1、4.2.2 圆与圆的位置关系求圆心坐标及半径求圆心坐标及半径r r（配方法）（配方法） 圆心到直线的距离圆心到直线的距离d d （点到直线的距离公式）（点到直线的距离公式）2220()()xaybrAxByC 消去消去y y20pxqxt 0:0:相相交交= 0:= 0:相相切切0:0:相相离离dr:dr:dr:相相离离判断直线和圆的位置关系判断直线和圆的位置关系几何方法几何方法代数方法代数方法圆与圆有哪几种位置关系呢？圆与圆有哪几种位置关系呢？ 你能从生活中举几个圆和圆的位置关系的例子吗？你能从生活中举几个圆和圆的位置关系的例子吗？思考思考下面我们就进入今天的学习内容，圆与圆的位置下面我们就
2、进入今天的学习内容，圆与圆的位置关系！关系！总结总结1.1.理解圆与圆的位置关系的种类理解圆与圆的位置关系的种类. .2.2.会根据两圆的圆心距与半径之间的关系判断出会根据两圆的圆心距与半径之间的关系判断出 两圆的位置关系两圆的位置关系. .（重点、难点）（重点、难点）3.3.会求两相交圆的公共弦方程、公切线方程会求两相交圆的公共弦方程、公切线方程. .探究探究 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系1.1.相离（没有公共点）相离（没有公共点）2.2.相切（一个公共点）相切（一个公共点）3.3.相交（两个公共点）相交（两个公共点）外离外离内含（同心圆）内含（同心圆）内切内切外切外切外离外离圆和圆的五
3、种位置关系圆和圆的五种位置关系dR+rd=R+rR-rdR+rd=R-r0dR-rd=0外切外切相交相交内切内切内含内含同心圆同心圆(一种特殊的一种特殊的内含内含)rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含两两 圆圆 的的 二、两圆位置关系的判断二、两圆位置关系的判断它们的位置关系有两种判断方法：它们的位置关系有两种判断方法：已知圆已知圆22211:()()Cxaybr与圆与圆22222:()()Cxcydr代数法和代数法和几何法几何法1.1.平面几何法判断圆与圆的位置关系公式平面几何法判断圆与圆的位置关系公式 第一步：计算
4、两圆的半径第一步：计算两圆的半径r r1 1，r r2 2；第二步：计算两圆的圆心距第二步：计算两圆的圆心距d d；第三步：根据第三步：根据d d与与r r1 1，r r2 2之间的关系，判断两圆之间的关系，判断两圆的位置关系的位置关系. .两圆外离：两圆外离：r r1 1+r+r2 2dd； 两圆外切：两圆外切：r r1 1+r+r2 2=d=d；两圆相交：两圆相交：|r|r1 1r r2 2|dr|dd0.|d0.2.2.利用代数方法判断利用代数方法判断（1 1）当）当=0=0时，有一个交点，两圆内切或外切，时，有一个交点，两圆内切或外切，（2 2）当）当000时，有两个交点，两圆相交时，
5、有两个交点，两圆相交. .两种方法的优缺点；两种方法的优缺点；几何方法直观，但不能求出交点；几何方法直观，但不能求出交点；代数方法能求出交点，但代数方法能求出交点，但=0=0，0 0 时，不能时，不能准确判断圆的位置关系准确判断圆的位置关系. .例例1 1：已知圆已知圆221:2880Cxyxy，圆圆222:4420Cxyxy，试判断圆试判断圆C C1 1与圆与圆C C2 2的位置关系的位置关系. .【提升总结提升总结】方法二，代数法方法二，代数法由两者方程组成方程组，由方程组解的情况决定由两者方程组成方程组，由方程组解的情况决定. .解法一：解法一：把圆的方程都化成标准形式把圆的方程都化成标
6、准形式, ,为为221:(1)(4)25Cxy222:(2)(2)10Cxy的圆心坐标是的圆心坐标是 , ,半径长半径长1C( 1, 4) 15;r 的圆心坐标是的圆心坐标是 , ,半径长半径长2C(2,2)210;r 分析：分析：方法一，几何法方法一，几何法判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系. .所以圆心距所以圆心距2212( 1 2)( 42)3 5 CC1212510,510rrrr5103 551012213 5rrrr两圆半径的和与差两圆半径的和与差而而即即所以两圆相交所以两圆相交.解法二：解法二：22222880,4420.
7、xyxyxyxy将两个圆方程联立将两个圆方程联立, ,得方程组得方程组，得210 xy12xy由得把上式代入，并整理得把上式代入，并整理得2230 xx故两圆相交故两圆相交2=( 2)4 1 ( 3)160 方程根的判别式方程根的判别式所以方程有两个不等实数根，方程组有两解；所以方程有两个不等实数根，方程组有两解；圆圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0与与x x2 2+y+y2 2+4y=0+4y=0的位置关系是的位置关系是( )( )A.A.相离相离 B. B.外切外切 C. C.相交相交 D. D.内切内切【解析解析】选选C.C.圆的方程分别化为圆的方程分别化为(x-1)(x-
8、1)2 2+y+y2 2=1,x=1,x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4,=4,因为两圆圆心距因为两圆圆心距d= d= 而两圆的半径和而两圆的半径和r r1 1+r+r2 2=3,=3,半径差半径差r r2 2-r-r1 1=1=1，所以所以r r2 2-r-r1 1d dr r1 1+r+r2 2 , ,所以两圆相交所以两圆相交. .145,【变式练习变式练习】探究：探究：圆圆221:2310Cxyxy 与圆与圆222:4320Cxyxy相交于相交于A,BA,B两点，如何求公共弦的方程？两点，如何求公共弦的方程？方法一：方法一：将两圆方程联立，求出两个交点的坐标，将两圆方程联立，求出
9、两个交点的坐标，利用两点式求公共弦的方程利用两点式求公共弦的方程. .方法二：方法二：先来探究一般情形先来探究一般情形已知圆已知圆222211111111C :x +y +D x+E y+F =0C :x +y +D x+E y+F =0与圆与圆2 22 22 22 22 22 2C C : :x x + +y y + +D D x x+ +E E y y+ +F F = =0 0相交于相交于A,BA,B两点，两点，设设1122( ,), (,)A x yB xy那么那么222211111111111111222211212121121212x +y+D x +E y +F =0, x +y+
10、D x +E y +F =0, x +y+D x +E y +F =0. x +y+D x +E y +F =0. - -，得得1 12 21 11 12 21 11 12 2( (D D - -D D ) )x x + +( (E E - -E E ) )y y + +F F - -F F = =0 0同理可得同理可得1 12 22 21 12 22 21 12 2( (D D - -D D ) )x x + +( (E E - -E E ) )y y + +F F - -F F = = 0 0由可知由可知1 11 12 22 2A A( (x x , ,y y ) ), ,B B( (x
11、x , ,y y ) )一定在直线一定在直线l1 12 21 12 21 12 2: : ( (D D - -D D ) )x x+ +( (E E - -E E ) )y y+ +F F - -F F = =0 0上上显然通过两点的直线只有一条，即直线方程唯一，显然通过两点的直线只有一条，即直线方程唯一，故公共弦的方程为故公共弦的方程为121212121212(D -D )x+(E -E )y+F -F =0(D -D )x+(E -E )y+F -F =0消去二次项消去二次项所以前面探究问题可通过所以前面探究问题可通过（D D1 1D D2 2)x+(E)x+(E1 1E E2 2)y+F
12、)y+F1 1F F2 2=0 =0 得出得出, ,即公共弦的方程为：即公共弦的方程为：2x+1=02x+1=0例例2:2:已知圆已知圆C C1 1：x x2 2+y+y2 210 x10 x10y=010y=0和圆和圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2+6x+2y+6x+2y40=040=0相交于相交于A A、B B 两点，求公共弦两点，求公共弦ABAB的长的长. .解法一：解法一：由两圆的方程相减，消去二次项得到由两圆的方程相减，消去二次项得到一个二元一次方程，此方程为一个二元一次方程，此方程为4x+3y=10.4x+3y=10. 即为公共弦即为公共弦AB AB 所在的直线方程，所在
13、的直线方程，由由 22431010100 xyxyxy，解得解得26 xy，或或42. xy，所以两点的坐标是所以两点的坐标是A(A(2,6)2,6)，B(4,B(4,2)2)，或，或A A（4 4，-2-2），），B B（-2,6-2,6），），故故|AB|=|AB|=2 22 26 6 + +8 8 = =1 10 0. .圆圆C C1 1的圆心的圆心C C1 1(5(5，5 )5 )，半径，半径r r1 1= = ，2则则|C|C1 1D|=D|=|20 15 10|55 ，所以所以|AB|=2|AD|=|AB|=2|AD|=2 22 21 11 12 2 | |C C A A| | -
14、 -| |C C D D| | = =1 10 0. .解法二：解法二：先求出公共弦所在直线的方程：先求出公共弦所在直线的方程：4x+3y=10. 4x+3y=10. 过圆过圆C C1 1的圆心的圆心C C1 1作作C C1 1DABDAB于于D. D. 两圆两圆O O1 1：x x2 2+y+y2 2-6x+16y-48=0-6x+16y-48=0与与O O2 2：x x2 2+y+y2 2+4x-8y-44+4x-8y-44=0=0，其半径分别为，其半径分别为m m1 1,m,m2 2, ,则它们的公切线条数为则它们的公切线条数为( )( )A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C
15、.3 D.4【变式练习变式练习】B B【解析解析】选选B.B.将两圆方程化为标准方程为将两圆方程化为标准方程为(x-3)(x-3)2 2+(y+8)+(y+8)2 2=121,(x+2)=121,(x+2)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=64.=64.所以所以O O1 1(3,-8),r(3,-8),r1 1=11;O=11;O2 2(-2,4),r(-2,4),r2 2=8.=8.因为因为|O|O1 1O O2 2|=|=所以所以3 3|O|O1 1O O2 2| |19,19,所以两圆相交，从而公切线有两条所以两圆相交，从而公切线有两条. .22234813, B B2.2.若圆若圆
16、相交，求实数相交，求实数m m的范围的范围 . .2 22 22 22 2x x + +y y = = m m与与圆圆x x + +y y + +6 6x x- -8 8y y- -1 11 1= = 0 01m1211m3+2 3+2 2两圆心坐标及半径两圆心坐标及半径r r1 1,r,r2 2（配方法）（配方法） 圆心距圆心距d d（两点间距离公式）（两点间距离公式） 比较比较d d和和r r1 1，r r2 2的和与差的和与差的大小，下结论的大小，下结论222111222222()()()()xaybrxaybr 消去消去y y02rqxpx0:0:相相交交= 0:= 0:内内切切或或外外切切0:0:外外离离或或内内含含几何方法几何方法代数方法代数方法
