1、. 5.3 双曲线双曲线.第一节第一节 双曲线的双曲线的 标准方程标准方程.1.1.椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a ( 2a2c0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2.2.引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的|MF1|+|MF2|=2a( 2a2c0) 轨迹演示知识回顾. 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距。（1）2a0 ；1.1.双曲线定义双曲
2、线定义思考：思考：（1）若）若2a=2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？（2）若）若2a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？说明说明（3）若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ |MF1| - |MF2| = 2a(2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab.例例1. 已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(
3、5,0)双曲线上双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则，则 (1) a=_ , c =_ , b =_ (2) 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_(3)双曲线上一点，双曲线上一点， |PF1|=10, 则则|PF2|=_354116922yx4或或16| |PF1| - |PF2| | =6例题讲解一、求双曲线的标准方程一、求双曲线的标准方程.1.若椭圆若椭圆 与双曲线与双曲线 的焦点相同的焦点相同,则则 a = ) 0(14222ayax312322yx跟踪练习2. 已知已知P为双曲线为双曲线x2-9y29上一点，上一点，F1，F2为二为二焦点，若焦点
4、，若|PF1|=7，求，求|PF2|。若若|PF1|=5?. 例例2. k 1,则关于则关于x、y的方程的方程(1- k )x2+y2=k2- 1 所表示的曲线是（所表示的曲线是（ ） 解：原方程化为：解：原方程化为：A、焦点在、焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆C、焦点在、焦点在y轴上的椭圆轴上的椭圆B、焦点在、焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线D、焦点在、焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线 k1 k1 k k221 0 1+k 01 0 1+k 0方程的曲线为焦点在方程的曲线为焦点在y y轴上的双曲线。轴上的双曲线。故故 选（选（B）111222kxky. 1. 方程方程 ，讨论方程表示的，讨论方程
5、表示的曲线是什么？曲线是什么？跟踪练习11322mxmy规律：方程规律：方程 表示曲线的条件：表示曲线的条件：122ByAx(1)圆：圆：A=B0(2)椭圆：椭圆：A0,B0,A B，再根据，再根据A,B的大小判断的大小判断焦点的位置。焦点的位置。(3)双曲线：双曲线：AB680|AB|680m m, ,所以爆炸点的所以爆炸点的轨迹是以轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上. . 例例5. 已知已知A,B两地相距两地相距800m,在在A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B地晚地晚2s,且声速为且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程求
6、炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为(x,y)，则，则340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800,0PAPBx 1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca 2 22 22 2. 1. 设点设点A,B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0),(5,0)。直线。直线AM,BM相交于点相交于点M,且它们的斜率之积是且它们的斜率之积是 , 试试求点求点M的轨迹方程。的轨迹方程。49跟踪练
7、习规律：平面内规律：平面内M与两个定点与两个定点A、B斜率之积为定斜率之积为定值值m(1) m0，轨迹为以，轨迹为以A,B为实轴顶点的双曲线为实轴顶点的双曲线(除开除开A,B点点)；(2) m0且且m -1，轨迹为以，轨迹为以A,B为长轴顶点的椭圆为长轴顶点的椭圆(除开除开A,B点点)；(3) m= -1，轨迹为以，轨迹为以AB为直径的圆为直径的圆(除开除开A,B点点)。.2.双曲线双曲线 的实轴两顶点的实轴两顶点A(a,0)和和B(-a,0),PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦。是双曲线的一条垂直于实轴的弦。直线直线AP与与BQ交于交于M，求，求M的轨迹方程。的轨迹方程。思考：若为椭圆呢？思考
8、：若为椭圆呢？222210,0 xyababox xy yAPBQM.二、利用双曲线的定义求轨迹方程二、利用双曲线的定义求轨迹方程 例例1. 圆圆A:(x+3)2+y2=4，B(3,0),动点动点P在圆上，且在圆上，且BP的中垂线交直线的中垂线交直线PA于于M，求，求M的轨迹方程。的轨迹方程。yABMPyABMPxx.1.动圆动圆M与两定圆与两定圆F1：x2y210 x240，F2：x2y210 x240都外切，求动圆圆心都外切，求动圆圆心M的轨迹的轨迹方程方程跟踪练习.三、双曲线的应用三、双曲线的应用.跟踪练习1. P在双曲线在双曲线3x2-4y212上，上，|PF1|:|PF2|=3:1(
9、1)求三角形求三角形PF1F2面积；面积；(2)求点求点P的坐标。的坐标。2.双曲线双曲线x2-y2a2上一点上一点M到原点到原点O距离为距离为d,求求|MF1|.|MF2|的值。的值。.222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a1.【几何意义】【几何意义】 e1,双曲线开口越双曲线开口越狭窄狭窄,e+ ,双曲线开口越双曲线开口越开阔开阔.【变形公式】【变形公式】2222211abeabeace yxoF2F1A1A2B1B2.yxoF2F1A1A2B1B26.6.渐近线渐近线：xaby0byax或记为注：注：(1) (1) 的渐近线为：的渐近线为：yxoF2F1B1B2
10、A1A212222bxayxbay0bxay或记为(2) (2) 与与 的关系：的关系：12222bxay12222byax形状相同，实轴长、虚轴长、焦距、e都相同；渐近线，开口方向，实轴、虚轴、焦点位置不同。abxaby abxbay .(3) (3) 与与 的关系：的关系：12222axby12222byax实轴和虚轴恰好互换（叫共轭双曲线）；渐近线相同，焦距相同，e不同。yxoF2F1A1A2B1B2y12222byax12222axbyab.(4)(4)等轴双曲线：等轴双曲线：)0,1222222yxayax（或2e 时，开口左右； 时，开口上下； 所有等轴双曲线渐近线都是:00 xy
11、(5)(5)双曲线系：双曲线系：与 有共同渐近线的双曲线系：)02222（byax12222byax渐近线为 的双曲线系：渐近线为 的双曲线系：)02222（byax0byax0byax)02222（ybxa.7.7.准线方程准线方程右右准线的方程是准线的方程是左左准线的方程是准线的方程是如图所示如图所示:cax2cax2cax2cax2yxoF2F1A1A2焦准距：cbHFp22|P渐准点：P，有PFL渐Q.cax2cax28.8.双曲线第二定义双曲线第二定义平面内到定点平面内到定点F(C,0)F(C,0)距离与到定直线距离与到定直线L:L:的距离之比为的距离之比为 的点的轨迹是双曲线。的点
12、的轨迹是双曲线。) 1(acecax2dMyxoF2F1A1A2.双曲线中常见的量：双曲线中常见的量：1 1、离心率：、离心率：221abace2 2、通径：、通径：abPQ22|2cot2bS 4 4、焦点三角形、焦点三角形MFMF1 1F F2 2面积：面积：MyxoF2F13 3、双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为定值、双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为定值222cba.标准方程标准方程(a0,b0)(a0,b0)焦距焦距实轴长实轴长虚轴长虚轴长对称性对称性范围范围焦点坐标焦点坐标顶点坐标顶点坐标渐近线方程渐近线方程2c2cF FF F2 21 12a2a2 2b b(c,0)(c,
13、0)(-c,0),(-c,0),a a) )( (0 0, ,( (0 0, ,- -a a) ), ,a ay y 称称关于x、y轴、原点对关于x、y轴、原点对1 1b by ya ax x2 22 22 22 2a ax x ( (a a, ,0 0) )( (- -a a, ,0 0) ), ,1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2c c) )( (0 0, ,( (0 0, ,- -c c) ), ,双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质x xa ab by yx xb ba ay y.例例1.1.求满足下列条件的双曲线的标准方程：求满足下列条件的双曲线的标准方程：
14、（1 1）实轴的长是）实轴的长是1010，虚轴长是，虚轴长是8 8，焦点在，焦点在x x轴上；轴上；（2 2）离心率）离心率 ，经过点，经过点M(M(5 5，3)3)；2e （3 3）实轴长与虚轴长之和等于焦距的）实轴长与虚轴长之和等于焦距的 倍，倍， 一个顶点为一个顶点为(0(0，2)2)；（4 4）经过两点）经过两点 ， 。 2(3, 4 2)A-9(,5)4B例题讲解.例例2.2.求下列双曲线的标准方程：求下列双曲线的标准方程：(1)(1)渐近线方程为渐近线方程为 ，经过点，经过点23yx 9( , 1).2M(2)(2)渐近线方程为渐近线方程为 ，a=2a=2043 yx(3)(3)与
15、与 有共同渐近线，且过点有共同渐近线，且过点116922xy)3, 32(A.跟踪练习1.1.双曲线一条渐近线方程为双曲线一条渐近线方程为2x+3y-5=02x+3y-5=0，求，求离心率。离心率。2.2.双曲线一条渐近线方程为双曲线一条渐近线方程为3x-4y=03x-4y=0，实轴，实轴顶点到其距离为顶点到其距离为4.8,4.8,求标准方程。求标准方程。.例例3.3.设两动点设两动点A A、B B分别在双曲线分别在双曲线的两条渐近线上滑动，且的两条渐近线上滑动，且|AB|AB|2 2，求线段，求线段ABAB的的中点中点M M的轨迹方程的轨迹方程. .2214xy-=ox xy yB BA AM M22414xy+=.1.1.设设F F1 1、F F2 2为双曲线为双曲线的左、右焦点，的左、右焦点，P P为双曲线右支上一点，已知为双曲线右支上一点，已知PFPF2 2xx轴，轴，|PF|PF2 2| |6 6，双曲线的离心率为，双曲线的离心率为 , ,求双曲线的顶点坐标求双曲线的顶点坐标. .22221xyab2（6 6，0 0） ox xy yF F1 1F F2 2P P跟踪练习.2. P为双曲线为双曲线 ，三角形，三角形F1PF2的内切圆圆心为的内切圆圆心为M，求，求M的轨迹方程。的轨迹方程。)0,( 12222babyax
