1、第五讲二次根式一、二次根式的相关概念1.二次根式:一般地,形如 (_)的式子.2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_.(2)被开方数中不含能开得尽方的_.aa0字母因数或因式二、二次根式的性质两个重要性质两个重要性质( )( )2 2=_(a0).=_(a0). =|a|= =|a|= 积的算术平方根积的算术平方根 =_(a0,b0). =_(a0,b0).商的算术平方根商的算术平方根 = (a0,b0). = (a0,b0).aab2a_(a 0)_(a 0)，aaabab_aba三、二次根式的运算1.二次根式的加减:先将各根式化为_,然后合并被开方数_的二次根式.最简二次根式相同
2、2.二次根式的乘除: =_(a0,b0); =_(a0,b0).abababab3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算_,最后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号).乘除考点一 二次根式有意义的条件【典例1】(1)(2016自贡中考)若代数式 有意义,则x的取值范围是_.(2)(2015攀枝花中考)若y= 则xy=_x 1xx 33 x 2, 【思路点拨】(1)根据二次根式有意义的条件被开方数为非负数及分母不等于零来解答.(2)根据二次根式有意义的条件,解出x的值,再求出y的值,最后求代数式的值.【自主解答】(1)根据二次根式的性质可知:x-10,所以x1,又因为分
3、式的分母不能为0,所以x0,故x的取值范围是x1.答案:x1(2)由题意可知,x-30,且3-x0,x-3=0,解得,x=3,y=2,xy=32=9.答案:9【名师点津】二次根式有无意义的条件需注意的两个问题(1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么它们有意义的条件是:各个二次根式中的被开方数都必须是非负数.(2)如果所给式子中含有分母,则除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不为零.【题组过关】1.(2016宁波中考)使二次根式 有意义的x的取值范围是()A.x1 B.x1 C.x1 D.x1【解析】选D.由题意得,x-10,解得x1.x 12.(2015滨州中考)如果式子 有意义,那么
4、x的取值范围在数轴上表示出来,正确的是()2x 6【解析】选C.若二次根式 有意义,则2x+60,解得x-3,在数轴上时从表示-3的点向右画,且用实心圆点.2x 63.(2014南通中考)若 在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x B.x- C.x D.x 12x 112121212【解析】选C.由题意得 解得x 2x 1 0,2x 1 0, 12考点二 二次根式的性质及其应用【典例2】(1)(2015荆门中考)当1a2时,代数式 +|1-a|的值是()A.-1 B.1 C.2a-3 D.3-2a2a 2(2)(2016自贡中考)若 +b2-4b+4=0,则ab的值等于()A.-2 B
5、.0 C.1 D.2a 1【思路点拨】(1)先应用 =|a|性质化简,再根据a的范围判断a-2与1-a的正负,去绝对值计算.(2)应用二次根式及绝对值的非负性列方程组,求出a,b的值,代入代数式进行计算.2a【自主解答】(1)选B.因为1a2,所以a-20,1-a0.所以原式=2-a+a-1=1.(2)选D.由 +b2-4b+4=0,得a-1=0,b-2=0.解得a=1,b=2.ab=2.a 1【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题(1) (a0)的双重非负性:被开方数a非负; 本身非负.aa(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负数,只有当a取非负
6、数时, =( )2.2a2aaa2aa【题组过关】1.(2016潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a|+ 的结果是()A.-2a+b B.2a-bC.-bD.b2a b【解析】选A.由题干图知:a0,a-b0),利用这两个等式可以化简二次根式.ababaabb(2)运算结果应尽可能化简.在解决实际问题时,二次根式的结果可按要求取近似值(将无理数转化为有理数).(3)在二次根式的运算或化简过程中,乘法公式、因式分解等相关法则、方法均可使用.【题组过关】1.(2016自贡中考)下列根式中,不是最简二次根式的是() 【解析】选B. A. 10 B. 8 C. 6 D. 284
7、2422 2. 2.(2016南充中考)下列计算正确的是()3233A. 122 3 B.22C.xxx D. xx【解析】选A.A、 正确;B、 故此选项错误;C、 故此选项错误;D、 故此选项错误.122 3，3622，3xxx ，2xx，3.(2015凉山州中考)下列根式中,不能与 合并的是()3132A. B. C. D. 12333【解析】选C.A. 是同类二次根式，能与合并；B. 是同类二次根式，能与 合并；C. 不是同类二次根式，不能与 合并；D. 是同类二次根式，能与 合并.13,333与33333，与326333，与3122 33，与34.(2016德州中考)化简 的结果为_
8、.【解析】 答案: 33333333.333335.(2016青岛中考)计算: =_.【解析】 答案:232823284 2 2 22 22.2226.(2016淄博中考)若x=3- ,则代数式x2-6x+9的值为_.【解析】x2-6x+9=(x-3)2,当x=3- 时,原式=(3- -3)2=2.答案:2222【方法技巧】二次根式的混合运算,首先要搞清楚运算的顺序,其次是认真观察式子的结构特点,能利用运算律或公式的,要优先考虑使用运算律或公式,简化运算.在有理数范围内成立的运算律、运算法则、公式及因式分解、约分、通分等方法对二次根式同样适用.7.(2016泰州中考)计算或化简: 【解析】 1
9、112 (32).231112 (32)3 ( 32)3322.23【变式训练】(2015哈尔滨中考)计算 =_.【解析】原式= 答案: 224 3362 6 33 2 666.68.(2015成都中考)计算: -(2015-)0-4cos 45+(-3)2.【解析】原式=2 -1-2 +9=8.822【变式训练】(2015泸州中考)计算: sin 45-20150+2-1.【解析】原式= 821132 212 1.2222 9.(2015黔南州中考)已知:x=2sin 60,先化简 再求它的值.22x2x 11x1x 1，【解析】原式2x 11x 11x.x 1 x 1x 1x 1 x 1x 1x 2sin 603333.23 1，所以原式
