1、第四章 微米/纳米尺度传热学 中的基本分析方法1一一、导言二、二、BoltzmannBoltzmann输运理论输运理论三、分子动力学理论三、分子动力学理论四、计算流体流动问题的直接四、计算流体流动问题的直接Monte-CarloMonte-Carlo模模拟方法拟方法五、量子分子动力学方法五、量子分子动力学方法2一、导言微米微米/纳米尺度传热问题本身的微观特点使得传纳米尺度传热问题本身的微观特点使得传统分析方法受到极大挑战，此时建立在宏观经验上的统分析方法受到极大挑战，此时建立在宏观经验上的唯象模型不再十分有效。虽然在某些问题上，对二些唯象模型不再十分有效。虽然在某些问题上，对二些传统流体力学、
2、传热学理论及其相应的基本方程和界传统流体力学、传热学理论及其相应的基本方程和界面条件作适度修正后，也可达到分析某些微系统传热面条件作适度修正后，也可达到分析某些微系统传热问题的目的，但这种应用的范围受到很大的限制。要问题的目的，但这种应用的范围受到很大的限制。要认识微米认识微米/纳米尺度范围内的传热规律，需要从微观的纳米尺度范围内的传热规律，需要从微观的能量输运本质着手，以便揭示材料微结构中的动量和能量输运本质着手，以便揭示材料微结构中的动量和能量输运机制。按照从连续介质现象到量子现象的特能量输运机制。按照从连续介质现象到量子现象的特征尺寸，迄今比较适合于分析微传热和流动问题的主征尺寸，迄今比
3、较适合于分析微传热和流动问题的主要方法有如下几类：要方法有如下几类：Boltzmann方程方法、分子动力学方程方法、分子动力学方法、直接方法、直接Monte-Carlo模拟方法及量子分子动力学方模拟方法及量子分子动力学方法等。其中法等。其中Boltzmannn方法被公认为是一种方法被公认为是一种3一、导言极具普适性和有效性的工具；而分子动力学方法则用极具普适性和有效性的工具；而分子动力学方法则用于揭示那些量子力学效应不明显时的物理现象的分子于揭示那些量子力学效应不明显时的物理现象的分子特征，它们也对分子统计理论，如特征，它们也对分子统计理论，如Boltzmann方法及方法及直接直接Monte-
4、Carlo模拟法，提供分子碰撞动力学方面模拟法，提供分子碰撞动力学方面的知识；直接的知识；直接Monte-Carlo模拟则是一种计算微尺度模拟则是一种计算微尺度器件内器件内(通常其通常其Knudsen数较大数较大)尤其是稀薄气体流的尤其是稀薄气体流的流动和传热问题的方法；对于具有量子效应的物理过流动和传热问题的方法；对于具有量子效应的物理过程，如光与物质的相互作用、金属材料中的热传导问程，如光与物质的相互作用、金属材料中的热传导问题等，应采用量子分子动力学方法，并通过同时求解题等，应采用量子分子动力学方法，并通过同时求解分子动力学方程及量子力学方程如分子动力学方程及量子力学方程如Schrodi
5、nger方程方程来加以分析。本章内容将简要介绍这几类方法的要旨，来加以分析。本章内容将简要介绍这几类方法的要旨，它们是开展微米它们是开展微米/纳米尺度传热学研究的重要理论基纳米尺度传热学研究的重要理论基础。础。 4二、Boltzmann输运理论1、概述、概述众所周知，在动力学理论中，空间和时间内众所周知，在动力学理论中，空间和时间内的局域热平衡是一个隐含的固有假没。设体积的的局域热平衡是一个隐含的固有假没。设体积的特征长度为特征长度为lr，时间尺度为，时间尺度为r，则当物体的尺寸，则当物体的尺寸L=lr,或真实时间或真实时间tr，也或二者兼有时，则动力，也或二者兼有时，则动力学理论不再成立，这
6、是因为此时局域平衡假设不学理论不再成立，这是因为此时局域平衡假设不再有效，为此需要一个更基本的理沦。再有效，为此需要一个更基本的理沦。Boltzmann输运方程正是这样一种理论，它被认为输运方程正是这样一种理论，它被认为是现有方法中用来分析微尺度能量输运现象的最是现有方法中用来分析微尺度能量输运现象的最具有普遍适用性、最基本和强有力的工具，虽然具有普遍适用性、最基本和强有力的工具，虽然其最初的主要目的是用作气体研究，但发展至今其最初的主要目的是用作气体研究，但发展至今已被推广用于范围极其广泛的各类介质。已被推广用于范围极其广泛的各类介质。 5二、Boltzmann输运理论该理论所具备的普适性令
7、人惊讶，这是因为几乎该理论所具备的普适性令人惊讶，这是因为几乎所有宏观输运方程，如所有宏观输运方程，如Fourier定律、定律、Ohm定律、定律、Fick定律及双曲型热传导方程等，均可由该方程定律及双曲型热传导方程等，均可由该方程导出，而且一些输运方程，如辐射输运方程及质导出，而且一些输运方程，如辐射输运方程及质量、动量及能量守恒方程等，也均可从量、动量及能量守恒方程等，也均可从Boltzmann方程导出，且对于流体、固体，多相系统等均具方程导出，且对于流体、固体，多相系统等均具有良好的适应性。有良好的适应性。 建立和求解建立和求解Boltzmann方程的主要动机源于两方程的主要动机源于两类应
8、用：其一是为了在当材料内能量载子的平均自类应用：其一是为了在当材料内能量载子的平均自由程远小于问题的特征尺寸时，能够从微观模型导由程远小于问题的特征尺寸时，能够从微观模型导出介质的宏观行为，所以这些应用是统计力学基本出介质的宏观行为，所以这些应用是统计力学基本问题的一种特殊情形，而统计力学的任务问题的一种特殊情形，而统计力学的任务就是在物就是在物6二、Boltzmann输运理论质原子结构及其宏观连续介质行为之间建立一个桥质原子结构及其宏观连续介质行为之间建立一个桥梁，此方面的典型应用是解释气体的宏观行为，并梁，此方面的典型应用是解释气体的宏观行为，并从分子对相互作用定理计算出黏度及热传导系数。
9、从分子对相互作用定理计算出黏度及热传导系数。Boltzmann方程的第二类应用是在平均自由程与特方程的第二类应用是在平均自由程与特征几何尺寸相比不再能忽略时对宏观介质的描述。征几何尺寸相比不再能忽略时对宏观介质的描述。很明显，在这样的条件下，人们不再能指望介质的很明显，在这样的条件下，人们不再能指望介质的“宏观行为宏观行为”能够轻易地用密度、比热容、热导率能够轻易地用密度、比热容、热导率等量来描述，虽然这些概念仍然是有意义的，且最等量来描述，虽然这些概念仍然是有意义的，且最后结果仍要借助于物体的可测量如温度来衡量。所后结果仍要借助于物体的可测量如温度来衡量。所以，在这些条件下，以，在这些条件下
10、，Boltanann方程作为一个可涵方程作为一个可涵盖整个传热行为的方程而占有特别重要的地位。盖整个传热行为的方程而占有特别重要的地位。72、Boltzmann方程的简单推导方程的简单推导二、Boltzmann输运理论这里以气体介质为例来加以说明。不过，这里以气体介质为例来加以说明。不过，如下推导对于流体和固体介质也是适用的。在推如下推导对于流体和固体介质也是适用的。在推导过程中，分子之间的碰撞假设仅占其生命周期导过程中，分子之间的碰撞假设仅占其生命周期的非常小的一部分，这意味着只有双分子碰撞是的非常小的一部分，这意味着只有双分子碰撞是重要的。重要的。考虑气体中每一分子受外力考虑气体中每一分子
11、受外力ma(m为分子质为分子质量，量，a为分子加速度为分子加速度)作用，其大小可以是位置作用，其大小可以是位置r和时间和时间t但非速度但非速度v的函数，在时间的函数，在时间t和和t+dt山之间，山之间，不与其它分子发生碰撞的分子的速度不与其它分子发生碰撞的分子的速度v将变为将变为v+adt，且其位置矢量，且其位置矢量r变为了变为了r+vdt，则在时刻，则在时刻8二、Boltzmann输运理论t时落人体积单元时落人体积单元r，dr及速度范围在及速度范围在v，dv内的分内的分子数为子数为f(v，r，t) dvdr(其中其中f为分子的分布函数为分子的分布函数)，经过时间间隙经过时间间隙dt后，若分子
12、碰撞的效应可以忽略，后，若分子碰撞的效应可以忽略，则同样的分子而非其他分子的集合将占据体积则同样的分子而非其他分子的集合将占据体积r+vdt，dr，且速度在，且速度在v+adt，dv。范围，这时的分。范围，这时的分子集合数为子集合数为f(v+adt，r+vdt，t+dt)dvdr。后期集合后期集合中的分子数一般与前期集合不同，因为碰撞分子中的分子数一般与前期集合不同，因为碰撞分子会使初始集合中的分子过程偏离，它也会导致其会使初始集合中的分子过程偏离，它也会导致其他分子偏转从而使之成为末态集合分子。所以，他分子偏转从而使之成为末态集合分子。所以，后期集合中的分子净增量与后期集合中的分子净增量与d
13、vdrdt成正比，并可由成正比，并可由表示。于是有表示。于是有scatfdvdrdtt 9二、Boltzmann输运理论trvscattvtttdddtfddtrvfdtvdradvf),(),(两边同除以两边同除以dvdrdt并令并令dt趋于零，则可导出关于趋于零，则可导出关于f的的Boltzmann方程，即方程，即(4.1)xyzxyzscatxyzffffffffvvvaaatxyzvvvt或或(4.2)scatfDft其中其中Df表示式表示式(4.1)左边项，按矢量符号表示为左边项，按矢量符号表示为(4.3)fffDfvatrv 10二、Boltzmann输运理论其中其中vx,vy,v
14、z为为速度矢量速度矢量v的分量，而的分量，而ax，ay，az为为加速度矢量口的分量。加速度矢量口的分量。对于混合气体，广义的对于混合气体，广义的Bolzmann方程可写作方程可写作(4.4)ssssSsssscatsffffD fvattvt其中其中s代表气体的种类，代表气体的种类，msas为在为在r,t处作用在分处作用在分子子ms上的力，上的力，scatstf表示速度分布函数表示速度分布函数fs由于碰撞而发生的改变率。由于碰撞而发生的改变率。11二、Boltzmann输运理论该方程可修正后适用于更一般的分子模型；在具该方程可修正后适用于更一般的分子模型；在具有球形对称的转动分子情况有球形对称
15、的转动分子情况f下只依赖于下只依赖于v,r,t，及及角速度角速度，且，且f的方程与式的方程与式(4.1)在形式上相同。对在形式上相同。对于更一般的模型，于更一般的模型，f将包含进一步的变量，以刻将包含进一步的变量，以刻画分子的方位及其他性质，与这些变量相关的项画分子的方位及其他性质，与这些变量相关的项必须一般性地出现在必须一般性地出现在Bolmnann方程中。方程中。Bolmnann方程的一般形式通常可简洁地表方程的一般形式通常可简洁地表述为述为(4.5)scatfffvfFtpt 12二、Boltzmann输运理论其中其中f(r，p，t)为随时间为随时间t、位置矢量、位置矢量r及动量及动量p
16、变变化的系综粒子的统计分布函数。化的系综粒子的统计分布函数。F为作用在粒子为作用在粒子上的力，上式左边项称作漂移项，右边项则称为上的力，上式左边项称作漂移项，右边项则称为散射项。散射项。Boltzmann方程适用于服从某种统计分方程适用于服从某种统计分布的所有系综粒子，如电子、离子、声子、气体布的所有系综粒子，如电子、离子、声子、气体分子等。比如，对于受电场作用的电子，上式左分子等。比如，对于受电场作用的电子，上式左边第三项可写作边第三项可写作(4.6)eEfk其中其中E为电场矢量，为电场矢量，e为电子电荷，为电子电荷，k为电子波矢。为电子波矢。13二、Boltzmann输运理论式式(4.2)
17、的右边项为由碰撞或散射引起的分布函的右边项为由碰撞或散射引起的分布函数改变率，其严格表达式十分复杂，因为碰撞会使数改变率，其严格表达式十分复杂，因为碰撞会使粒子从一坐标粒子从一坐标(r，p)转变到另一坐标系转变到另一坐标系(r,p),于是可于是可写出写出 W p,p,(4.7)pscatffpW p p fpt其中其中W(p, p)为从状态为从状态p到到p的改变率，求和中的首项的改变率，求和中的首项是由是由p态到态到p态引起的，第二项则相反。散射率态引起的，第二项则相反。散射率W通通常为常为p的函数，式的函数，式(4.6)可转化为可转化为-一个积分表达式，这一个积分表达式，这使得使得Boltz
18、nmann方程是一个同时含有积分和微分项方程是一个同时含有积分和微分项的方程，求解起来十分困难，因此常常要对的方程，求解起来十分困难，因此常常要对Boltznmann方程进行适当简化，以实现一定程度的方程进行适当简化，以实现一定程度的14理论分析，其中一种十分有效的途径是以下介绍理论分析，其中一种十分有效的途径是以下介绍的碰撞间隙的碰撞间隙(或松弛时间近似或松弛时间近似)理论。理论。二、Boltzmann输运理论3、碰撞间隙理论、碰撞间隙理论不同粒子的散射及碰撞机制通常十分复杂，不同粒子的散射及碰撞机制通常十分复杂，最常用的简化措施是通过引入松弛时间最常用的简化措施是通过引入松弛时间来近似来近
19、似实现，即将实现，即将Boltzmann方程中的散射项写作方程中的散射项写作0(4.8),scatffftr p15二、Boltzmann输运理论其中其中0为平衡态下的分布函数，为平衡态下的分布函数，(r，p)为松弛时间，为松弛时间，它是位置及动量的函数。在金属材料中，输运参数它是位置及动量的函数。在金属材料中，输运参数(如电导率如电导率)的温度依赖特性来自，随温度的改变量；的温度依赖特性来自，随温度的改变量；在半导体中，口随温度的改变则主要由载荷子数目在半导体中，口随温度的改变则主要由载荷子数目的改变引起。的改变引起。上述方法是一种基于碰撞间隙上述方法是一种基于碰撞间隙而非平均路径而非平均路
20、径的近似处理，该理论的有效性令人赞赏，其基本假的近似处理，该理论的有效性令人赞赏，其基本假设是在时间设是在时间dt内，在给定的微小体积内有内，在给定的微小体积内有dt/个分子个分子受到碰撞，并将其分布函数受到碰撞，并将其分布函数改变为改变为0。这样的近似这样的近似使得使得Boltzmann方程得以线性化，从而大大简方程得以线性化，从而大大简16二、Boltzmann输运理论化了方程的求解。它意味着，若系统偏离平衡态化了方程的求解。它意味着，若系统偏离平衡态即即-0不为零时，则碰撞将使该动力学过程按指不为零时，则碰撞将使该动力学过程按指数衰减数衰减-0exp(-t/)的形式恢复到平衡态。于是，的
21、形式恢复到平衡态。于是，无场效应无场效应(a=0)时的时的Boltzmann方程即为方程即为0(4.9)ffffvtr 其精确解可求得为其精确解可求得为/100,(4.10)tfefv rvt ttdt这实际上也可对时刻这实际上也可对时刻t-t进入容积并在时间到达进入容积并在时间到达17二、Boltzmann输运理论体积体积r，dr的的v，dv范围内的分子数进行归类而直范围内的分子数进行归类而直接写出。对上式中接写出。对上式中按按t的幂次展开并忽略的幂次展开并忽略t2及更及更高项后，可得到另一简化式。高项后，可得到另一简化式。碰撞间隙理论是一种非常简化的理论，其碰撞间隙理论是一种非常简化的理论
22、，其适用性是有限的。据适用性是有限的。据Qiu和和Tien关于金属介质中关于金属介质中电子和声子相互作用的严格分析表明，碰撞项实电子和声子相互作用的严格分析表明，碰撞项实际上由两部分组成，即际上由两部分组成，即21ssscattftftf18二、Boltzmann输运理论头一项头一项当电子与声子当电子与声子(晶格晶格)的温度相同时为零，的温度相同时为零，一般而言，它表明电子和声子之间的能量交换是一般而言，它表明电子和声子之间的能量交换是一个非弹性散射过程。一个非弹性散射过程。1stf第二项第二项当电子处于热平衡时变为零。所以，当电子处于热平衡时变为零。所以，时间松弛假设很大时则不成立，并且松弛
23、时间取时间松弛假设很大时则不成立，并且松弛时间取决于晶格温度而非电子温度。实际上仅对部分散决于晶格温度而非电子温度。实际上仅对部分散射过程有效，当电子和晶格温度差别射过程有效，当电子和晶格温度差别2stf194、Boitzmann分布的场效应及碰撞效应分布的场效应及碰撞效应二、Boltzmann输运理论Boltzmann方程最初用于处理非平衡态经典方程最初用于处理非平衡态经典气体性质。气体状态由其分布函数气体性质。气体状态由其分布函数(x,y,z,px,py,pz)定定义，义，可由六维空间可由六维空间x,y,z,px,py,pz决定。因此决定。因此dxdydzdpxdpydpz为点为点x，y，
24、z处在容积处在容积dxdydz、动动量分量量分量px,py,pz的的dpxdpydpz范围内的粒子数，所以若范围内的粒子数，所以若要对气体进行完整描述需要求解要对气体进行完整描述需要求解。的改变受不同的改变受不同的外场影响。通常容易作到的是对的外场影响。通常容易作到的是对“场场”(如电场如电场或磁场或更一般的温度梯度等等或磁场或更一般的温度梯度等等)及碰撞的影响进及碰撞的影响进行区分，它可写作行区分，它可写作(4.11)fieldsscatdfdfdfdtdtdt20二、Boltzmann输运理论稳态下，稳态下，df/dt=0。所以，在一给定时间间隙，由。所以，在一给定时间间隙，由于外场引起的
25、于外场引起的改变必须由碰撞导致的改变必须由碰撞导致的改变量来改变量来平衡。平衡。(1)均匀温度场问题均匀温度场问题温度梯度为零温度梯度为零处理电子时，人们最常采用的是波矢及其分处理电子时，人们最常采用的是波矢及其分量而非动量，对于空间均匀条件下量而非动量，对于空间均匀条件下(如没有温度梯如没有温度梯度度)的固体，则的固体，则f关于关于x，y，z的依赖关系可忽略，它的依赖关系可忽略，它只取决于只取决于kx,ky,kz，于是就只需考察，于是就只需考察k空间，从而可空间，从而可极大地简化讨论。在处理电阻及热电性时，只要是极大地简化讨论。在处理电阻及热电性时，只要是均匀场及均匀样品，则可采用这一简化。
26、围绕点均匀场及均匀样品，则可采用这一简化。围绕点kx,ky,kz处体积元处体积元dkxdkydkz的状态数由下式给定：的状态数由下式给定：21二、Boltzmann输运理论zyxzyxdkdkdkkkkf,众所周知，在温度众所周知，在温度T下处于平衡的电子气下处于平衡的电子气f的表达式的表达式由著名的由著名的FermiDirac分布函数表示，此时其为分布函数表示，此时其为f0，即即0f1(4.12)exp-/1Bfk T其中其中为电子能量，为电子能量，f为电子平衡时的能量，为电子平衡时的能量，kB为为Boltzmann常数。常数。这里应该指出，平衡分布这里应该指出，平衡分布f0的形式并不固定，
27、的形式并不固定，如对于气体分子其满足如对于气体分子其满足Maxwell-Boltzmann分布规分布规律，对于电子则满足上述的律，对于电子则满足上述的Fermi-Dirac分布，而分布，而对于光子和声子则满足对于光子和声子则满足Bose-Einstein分布。分布。22二、Boltzmann输运理论(2)场的影响场的影响若气体在若气体在x方向受均匀电场方向受均匀电场Ex的作用，则的作用，则f的的改变量很容易确定。在时间改变量很容易确定。在时间t内，所有内，所有k空间内的空间内的占据态可均匀地由相同量代替，而占据态可均匀地由相同量代替，而kx由运动定理由运动定理可知随时间均匀增加，即可知随时间均
28、匀增加，即1(4.13)xxdkeEdt于是于是1(4.14)xxtkeE23二、Boltzmann输运理论这样，新的分布函数这样，新的分布函数f与与f0形式相同，但改变了形式相同，但改变了kx。即即0,(4.15)xxyzffkk k k由于实际应用中，我们关心的只是由于实际应用中，我们关心的只是k空间内空间内关于平衡分布的非常小的位移，于是可以写出新关于平衡分布的非常小的位移，于是可以写出新的分布函数的分布函数f:00(4.16)xtxf eEffk24二、Boltzmann输运理论而且，而且，f0只通过能量方程只通过能量方程(4.12)而依赖于而依赖于kx，所，所以有以有 x00k/dd
29、fkfx若认为电子是一种粒子，则必须将其考若认为电子是一种粒子，则必须将其考虑为由我们所感兴趣的频率虑为由我们所感兴趣的频率w和波数和波数k附近的附近的一定频率及波数组成的波包，于是电子速度一定频率及波数组成的波包，于是电子速度v为这些波的群速度，其分量可定义为为这些波的群速度，其分量可定义为xkv由于电子能量由于电子能量所以所以xvxk/25二、Boltzmann输运理论于是式于是式(4.16)变为变为00(4.17)xxdfeEffvtd最后，有最后，有0-(4.18)fieldxxdfdfv eEdtd26二、Boltzmann输运理论(3)稳态分布稳态分布利用稳态下的利用稳态下的Bol
30、tzmann方程方程0(4.19)fieldscatdfdfdtdt并将式并将式(4.18)及及(4.19)代入，则有代入，则有 000(4.20)xxf kfkdfv eEd于是于是 00(4.21)xxdff kfkv eEd该式描述了受稳态电场及任意散射过程该式描述了受稳态电场及任意散射过程(由松弛时间由松弛时间刻画刻画)共同影响的电子数分布，它可用于计算各种共同影响的电子数分布，它可用于计算各种输运参数。输运参数。27二、Boltzmann输运理论5、Boltzmann输运理论导出的传热和流动守恒方程输运理论导出的传热和流动守恒方程 由于由于Boltzmann的普适性，它可用来导出的普
31、适性，它可用来导出微尺度传热分析中所关心的几乎所有守恒及本微尺度传热分析中所关心的几乎所有守恒及本构方程，如下给出其中的一些推导过程。构方程，如下给出其中的一些推导过程。用碰撞间隙理论写出的用碰撞间隙理论写出的Boltzmann方程的方程的一般表达式为一般表达式为0(4.22),ffffvfFtpr p 为研究粒子的能量输运，需要求解为研究粒子的能量输运，需要求解Boltzmann方程以获得分布函数方程以获得分布函数f(r,p,t)，于是单，于是单位面积的能量流率或能流可写作位面积的能量流率或能流可写作28二、Boltzmann输运理论 , , p(4.23)pq r tv r t f r p
32、 t其中其中q(r,t)为能流矢量，为能流矢量，v(r,t)为速度矢量，为速度矢量，(p)是是作为动量函数的粒子能量。注意，作为动量函数的粒子能量。注意，f(r,p,t)的单位的单位是单位体积单位动量内的个数。动量空间内的求是单位体积单位动量内的个数。动量空间内的求和可转化为一个积分：和可转化为一个积分： 3, , p(4.24)q r tv r t f r p td p该积分在引入状态密度该积分在引入状态密度D()后也可写成能量的后也可写成能量的积分。于是能流矢量可写作积分。于是能流矢量可写作 ,t D (4.25)q r tv r t f rd29二、Boltzmann输运理论Fourie
33、r定律定律虽然求解虽然求解Boltzmann方程并非方程并非易事，但可进行数种简化。若假设易事，但可进行数种简化。若假设t,r(r为时为时间范围间范围)，则最通常的简化是不讨论式，则最通常的简化是不讨论式(4.7)中的时中的时间变化量。此外，若假设间变化量。此外，若假设Ll，lr(其中其中L为所考察为所考察尺度，尺度，lr为长度范围，为长度范围，l为平均自由程为平均自由程)，则梯度项，则梯度项可近似为可近似为ff0，沿，沿x方向的一维方向的一维Boltzmarm方程方程可求出为可求出为00(4.26)xfffvx该式称为准平衡假设，其中惟一包含非平衡因素该式称为准平衡假设，其中惟一包含非平衡因
34、素的项是散射项。局域热力学平衡实际上是隐含在的项是散射项。局域热力学平衡实际上是隐含在30二、Boltzmann输运理论在近似在近似df/dxdf0/dx中的，不过，由于局域平衡中的，不过，由于局域平衡f0只能在长度范围只能在长度范围lr内定义，该近似最后将变为内定义，该近似最后将变为df/dxf0/lr。这一近似式及时间尺度内的近似在。这一近似式及时间尺度内的近似在动力学理论中也得到采用，所以我们可期待得到动力学理论中也得到采用，所以我们可期待得到类似的结果。由于平衡分布是温度的函数，于是类似的结果。由于平衡分布是温度的函数，于是有有00(4.27)fdfTxdTx由此可导出能流由此可导出能
35、流 20D (4.28)xxdfTqxvdxdT 31二、Boltzmann输运理论包含包含f0的第一项因在所有方向上的积分为零而可的第一项因在所有方向上的积分为零而可以消去。式以消去。式(4.28)即为即为Fourier导热定律，其积分导热定律，其积分部分即为热导率部分即为热导率。若假设松弛时间及速度均独。若假设松弛时间及速度均独立于粒子能量，则积分变为立于粒子能量，则积分变为 22200 x1D vD (4.29)3xdfdfkvddCvdTdT这恰恰是动力学理论导出的结果这恰恰是动力学理论导出的结果 =Cvl/3。在质。在质量传递方面，采用类似推导，也可得出量传递方面，采用类似推导，也可
36、得出Fick扩散扩散定律。定律。32二、Boltzmann输运理论双曲热传导方程双曲热传导方程对对Boltzmann方程两边方程两边同乘一个因子同乘一个因子vxD()d并关于能量积分，则方程并关于能量积分，则方程转换为转换为 x2fv D D -(4.30),xxdqfvdtxx该式中的加速度项已被消去。考虑到这样的情形该式中的加速度项已被消去。考虑到这样的情形即即Ll，lr及及t，r可作如下假设：可作如下假设：(i)松弛时间松弛时间独立于粒子能量；独立于粒子能量；(ii)对对项采用项采用准平衡假设，则式准平衡假设，则式(4.30)变为变为xTdtdfxf/0(4.31)xxqqkTtx 33
37、二、Boltzmann输运理论此即此即Cattaneo方程，将其与如下能量守恒方程结方程，将其与如下能量守恒方程结合，合，0(4.32)xqTCtx即可导出双曲型热传导方程即可导出双曲型热传导方程2222(4.33)TTkTttCx其中其中C为介质热容。为介质热容。式式(4.33)的解是一种波的形式，它表明温度的解是一种波的形式，它表明温度场的传播是以波的形式进行的。场的传播是以波的形式进行的。34二、Boltzmann输运理论值得注意的是在推导双曲型热传导方程时值得注意的是在推导双曲型热传导方程时所作的假设。这里，感兴趣的时间尺度在松弛时所作的假设。这里，感兴趣的时间尺度在松弛时间量级，而长
38、度则远大于局域热力学平衡下的特间量级，而长度则远大于局域热力学平衡下的特征尺寸。在推导双曲型热传导方程及征尺寸。在推导双曲型热传导方程及Fourier定定律时的惟一差别是前者保留了瞬态项律时的惟一差别是前者保留了瞬态项，这，这使得双曲型热传导方程在时间上是非局域的而在使得双曲型热传导方程在时间上是非局域的而在空间上则不是。空间上则不是。Boltmmnn方程当然更具有一般方程当然更具有一般性，因而可用于空间和时间内的非局域性和非均性，因而可用于空间和时间内的非局域性和非均匀性的研究。匀性的研究。tf /35二、Boltzmann输运理论流体黏度流体黏度在小量在小量情况下，方程隐含认为情况下，方程
39、隐含认为气体状态随时间变化不快，即气体状态随时间变化不快，即f-f0足够小。因而足够小。因而式式(4.9)左边左边f可由可由f0代替，则有代替，则有000(4.34)ffffvtr直角坐标下，对于密度和温度均匀、流动直角坐标下，对于密度和温度均匀、流动沿沿ox轴且质量速度轴且质量速度v0仅为仅为z的函数的气体，式的函数的气体，式(4.34)变换为变换为0000(4.35)zufffvzu36二、Boltzmann输运理论穿过穿过z=常数平面的沿常数平面的沿x方向的黏性应力满足方向的黏性应力满足0(4.36)xzxzpm vvv fdv代人的表达式代人的表达式(4.35)，则由于是的奇函数，式，
40、则由于是的奇函数，式(4.36)简化为简化为zvpxz/0其中其中2000220000(4.37)xzxzfm vvvdvvm vvv f dvmv f dvv37二、Boltzmann输运理论该式大括号内的积分由于被积项是该式大括号内的积分由于被积项是vx-v0的奇函数的奇函数而消去，第二个积分式可表示为而消去，第二个积分式可表示为p，于是，黏度，于是，黏度可写出为，可写出为，(4.38)p质量、动量及能量守恒方程质量、动量及能量守恒方程体力学、体力学、传热学及电子输运中所遇到的守恒方程均可通过传热学及电子输运中所遇到的守恒方程均可通过Boltzmann方程导出。考虑函数方程导出。考虑函数为
41、粒子动量为粒子动量的幂，即的幂，即(其中正数其中正数n=0,1,2，)，其平均，其平均值可写作值可写作 p npp 31(4.39)pp fp d p38二、Boltzmann输运理论其中其中为粒子数密度。将为粒子数密度。将Boltzmann方程乘以方程乘以(p)关于动量积分，则得到动量方程的一般形式关于动量积分，则得到动量方程的一般形式 1W p,p,p(4.40)ppFtmppW pp 注意，每一粒子动量可分作两部分，即注意，每一粒子动量可分作两部分，即p=pd+pr其中其中pd为外场梯度作用下粒子集合运动的平均或漂移动为外场梯度作用下粒子集合运动的平均或漂移动量，量，pr为由热运动引起的
42、随机动量分量，它代表耗为由热运动引起的随机动量分量，它代表耗散项。由于在动量空间所有随机动量分量的平均值散项。由于在动量空间所有随机动量分量的平均值为零，于是为零，于是p=pd。则在零阶动量。则在零阶动量(n=0及及(p)为常为常数数)情况下，可得到连续或数守恒方程，即情况下，可得到连续或数守恒方程，即39二、Boltzmann输运理论(4.41)doivsst其中其中vd为漂移速度为漂移速度(pd/m)，So是粒子的源或产生是粒子的源或产生率，率，Si为粒子沉或移走率。为粒子沉或移走率。动量守恒方程可在一阶动量即动量守恒方程可在一阶动量即(p)=p=mv情况下获得，即情况下获得，即1(4.4
43、2)dscatppppFtmt第二项为张量的平均，由于对第二项为张量的平均，由于对pr的奇次幂的平均的奇次幂的平均为零，可得为零，可得，其中，其中ij为单位张量。为单位张量。ijrddppppp240二、Boltzmann输运理论左边第三项即为流体力学中所指的体积力，也许更左边第三项即为流体力学中所指的体积力，也许更合适的一种说法是将其看作势梯度项，这是因为热合适的一种说法是将其看作势梯度项，这是因为热力学力力学力DJ写作任意势梯度的函数，即写作任意势梯度的函数，即F=-U。而。而势势U是诸如重力势是诸如重力势G、电化学势、电化学势等的总和。式等的总和。式(4.42)的右边为散射项。在松弛时间
44、近似下，右边项可假的右边为散射项。在松弛时间近似下，右边项可假设满足设满足(4.43)mscatppt 其中其中m为动量松弛时间。于是，动量守恒方程变为动量松弛时间。于是，动量守恒方程变为为41二、Boltzmann输运理论211.(4.44 )dddrdmpp pptmmpGa 左边第三项包含随机粒子的运动动能形式，它代左边第三项包含随机粒子的运动动能形式，它代表粒子的压力。于是式表粒子的压力。于是式(4.44a)可写为如下形式：可写为如下形式：.(4.44 )ddddmmvmvpmv vGbt 左边第二项通常指水平对流项，当它可忽略时，左边第二项通常指水平对流项，当它可忽略时，式式(4.4
45、b)在零加速度下简化为在零加速度下简化为42二、Boltzmann输运理论.(4.45)mdpvGm 在流体输运情况下，有在流体输运情况下，有(4.46)mdpvm 这与多孔介质中流体流动的情况等价。显然，式这与多孔介质中流体流动的情况等价。显然，式(4.42)除包含碰撞项外具有与除包含碰撞项外具有与Navier-Stokes方程类方程类似的形式。似的形式。Navier-Stokes方程可利用方程可利用Boltzmann方程通过方程通过Chapman-Enskog近似导出，且由式近似导出，且由式(4.42)右边可推导出耗散项。右边可推导出耗散项。43二、Boltzmann输运理论由于能量由于能
46、量=p2/2m，若取二阶动量，若取二阶动量(p)=p2，则，则由式由式(4.40)可导出能量守恒方程，即可导出能量守恒方程，即22,p(4.47)22dpJF vtppW p pW pmm 其中其中=为能量密度，单位为为能量密度，单位为J/m3；J为能流矢为能流矢量，单位为量，单位为W/m2，它的一般式可表示为，它的一般式可表示为(4.48)dJvq44二、Boltzmann输运理论vd能量的水平对流项，它由漂移项引起，能量的水平对流项，它由漂移项引起，q为耗为耗散引起的热流，它由粒子的随机运动引起。于是散引起的热流，它由粒子的随机运动引起。于是可导出如下的简化能量方程：可导出如下的简化能量方
47、程：(4.49)oddssivvUqttt其中其中U为前面讨论过的所有势的总和。式为前面讨论过的所有势的总和。式(4.47)中中的散射项分作能量源及沉，这里对其作一简短讨的散射项分作能量源及沉，这里对其作一简短讨论。右边第一项是外力对粒子所作的功，因而必论。右边第一项是外力对粒子所作的功，因而必须出现在能量守恒方程中。为获得关于须出现在能量守恒方程中。为获得关于q的关系，的关系，需要用到更高阶动量的需要用到更高阶动量的Boltzmann方程。不过，人方程。不过，人们通常假设们通常假设Fourier定律定律q=-T来使问题封闭。来使问题封闭。45二、Boltzmann输运理论但应记住这样的事实，
48、即但应记住这样的事实，即Fourier定律实际上是定律实际上是在空间和时间准平衡假设的基础上导出的，它并在空间和时间准平衡假设的基础上导出的，它并不总是有效的。考虑时间非局域而空间准平衡时，不总是有效的。考虑时间非局域而空间准平衡时，导出的更高阶关系是由式导出的更高阶关系是由式(4.31)所描述的所描述的Cattaneo热流方程。热流方程。粒子系统的能流密度粒子系统的能流密度来自熵运动及漂移的贡献，来自熵运动及漂移的贡献，写作写作231(4.50)22Bdk Tmv46二、Boltzmann输运理论注意到因子注意到因子3/2仅对具有三个运动自由度的单原仅对具有三个运动自由度的单原子气体及分子有
49、效，每一自由度具有能量子气体及分子有效，每一自由度具有能量kBT/2。对动量守恒式对动量守恒式(4.44)乘以乘以vd真并将其从能量守恒方真并将其从能量守恒方程程(4.49)减去，则可得到热能守恒方程为减去，则可得到热能守恒方程为022(4.51)33ddssiBTTTvTTvqtktt注意到作功项注意到作功项vdU由于功只增加机械能由于功只增加机械能而不增加熵或温度因而可以消去，只有当该功通而不增加熵或温度因而可以消去，只有当该功通过散射而耗散掉，则系统熵及温度增加。式过散射而耗散掉，则系统熵及温度增加。式(4.51)中的散射项可写作如下形式：中的散射项可写作如下形式：47二、Boltzma
50、nn输运理论020 21(4.52),3 dssiBmTTmvTTttT vk 其中其中T0为库温度，为库温度，为能量松弛时间。右边第一项为能量松弛时间。右边第一项只是对应于平衡温度只是对应于平衡温度T0的能量松弛项，第二项是由的能量松弛项，第二项是由于动量和能量松弛过程之间的差别引起的。由于碰于动量和能量松弛过程之间的差别引起的。由于碰撞会改变粒子动量而非能量，因而能量松弛时间与撞会改变粒子动量而非能量，因而能量松弛时间与动量松弛时间存在差别。即使这两个时间相同，该动量松弛时间存在差别。即使这两个时间相同，该项也不会为零，它来自粒子动能对温升的贡献，所项也不会为零，它来自粒子动能对温升的贡献
