1、南京市2022届高三年级第二次（5月）模拟考试数 学第卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知R是实数集，集合AxZ|x|1，Bx|2x10，则A(RB)A1，0B0，1C1，0，1D2已知i为虚数单位，复数z满足z(1i)43i，则|z|ABCD3为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为A9B18C24D274函数f(x)(x)cosx的部分图象大致为ABCD5我们知道，对于一个正整数N可以表示成Na10n(1a10，nZ)，此时lg
2、Nnlga(0lga1)当n0时，N是一个n1位数已知lg50.69897，则5100是 位数A71B70C69D686在(1x)4(12y)a(aN)的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)若f(0，1)f(1，0)8，则a的值为A0B1C2D37已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，0) 的图象与y轴的交点为M(0，1)，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N(3，0)，y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C若OBC的面积为3 （其中O为坐标原点），则函数f (x)的最小正周期为A5 B6 C7 D88已知函数f(x)若x1，f(x2m)mf(x)0，则实数m的取值范围是A(1
3、，)B(，)C(0，)D(，1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9设Pa，aR，则下列说法正确的是AP2B“a1”是“P2”的充分必要条件C“P3”是“a2”的必要不充分条件Da(3，)，使得P310在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y22ax6ya20(aR)，则下列说法正确的是A若a0，则点O在圆C外B圆C与x轴相切C若圆C截y轴所得弦长为4，则a1D点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a211连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结
4、果等可能记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则A事件B与事件C互斥BP(A)C事件A与事件B独立D记C的对立事件为，则P(B|)12在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，ABC是底面圆的内接正三角形，ABAD，则下列说法正确的是ABE平面PAC BPA平面PBCC在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为D记直线DO与过点P的平面所成的角为，当cos(0，)时，平面与圆锥侧面的交线为椭圆第卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分
5、，共20分13在平面直角坐标系xOy中，P是直线3x2y10上任意一点，则向量与向量n(3，2)的数量积为14写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列an的通项公式：an（1）an是无穷等比数列；（2）数列an不单调；（3）数列|an|单调递减15在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为1619世纪，美国天文学家西蒙纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总
6、数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为P(n)log，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性 根据本福特定律，在某项大量经济数据(十进制)中，以6开头的数出现的概率为；若P10(n)P10(1)，kN*，k9，则k的值为四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤17(本小题满分10分)在ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinCccosAc（1）求A；（2）若ab，求sinADC18(本小题满分12分)已知数列
7、an的前n项和为Sn，a22从下面中选取两个作为条件，剩下一个作为结论如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由a33a1；为等差数列；an2an2注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分19(本小题满分12分)如图1，在平行四边形ABCD中，AB2，AD3，ABC30，AEBC，垂足为E以AE为折痕把ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90(如图2)（1）求证：PECD；（2）若点F在线段PC上，且二面角FADC的大小为30，求三棱锥FACD的体积20(本小题满分12分)空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：空气质量指数AQI空
8、气质量等级0，50优(50，100良(100，150轻度污染(150，200中度污染(200，300重度污染 (300，+）严重污染下列频数分布表是某场馆记录了一个月（30天）的情况：空气质量指数AQI0，50(50，100(100，150(150，200频数（单位：天）36156（1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）（2）如果把频率视为概率，且每天空气质量指数相互独立，求未来一周（7天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：0.70.0824，结果精确到0.01）（3）为提升空气质量，该场馆安装了2套
9、相互独立的大型空气净化系统已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：更换滤芯数量（单位：个）345概率0.20.30.5已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元该场馆每年年初先在促销期购买n（n8，且nN*）个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总费用最合理，请说明理由（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求）21(本小题满分12分)已知函数f(x)(x2x1)ex3，g(x)xex，e为自然对数的底数（1）求函数f(x)的单调区间；（2）记函数g(x)在(0，)上的最小值为m，证明：
10、em322(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x24y，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，两切线的交点P在直线yx5上（1）若点A的坐标为(1，)，求AP的长；（2）若AB2AP，求点P的坐标南京市2022届高三年级第二次（5月）模拟考试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1A2D3B4C5B6C7D8B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9BC10ABD11BCD1
11、2BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分131 14()n，答案不唯一，只要等比数列的公比满足1q015 16lg；5四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤17(本小题满分10分)解：（1）在ABC中，由asinCccosAc，得sinAsinCsinCcosAsinC2分因为C(0，)，所以sinC0，所以sinAcosA1，即sin(A)因为A(0，)，所以A(，)，所以A，所以A4分（2）在ABC中，(b)2c2b22bccos，即c2bc6b20，解得c3b或c2b（舍去）6分因为，所以AD4b，BDb在ACD中，CD2b2(4b)22b4
12、bcos13b2，得CDb8分因为，所以sinADC10分18(本小题满分12分)解：条件选方法1因为为等差数列，所以2S1，2分即3(a1a2)3a1a1a2a3，化简得2a2a1a3又因为a22，所以a1a344分又因为a33a1，解得a116分因为S11，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以1(n1)，即Sn8分当n2时，anSnSn1n10分又因为a11满足ann，所以ann，nN*所以an2ann2n2综上，成立12分方法2因为为等差数列，可设anb，得Snan2bn，2分所以a1ab，a3S3S29a3b(4a2b)5ab因为a33a1，所以ab(i)4分又因为a2S2S14a2
13、b(ab)3ab2(ii)6分由(i)(ii)，得ab，所以Snn2n8分当n2时，anSnSn1n10分又因为a11满足ann，所以ann，nN*所以an2ann2n2所以成立12分条件选由an2an2，得a3a12又因为a33a1，所以a11，a334分因为an2an2，所以数列an的奇数项是首项为1，公差为2的等差数列，偶数项是 首项为2，公差为2的等差数列因此，当n为奇数时，an1(1)2n；6分当n为偶数时，an2(1)2n；所以ann，nN*8分所以an1ann1n1，所以数列an是首项为1，公差为1的等差数列，所以Sn，从而10分因为，所以为等差数列所以成立12分条件选方法1因为
14、an2an2，所以a3a12(i)2分因为为等差数列，所以2S1，4分即3(a1a2)3a1a1a2a3，化简得2a2a1a38分又因为a22，所以a1a34(ii)10分由(i)(ii)，得a11，a33，所以a33a1所以成立12分方法2因为an2an2，所以a3a12(i)2分因为为等差数列，设anb，得Snan2bn，4分所以a1ab，a3S3S29a3b(4a2b)5ab，所以a3a14a(ii)6分由(i)(ii)，得a8分又a2S2S14a2b(ab)3ab2，所以b10分所以a1ab1，a35ab3，满足a33a1所以成立12分方法3因为为等差数列，所以设anb，得Snan2b
15、n2分于是an2anab6分因为an2an2，所以4a2，得a8分又a23ab2，所以b10分从而a1ab1，a35ab3，所以a33a1所以成立12分19(本小题满分12分)解：（1）方法1在平行四边形ABCD中，AEBC，所以AEPE因为平面PAE与平面AECD所成的角为90，即平面PAE平面AECD2分又因为平面PAE平面AECDAE，PE平面PAE，所以PE平面AECD因为CD平面AECD，所以PECD4分方法2在平行四边形ABCD中，AEBC，所以AEPE，AECE，所以PEC为平面PAE与平面AECD所成角的平面角因为平面PAE与平面AECD所成的角为90，所以PEC90，即PEC
16、E2分又PEAE，AECEE，AE平面AECD，CE平面AECD，所以PE平面AECD因为CD平面AECD，所以PECD4分（2）方法1由（1）得PE平面AECD，AEEC，故以，为正交基底，建立空间直角坐标系易得A(1，0，0)，C(0，2，0)，D(1，3，0)，P(0，0，)，所以(0，2，)，(1，0，)，(0，3，0)5分设(0，2，)，0，1，则(1，2，)6分设平面FAD的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，得x，则平面FAD的一个法向量为n(，0，1)8分又因为平面AECD的一个法向量为m(0，0，1)，且二面角FDAC的大小为30，所以|cosm，n|，整理得921880，
17、即(32)(34)0，解得或(舍去)，故10分因为SACD31，所以VFACDVPACDSACDPE12分方法2在PEC中，过F作FGEC，交PE于点G因为ECAD，所以FGAD，因此A，D，F，G共面在平行四边形ABCD中，易知ADAE由（1）得PE平面AECD，因为AD平面AECD，所以ADPE又PEAEE，AE，PE平面PAE，所以AD平面PAE因为AG平面PAE，所以ADAG所以GAE为二面角FADC的平面角，所以GAE308分在RtAEG中，AEG90，GAE30，AE1，所以EG10分因为FGAD，FG平面AECD，AD平面AECD，所以FG平面AECD因此VFACDVGACD(3
18、1)12分20(本小题满分12分)解：（1）该场馆平均AQI的值为(253756125151756)(133651576)1152分（2）该场馆每天空气质量等级达到“优或良”的概率为0.33分设未来7天中空气质量等级达到“优或良”的天数为，则B(7，0.3)4分于是P(2)1P(0)P(1)1(10.3)C(10.3)0.310.770.70.3140.70.67，所以未来7天中至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率为0.676分（3）设2套净化系统一年共需要更换的滤芯数量为Y，则Y的可能取值为6，7，8，9，107分因为2套净化系统相互独立，所以P(Y9)0.30.50.50.30.3；
19、P(Y10)0.50.50.25；9分若促销期购买8个滤芯，则一年更换滤芯所需费用的期望为80.320.2549.6(千元)；若促销期购买9个滤芯，则一年更换滤芯所需费用的期望为90.2529.5(千元)；若促销期购买不少于10个滤芯，则一年更换滤芯所需的费用不低于10（千元），因为109.69.5，所以每年在促销期购买9个滤芯最合理12分21(本小题满分12分)解：（1）由f(x)(x2x1)ex3，得f (x)(x2x)ex2分令f (x)0，得x1或x0 因为当x(，1)(0，)时，f (x)0，当x(1，0)时，f (x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，1)，(0，)，f(x)的单
20、调递减区间为(1，0)4分（2）g(x)xex(1)ex，x0，所以g(x)(x2x1)ex3由（1）得f(x)在(0，)上递增，又因为f(1)e30，f(2)3e230，且f(x)的图象不间断，所以存在唯一x0(1，2)，使得f(x0)0，即g(x0)0，即(x02x01)e30 (*)6分所以当x(0，x0)，f(x)0，即g(x)0，所以g(x)单调递减；当x(x0，)，f(x)0，即g(x)0，所以g(x)单调递增，因此mg(x)ming(x0) (*)8分由(*)式得e，代入(*)式得m因为x0(1，2)，且函数y在(1，2)上递减，所以m(2，3)10分方法1由(*)式得(x01)
21、ex02e3，代入(*)式得mx0e因为x0(1，2)，且函数yxex在(1，2)上递增，所以mx0ee12分方法2因为x(ex1)0，所以xexx，所以(x1)ex1x1，所以(x1)exe(x1)(当且仅当x1时取等号)所以g(x)(1)exe，所以mg(x)mine综上，em312分22(本小题满分12分)解：（1）方法1由yx2，得yx，所以A处切线的斜率为， 2分所以切线PA的方程为y(x1)，即yx 联立方程组解得x，y，即P(，)3分所以AP|1|4分方法2设切线PA的方程为yk(x1)，即ykxk联立方程组消元y，得x24kx(4k1)0由16k24(4k1)0，解得k，所以切
22、线PA的方程为yx2分联立方程组解得x，y，即P(，)3分所以AP|1|4分（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(t，t5)，则y1x12，y2x22由yx2，得yx，所以A处的切线方程为yy1x1(xx1) 将P(t，t5)代入，得t5y1x1(tx1)，即x122tx14(t5)0 6分同理可得x222tx24(t5)0所以x1，x2是方程x22tx4(t5)0的两个解，故x1x22t ，x1x24(t5) ，7分所以直线AB的斜率kt， 由AB2AP，得|x1x2|2|x1t|，9分由得|x1x2|2|x1t|，所以，化简得x12t2因为x1t，所以x1t 11分由，得3t24t200，解得t12，t2所以，点P的坐标为(2，3)或(，)12分高三数学试卷第14页（共6页）
