1、11 旋轮线 2 旋轮线也叫摆线3 旋轮线是最速降线 4 心形线 5 星形线 6 圆的渐伸线 7 笛卡儿叶形线 8 双纽线9 阿基米德螺线 10 双曲螺线2xa a曲线曲线, ,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。1.1. 旋轮线旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的3x来看动点的慢动作来看动点的慢动作. .42 2a a2 2 a a0yx a ax = a x = a ( (t t sinsint t) )y = a y = a (1(1 coscost t) )t t 的几何意义如图示的几何意
2、义如图示t ta a当当 t t 从从 0 0 2 2 ，x x从从 0 0 2 2 a a即曲线走了一拱即曲线走了一拱a a.参数方程参数方程5toaCAxyMsin(sin )xACOMta ttcos(1cos )yOCOMtat这就是旋轮线的参数方程。这就是旋轮线的参数方程。6将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板2.2. 旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线7.89两个旋轮线形状的挡板两个旋轮线形状的挡板, , 使摆动周期与摆幅完全无关。使摆动周期与摆幅完全无关。在在1717世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称
3、摆线摆线。10B BA A答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题: : 质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A A滑到固定点滑到固定点B B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？3. 3. 旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？11B BA A12B BA A13B BA A滑板的轨道就是这条曲线滑板的轨道就是这条曲线.14xyoaa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑无滑动地滚动，动圆圆周上动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。任一点所
4、画出的曲线。4.4. 心形线心形线( (圆外旋轮线圆外旋轮线) )15xyoa来看动点的慢动作来看动点的慢动作. .a16xyoaa2 2a a来看动点的慢动作来看动点的慢动作.17xyo2 2a aP P r r.r = a r = a (1+cos(1+cos ) )参数方程参数方程18xyoa a4a a a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆滚动，动圆圆周上任一点周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。5.5.星形线星形线( (圆内旋轮线圆内旋轮线) )19xyoa a a a来看动点的慢动作来看动点的慢动作. .20 xyoa a a a来看动点的慢动作来看动点
5、的慢动作.21xyo323232ayx 33sincosayaxa a a a0 0 2 2 极坐标方程为.P P .直角坐标方程为：直角坐标方程为：.22 )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动） 直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹6.6. 圆的渐伸线圆的渐伸线a 参数方程为参数方程为230 xy. .a再看一遍再看一遍242022-5-12可编辑修改250 xy.a260 xy.a27a0 x xMt tt ta aatat( (x,yx,y) ) )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy试由
6、这些关系推出曲线的方程试由这些关系推出曲线的方程.参数方程为参数方程为281. 1. 曲线关于曲线关于 y= x y= x 对称对称2. 2. 曲线有渐进线曲线有渐进线 x+y+a x+y+a = 0= 0分析分析3. 3. 令令 y = t xy = t x, , 得参数式得参数式 1313323 tatytatx-1) ,(- tt , t 当当, 0 t 当当故在原点，曲线自身相交故在原点，曲线自身相交. .,t 由由 当当 ),-(0,0) 动动点点由由,t 由由 当当 (0,0),( 动动点点由由,t 由由 当当(0,0)(0,0) 动动点点由由线线. .依依逆逆时时针针方方向向画画
7、出出叶叶形形)( 00333 aaxyyx7.7.卡儿卡儿形线形线)0 , 0(),( yx)0 , 0(),( yx也也有有4.4.290 xyx+y+a = x+y+a = 0 0曲线关于曲线关于 y= xy= x 对称对称曲线有渐近线曲线有渐近线 x+y+ax+y+a=0=0.30即即0 xya2P P,2 aFF )0 ,( aF )0 ,(aF FF 与到)(2a r cos2222raar cos2222raar 42222222cos4)()(aarar 2cos222ar 02cos )2 ,47()45,43()4, 0( . .)(2)( 222222yxayx 曲线在极点
8、自己相交，与此对应的角度为曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 = =,4 ,43 ,45 47 . . . . .距离之积为距离之积为a a2 2的点的轨迹的点的轨迹直角系方程直角系方程8.8.双双线线310 xya2 2cos222ar .所围面积所围面积4 . )d( rS22a . .由对称性由对称性 dcos a.320r rr r = =a a 曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线9.9. 阿基米德螺线阿基米德螺线330r r.340r
9、 r再看一遍再看一遍请问：动点的轨迹什么样？请问：动点的轨迹什么样？.350r r.360r r.370r rr r = =a a .阿基米德螺线阿基米德螺线38r r这里这里 从从 0 0 + +8 8r r = =a a 02 2 a a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.阿基米德螺线阿基米德螺线390r r8 8当当 从从 0 0 r r = =a a .阿基米德螺线阿基米德螺线40 ar r r0.这里这里 从从 0 0 + +8 8a0lim r 极极点点是是曲曲线线的的渐渐近近点点 sinry sin aay 0lim是是曲曲线线的的渐渐近近线线ay
10、.10 10 双曲螺线双曲螺线41 ar r r0.当当 从从 0 0 8 8a.双曲螺线双曲螺线42xyo例例2 22 2d)cos1(21230 .S =S = =1+cos=1+cos 3 3r r =3cos=3cos 部部分分的的面面积积 共共 分分别别所所围围成成的的图图形形的的公公 及及 求求曲曲线线rr coscos 由由 3cos3cos = =1 1+ +coscos 得交点的坐标得交点的坐标 232dcos29 2 23.43.例例3.3.1 1 部部分分的的面面积积 共共 分分别别所所围围成成的的图图形形的的公公 及及 求求曲曲线线rr cossin2 0 xy令令 c
11、os2cos2 = 0,= 0, k由由 sinsin 0, 0, 联立后得交点坐标联立后得交点坐标, dcos22146 . . .dsin221260 S S = 2= 26 .4 44的的面面积积。部部分分分分割割为为两两部部分分，求求这这两两 被被心心形形线线圆圆 cos11 xyo例例4 41 1 d)cos( s s1 1s s2 2ss ss .s sS =S = =1+cos=1+cos 45求由求由双纽线双纽线0 xyar cos.212 2a . .由对称性由对称性.例例5.5.a a a6 )()(2 2 所围而且在圆周所围而且在圆周 2 2ayxyxayx 内部的面积。内部的面积。双纽线化成极坐标双纽线化成极坐标 a)(令令 r r = 0,= 0, k k, ar令令 dcos221246a S S = = 4 4+ +.4 46472022-5-12可编辑修改48
