)(00的第一类间断点的第一类间断点为函数为函数则称点则称点在在存存处的左、右极限都处的左、右极限都在点在点如果如果xfxxxf1.第一类间断点1)跳跃间断点)0()0(00 xfxf2)可去间断点.)x( fxx)x( f )2( ),x( fA)1(,A)x( flim000 xx0的可去间断点的可去间断点为函数为函数则称点则称点处无定义处无定义在点在点或或但但 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可
7、使其变为连续点.例5的连续性的连续性在在讨论函数讨论函数1x, 1x, x11x, 1x0, 1,x2)x( f oxy112xy 1xy2 2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy1122.第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解oxy, 0)00( f
8、,)00( f.0为函数的第二类间断点x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间例7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.点这种情况称为振荡间断注意 不要以为函数的间断点只能是个别的几个点. , 0, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDy狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。 , 1, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxf在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值
9、处处连续.12/16例8.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解xcoslim)00( f0 x , 1 )xa(lim)00( f0 x , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a(三)、连续函数的性质.x)0)x(g()x(g)x( f),x(g)x( f),x(g)x( f,x)x(g),x( f000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数 .x)x( f),x(f),0)x( f ( )x( f1:02连续连
10、续在在可得可得 例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy结论: 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.)x()x( f)x( flim00 xx0定义区间定义区间故有故有 .x)x(g f,)x(gu)u( f,xg(x) 0000连续连续在在则则点连续点连续在在点连续点连续在在若若 复合函数的连续性(四)、闭区间上连续函数的性质定理1 (有界性定理)设f(x)在a,b上连续,则f(x) 在a,b上有界.)b, a(),b, ab, a(b, a:结论未必成立结论未必
11、成立或或改成改成若若注意注意1 , 0(x1y:在在如如 连续但无界例如, 2max y,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 定义:定理2 (最大、最小值定理)设f(x)在a,b上连续,则f(x) 在a,b上可取到最大值,最小值.)( f)x( fminm, )( f)x( fmaxM,2b,ax21b,ax1 即即ab2 1 xyo)(xfy
12、注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.Th3 (介值定理)c)x( f,b, ax,M,mc,m,M,b, a)x( f00 使使一定一定则则最小值最小值分别为其最大分别为其最大连续连续在在设设MCmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 几何解释:定义:.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 推论(
13、零点存在定理)0)x( f),b, a(x, 0)b( f)a( f ,b, a)x( f00 使使则则连续连续在在设设ab3 2 1 几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 注意(1) 若f(x)在a,b上单调,则只有唯一零点.ab1 xyo)(xfy (2)若a,b改为(a,b)结论未必成立. 2x 12x1 x 1x 1)x( f:如如在(1,2)连续,但Th2.6不成立.xyo)(xfy 211-1例1.)1 , 1(x22x内必有实根内必有实根在区间在区间证
14、明方程证明方程 证,x2)x( f2x 令令,1 , 1)x( f上连续上连续在在则则 , 021)1( f 又又, 01)1( f 由零点定理,使使),1 , 1( , 0)( f.)1 , 1(x22x内必有实根内必有实根在区间在区间方程方程 例2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即000)(),1 , 0(:0,1,x1,f(x)
15、0,0,1f(x) 3xxfx使证且满足连续在设例x)x( f)x(F 令令证:在0,1连续,01-f(1)F(1)0,f(0)F(0) 由零点定理使使),1 , 0(x0 000 x)f(x , 0)x(F 即即(五)、 小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.求极限的又一种方法.反函数的连续性.四个定理有界性定理;最
16、值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1闭区间； 2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立思考题下述命题是否正确？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.思考题解答不正确.例函数 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(内连续内连续,. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(内内无无零零点点.一、一、 证明方程证明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一个正根，并且它不超过少有一个正根，并且它不超过ba . . 二、二、 若若)(xf在在
17、,ba上连续，上连续， bxxxan 21 则在则在,1nxx上必有上必有 ，使，使 nxfxfxfxfn)(.)()()(21 . . 练 习 题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？但反之不成立.例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续一、一、 填空题：填空题：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点 . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点类间断点 . .二、二、 研究函数研究函数 1, 11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的连续性，并画出函数 的图形的图形 . .练 习 题练习题答案
