1、2021年高考数学真题试卷(浙江卷)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(共10题;共40分)1.设集合 , ,则 ( ) A.B.C.D.2.已知 , ,(i为虚数单位),则 ( ) A.-1B.1C.-3D.33.已知非零向量 ,则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A.B.3C.D.5.若实数x , y满足约束条件 ,则 的最小值是( ) A.-2B.C.D.6.如图已知正方体 ,M , N分别是 ,
2、的中点,则( ) A.直线 与直线 垂直,直线 平面 B.直线 与直线 平行,直线 平面 C.直线 与直线 相交,直线 平面 D.直线 与直线 异面,直线 平面 7.已知函数 ,则图象为如图的函数可能是( ) A.B.C.D.8.已知 是互不相同的锐角,则在 三个值中,大于 的个数的最大值是( ) A.0B.1C.2D.39.已知 ,函数 .若 成等比数列,则平面上点 的轨迹是( ) A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线10.已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ,则( ) A.B.C.D.二、填空题(共7题;共36分),小正方形的面积为 ,则 _. 12.已知 ,函数
3、 若 ,则 _. 13.已知平面向量 满足 .记向量 在 方向上的投影分别为x , y , 在 方向上的投影为z , 则 的最小值为_. 14.已知多项式 ,则 _, _. 15.在 中, ,M是 的中点, ,则 _, _. 16.袋中有4个红球m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为 ,若取出的两个球都是红球的概率为 ,一红一黄的概率为 ,则 _, _. 17.已知椭圆 ,焦点 , ,若过 的直线和圆 相切,与椭圆在第一象限交于点P , 且 轴,则该直线的斜率是_,椭圆的离心率是_. 三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题;共74
4、分)18.设函数 . (1)求函数 的最小正周期; (2)求函数 在 上的最大值. 19.如图,在四棱锥 中,底面 是平行四边形, ,M , N分别为 的中点, . (1)证明: ; (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.已知数列 的前n项和为 , ,且 . (1)求数列 的通项; (2)设数列 满足 ,记 的前n项和为 ,若 对任意 恒成立,求 的范围. 21.如图,已知F是抛物线 的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且 , (1)求抛物线的方程; (2)设过点F的直线交抛物线与AB两点,斜率为2的直线l与直线 ,x轴依次交于点P , Q , R , N , 且 ,求直线l在x轴上
5、截距的范围. 22.设a , b为实数,且 ,函数 (注: 是自然对数的底数)(1)求函数 的单调区间; (2)若对任意 ,函数 有两个不同的零点,求a的取值范围; (3)当 时,证明:对任意 ,函数 有两个不同的零点 ,满足 . 答案解析部分一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.【解析】【解答】因为 , ,所以 . 故答案为:D. 【分析】利用数轴,求不等式表示的集合的交集。2.【解析】【解答】因为 ,所以利用复数相等的充分必要条件可得: .故答案为:C. 【分析】根据复数相等的条件,即可求得a的值。3.【解析】【解答】若
6、但= 不一定成立, 故充分性不成立; 若时,一定成立,故必要性成立, 故“ ”是“ ”的必要不充分条件故答案为:B. 【分析】先将条件等式变形,可能得到条件不充分,后者显然成立。4.【解析】【解答】由三色线法,画出几何体为如图所示的四棱柱 ,其高为1,底面为等腰梯形 , 该等腰梯形的上底为 ,下底为 ,腰长为1,故梯形的高为 ,故 ,故答案为:A. 【分析】先由三视图,用三色线法还原立体图形,然后根据数量关系计算体积。5.【解析】【解答】画出满足约束条件 的可行域, 如下图所示:将目标函数 化为 ,由 ,解得 ,即 ,当直线 过 点时,取得最小值为 .故答案为:B. 【分析】先画出可行域,然后
7、由目标函数,作出直线 ,当直线过 点时,得到最优解,从而计算出结果。6.【解析】【解答】设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0), A(2,0,0), A1(2,0,2), B(2,2,0), D1(0,0.2), M(1,0,1), N(1,1,1), B1(2,2,2), 对于A: 因为因为所以, 即 , 又因为则AB|MN,于是AB平面ABCD,A符合题意; 对于B: 由A知,A1D与D1B垂直,故B不符合题意; 对于C: A1D与D1B是异面的, 不平行,故C不符合题意; 对于D: A1D与D1B异面正确,但显然与平面BDB1D1不垂直,故D不符合题意;
8、故答案为:A. 【分析】对于A:由空间向量证明是正确的, 对于B:若A知 这显然不平行,所以B不正确; 对于C:显然, 直线 与直线 是异面直线,故C错误; 对于:由B知,MN不垂直平面BDD1B1。7.【解析】【解答】显然,图中函数是奇函数, 对于A,显然 ,该函数为非奇非偶函数,所以与图不符合,排除A; 对于B, ,该函数也是为非奇非偶函数,与函数图象不符,排除B;对于C, ,则 ,当 时, ,与图象不符,排除C.对于D,将代入可计算得y/0,满足该图象在该点附近递减的性质,故D正确. 故答案为:D. 【分析】由A,B解析式都是非奇非偶函数,可以判断A,B错; 对于C,先对 求导,然后计算
9、当时,(),与图不符合,所以C错,故选D.8.【解析】【解答】因为 已知 是互不相同的锐角, 所以 均为正值, 由基本不等式有 , 同理 , ,故 ,故 不可能均大于 .取 , , ,则 ,故三式中大于 的个数的最大值为2,故答案为:C. 【分析】先由基本不等式得出三个积 的取值范围,就可以得到结果。9.【解析】【解答】因为 成等比数列, 所以 , 即 , 整理得:, 所以所以 或 ,所以 或 其中是双曲线, 是直线.故答案为:C. 【分析】由三个数成等差数列,列出等式,推导结果。10.【解析】【解答】因为 ,所以 ,且 由 可得 ,即 由 所以 ,当且仅当 时取等号, , 所以 即 故答案为
10、:A 【分析】由递推公式,先得到, 进一步推导出, 然后用累加法等推导出。二、填空题11.【解析】【解答】由题意,直角三角形两条直角边分别为3,4 ,斜边为 ,即正方形的边长为5, 则其面积为: ,小正方形的面积: ,从而 .故答案为:25. 【分析】由勾股定理及三角形面积公式求解。12.【解析】【解答】 因为,所以所以,故 , 故答案为:2. 【分析】分段函数求函数值。13.【解析】【解答】由题意,设 , 则 ,即 ,所以依题意 , 所以 在 方向上的投影 ,所以 ,则表示空间中坐标原点到平面的距离,所以 ,所以 的最小值为 .故答案为: . 【分析】根据已知条件,先取特殊值并设, 再由投影
11、公式和点到平面的距离公式求解.14.【解析】【解答】根据二项式定理的通项公式:故a1=5; 同理故a2=3; 故a=7, 所以 10. 故答案为:5,10. 【分析】因为指数不高,直接展开。15.【解析】【解答】如图,在 中, 即 ,解得 (BM=-2舍去),因为M是BC的中点,所以MC=4,BC=8,在 中,由余弦定理得 ,所以 ;在 中,由余弦定理得 .故答案为: ; . 【分析】三次使用余弦定理求BM,AC, 即可。16.【解析】【解答】依题意 ,所以 , 又有 , 所以 , 则 由于 故答案为:1; 【分析】 先由取出的两个球都是红球的概率为 , 由古典概型公式得到 ,再由的可能取值,
12、求出相应的概率,根据数学期望的计算公式求解即可.17.【解析】【解答】如图所示:不妨假设 ,设切点为 , 因为圆B方程:,所以|AB|=C, BF1=所以 所以直线PF1的斜率为k= 将x=c代入椭圆方程, ,可得P点的坐标:由 ,所以 , 于是 ,即 ,所以 故答案为: ; 【分析】(1)取特殊值c=2,根据圆的切线的性质,计算相关线段长度,在直角三角形ABF1中,可以求得 的值; (2)由(1)及椭圆的定义,就可以计算 a的值,进一步得到离心率。三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.【解析】【分析】(1)先将原函数化为:, 再化简 ,再根据正弦
13、函数的周期公式,求得周期; (2)化简 , 然后根据x的取值范围,求得函数的最大值。19.【解析】【分析】(1)通过已知的边,用余弦定理求得DM的长度,再根据勾股定理的逆定理,判断出 , 由 , 得DC平面 , 结合AB|DC,则有ABPM ; (2)建立空间直角坐标系,定义相关点的坐标,用空间向量的知识求直线与平面成的角。20.【解析】【分析】(1)首先根据递推公式,证明 an 是等比数列 ,进一步求得an, (2)先由an与bn的关系,求出bn,然后通过逐项求和,写出Tn,再由错项相减的方法,求得Tn; 在由 恒成立,进一步求得 的取值范围。21.【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义,即可求得P,进而写出方程; (2) 设 , 并设, ,写 出直线 ,代入抛物线,由韦达定理写出关系式,再由 , 结合直线方程 ,推出关系式,进而利用基本不等式以及解相关不等式,得出直线l在x轴上截距的范围。22.【解析】【分析】(1)先对函数求导,对b的值分类讨论,研究导数的正负,从而确定函数的单调区间; (2)将问题转化为 有两个不同解 有2个不同的解,通过换元,构造函数,进一步利用导数研究相关函数的单调性,通过解属地等式,得到a的取值范围; (3)当 有2个不同零点,则 零点一定是正值,设出二正根,构造函数,研究相关函数的单调性,通过一系列不等式推导出结论。