1、 2022-5-11第二章第二章 群论群论 5 变换群变换群 2022-5-11研究一种代数体系就是要解决这种代数体系研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。抽象地看可以认为是相同的代数体系。 本讲的本讲的凯莱定理凯莱定理将告诉我们，如果将所有变将告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研换群都研究清楚了，也就等于把所有
2、群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。论上知道凯莱定理的重要性。 2022-5-11一、一、集合的变换和变换乘法集合的变换和变换乘法M1 1 变换：设变换：设是一个非空集合，若是一个非空集合，若是是就称就称是是的一个变换的一个变换. .M.:MM 到到上的映射上的映射MMM)(MT)(MS2 2 变换集合：由变换集合：由的全体变换做成的集合的全体变换做成的集合，由，由的全体一一变换做成的全体一一变换做成. .记为记为M的集合记为的集合记为 2022-5-11)(MT)(MS4 4 变换乘法是变换乘法是的代数运算，也是的代数运
3、算，也是的代数运算的代数运算. .)(MT. 5 5 恒等变换恒等变换：， )(,21MTMa )()(2121aa2121,3 3 变换乘法：变换乘法：，规定，规定，称，称为为的乘法的乘法. . 2022-5-11M1:11,21 22 , 21:212 , 21:322 , 11:,)(321MT3(), S M 2 , 1M例例1 1 设设的全部变换如下的全部变换如下问：（问：（1 1）关于变换乘法是否做成群？关于变换乘法是否做成群？关于变换乘法是否做成群？关于变换乘法是否做成群？（2 2） 2022-5-1111111(1) (1)(1)(1)1(1)1 11(2) (2)(1)(2)
4、2(1)2 1)(MT解解：（：（1 1）非空、代数运算、结合律都满足，）非空、代数运算、结合律都满足，事实上，事实上，就没有逆元就没有逆元. .因为如果因为如果有逆元有逆元. .那么必有那么必有且且. .但是但是而而 导致矛盾，故导致矛盾，故没有逆元没有逆元. .不能成为群不能成为群. .有单位元有单位元. . 那么那么“逆元逆元”问题能解决吗？问题能解决吗？11:11,21 因此因此 2022-5-113 3)(MS1|MMaMxax,:M2 G（2 2）非空、代数运算、结合律都满足，）非空、代数运算、结合律都满足，的逆元是的逆元是的逆元是自身的逆元是自身. . 因此因此例例2 2 设设，
5、并取定，并取定，则易知，则易知是是的一个非一一变换，的一个非一一变换，从而，从而关于变换乘法做成群关于变换乘法做成群. .有单位元有单位元成为群成为群. . .G 2022-5-11定义定义1MM设设的若干一一变换关于变换的乘法做成的若干一一变换关于变换的乘法做成的一个的一个一一变换群一一变换群；的若干非一一变换关于变换的乘法做的若干非一一变换关于变换的乘法做的一个的一个非一一变换群非一一变换群. .是一个非空集合，则是一个非空集合，则的若干变换关于变换的乘法做成的群，的若干变换关于变换的乘法做成的群，M的一个的一个变换群变换群；由由称为称为由由M的群，称为的群，称为M由由M成的群，称为成的群
6、，称为M 2022-5-11定理定理1M)(MS设设为非空集合，为非空集合，构成构成的一个变换群的一个变换群. .关于变换的乘法关于变换的乘法M证明：乘法封闭性、结合律都满足，单位元证明：乘法封闭性、结合律都满足，单位元为恒等变换，每个一一映射都有个与之对应的为恒等变换，每个一一映射都有个与之对应的互逆的一一映射互逆的一一映射. . 2022-5-11定义定义2 2M)(MSnM |nS称集合称集合上的一一变换群上的一一变换群为为上的对称群；上的对称群；时，其上的对称群用时，其上的对称群用表示，称为表示，称为n 次对称群次对称群. .M当当显然：（显然：（1 1）上任何一一变换群都是上任何一一
7、变换群都是上的对称群的一个子群，即上的对称群的一个子群，即上的对称群上的对称群的最大的一一变换群；的最大的一一变换群；MMMM是是nS! n（2 2）n次对称群次对称群是一个阶为是一个阶为的有限群的有限群. . 2022-5-11定理定理2G)()(aaaa )(G)()(babbbaaa)()()()(11aaa)()(1GM设设是非空集合是非空集合的一个变换群的一个变换群. .则则证：证：必要性显然；下证充分性：设有必要性显然；下证充分性：设有的单射变换的单射变换，于是，于是，由，由是单射变换，是单射变换，因此，因此是是的恒等变换；的恒等变换；，若，若，则，则，所以，所以是单射变换；是单射
8、变换；，所以，所以是满射变换是满射变换. .G是是的一个一一变换群的一个一一变换群M中含有中含有GM的单（满）射变换的单（满）射变换.，因为，因为是群，是群，GM故有单位元故有单位元M得得 2022-5-11推论推论1：GM1|M)(MT是非空集合是非空集合的一个变换群，则的一个变换群，则或者是一一变换群（单位元是恒等变换），或者是一一变换群（单位元是恒等变换），则，则不能成为群不能成为群. .G或者是非一一变换群，即任何一个变换群都或者是非一一变换群，即任何一个变换群都不可能既含有一一变换又含有非一一变换不可能既含有一一变换又含有非一一变换. .注意：注意：如果如果 2022-5-11例例,
9、| ),(RyxyxMRa)0 ,(),(:axyxa|RaGaMZM Znnxxn :|ZnGnM例例3. 令令，则，则做成做成的一个的一个，规定，规定，则，则做成做成的一个的一个上的对称群上的对称群.非一一变换群非一一变换群.例例4. 令令M一一变换群，但不是一一变换群，但不是0, 1aa （单位元（单位元）, 1aa （单位元（单位元） 2022-5-11G证：证：设设 是任意一个群是任意一个群, ,Ga，规定，规定Gaxxa:的一个变换的一个变换, ,易知是一个易知是一个一个一一变换一个一一变换. .令令 GaGa|Gba,)()()()(xxabbxaxabba，则，则eG xaxa1)(11a，Gaa11)(GSG ，所以，所以aa:()aG 是同构映射是同构映射. .所以所以GG . 2022-5-11推论推论2任何任何 n 阶有限群都同阶有限群都同 n 次对称群次对称群nS的一个子群同构的一个子群同构. .以上定理及推论表明以上定理及推论表明: :任何任何抽象群抽象群都可以找到某个都可以找到某个具体的群具体的群与它与它同构同构. .
