1、19.1数概念与数意识的形成过程数概念与数意识的形成过程u皮亚杰的数概念学习理论：皮亚杰的数概念学习理论： “数数”是异于是异于“物理性知识物理性知识”与社会性知识与社会性知识”的所谓的所谓“逻辑逻辑数学性知识数学性知识”。他把数看做是一种。他把数看做是一种“有序的分有序的分类类”，也就是说，儿童必须能掌握分类和序列性概念的逻，也就是说，儿童必须能掌握分类和序列性概念的逻辑操作才能了解数字。他认为辑操作才能了解数字。他认为“数守恒数守恒”的能力是数学理的能力是数学理解的先决条件，儿童到了六岁半左右才具备这样的能力，解的先决条件，儿童到了六岁半左右才具备这样的能力，如果不具备这样的能力，就不算是
2、对数目有真正的了解，如果不具备这样的能力，就不算是对数目有真正的了解，所谓守恒概念是指物体的数或量不因为位置形状的改变而所谓守恒概念是指物体的数或量不因为位置形状的改变而改变。改变。u盖尔曼的儿童数概念理论盖尔曼的儿童数概念理论盖尔曼将学前儿童数学知识和技巧分成两种形态盖尔曼将学前儿童数学知识和技巧分成两种形态1.数学抽象能力，数学抽象能力是帮助儿童建立数值概念数学抽象能力，数学抽象能力是帮助儿童建立数值概念2数学推理原则，它是帮助儿童对数量做进一步的操作而数学推理原则，它是帮助儿童对数量做进一步的操作而得到有效的推理得到有效的推理29.1.1数概念的特点数概念的特点、外延的扩张性、表征的多样
3、性概念性、过程、模型的现实性数概念的特点43213、模型的现实性1 在所有数学概念中，离学生日常生活最在所有数学概念中，离学生日常生活最近的是数概念和初等几何概念，绝大多数的近的是数概念和初等几何概念，绝大多数的数概念都可以在现实生活中找到模型。数概念都可以在现实生活中找到模型。 正因为大多数的数概念都不贴近人类的正因为大多数的数概念都不贴近人类的生活源泉，因此，在数概念的教学中一般都生活源泉，因此，在数概念的教学中一般都可以借助于实际的情景和活动可以借助于实际的情景和活动4概念性、过程2数概念是一个典型的过程性概念，也就是说它即使概念是一个典型的过程性概念，也就是说它即使过程又是概念。数概念
4、的这种两重性一方面增加了过程又是概念。数概念的这种两重性一方面增加了概念的内涵，另一方面也为教学提供了一种层次，概念的内涵，另一方面也为教学提供了一种层次，使学生在具体操作的基础上，经过压缩和内化，逐使学生在具体操作的基础上，经过压缩和内化，逐步形成作为对象的概念，并纳入了已有的认知结构。步形成作为对象的概念，并纳入了已有的认知结构。过程概念的显著特点是要经历一个从过程压缩为对过程概念的显著特点是要经历一个从过程压缩为对象的抽象过程，因此，与初等几何概念不同的是，象的抽象过程，因此，与初等几何概念不同的是，数概念的显著特点是要经历一个从过程压缩为对象数概念的显著特点是要经历一个从过程压缩为对象
5、的抽象过程，因此，教学中虽然可以借助实际的模的抽象过程，因此，教学中虽然可以借助实际的模型操作，但又不能停留于具体的过程型操作，但又不能停留于具体的过程53表征的多样性例 0.5的表达表征方式的多样性一方面可以为问题解决带来灵活性，但另一方面也容易造成理解上的混淆与误解。研究表明，对数概念符号的多重意义的认识是帮助学生形成数学能力的一部分，因此如何帮助学生发展数学符号与过程的意义是数学教育家目前最重要的课题之一6外延的扩张外延的扩张在中小学数学课程中，数概念是一个典型的外延型在中小学数学课程中，数概念是一个典型的外延型概念，而且其外延经过了多次的扩张。从逻辑上看，概念，而且其外延经过了多次的扩
6、张。从逻辑上看，数系的扩张有两条主要的途径：数系的扩张有两条主要的途径：1、通过添加新的元素，如在正整数集合中加入数、通过添加新的元素，如在正整数集合中加入数“0”就得到了自然数，从而使得两个相同的数可以就得到了自然数，从而使得两个相同的数可以相减；在自然数中加入负数就得到了全体整数相减；在自然数中加入负数就得到了全体整数2、等式抽象方法。这种方法的优势是能够揭示数、等式抽象方法。这种方法的优势是能够揭示数概念的本质属性，如从中可以看到，自然数看扩张概念的本质属性，如从中可以看到，自然数看扩张为整数的目的是现实加法的对称化，整数向有理数为整数的目的是现实加法的对称化，整数向有理数的扩张可以现实
7、乘法的对称化，而有理数向实数的的扩张可以现实乘法的对称化，而有理数向实数的扩张则是为了连续化。扩张则是为了连续化。79.1.2数概念的形成数概念的形成从数系的角度看，数概念包括自然数、整数、有理数和复数。从数系的角度看，数概念包括自然数、整数、有理数和复数。从学习心理的研究来看，主要集中在有理数，特别是自然数上，从学习心理的研究来看，主要集中在有理数，特别是自然数上，但是对虚数和无理数的研究寥寥无几。但是对虚数和无理数的研究寥寥无几。有理数概念是学生在小学阶段遇到的最重要且最复杂的概念之有理数概念是学生在小学阶段遇到的最重要且最复杂的概念之一，其重要性从以下几方面看出：一，其重要性从以下几方面
8、看出：1、实践角度，能有效的处理这些概念将大大的改进儿童理解、实践角度，能有效的处理这些概念将大大的改进儿童理解和把握现实世界中的情况和问题能力和把握现实世界中的情况和问题能力2、心理学角度，有理数概念为儿童提供一个丰富的领域，使、心理学角度，有理数概念为儿童提供一个丰富的领域，使他们能够形成和扩张今后智力发展所必须的智力结构他们能够形成和扩张今后智力发展所必须的智力结构3、数学角度，有理数的概念掌握以后为以后初等代数计算提、数学角度，有理数的概念掌握以后为以后初等代数计算提供了可靠的基础供了可靠的基础8自然数皮亚杰数守恒概念的特点皮亚杰数守恒概念的特点1、相互性：某部分增加了就会抵消另一减少
9、、相互性：某部分增加了就会抵消另一减少的部分，二者之间具有补偿性用。的部分，二者之间具有补偿性用。2、同一性：自始至终设计同样的数与量，没、同一性：自始至终设计同样的数与量，没有加多也没有拿走任何东西有加多也没有拿走任何东西3、逆反性：某一改变状态可以在心里以同等、逆反性：某一改变状态可以在心里以同等但反向的旋转被逆反回到原来状态但反向的旋转被逆反回到原来状态9皮亚杰的儿童对数概念的认识三个发展阶段皮亚杰的儿童对数概念的认识三个发展阶段第一阶段（第一阶段（4-5岁）是对数概念无法理解的阶段，岁）是对数概念无法理解的阶段，无法运用一对一的对应关系去建构两组有同样数目无法运用一对一的对应关系去建构
10、两组有同样数目的实物。的实物。第二阶段（第二阶段（5-6岁）是过度时期，会运用一对一对岁）是过度时期，会运用一对一对应关系建构同等数，但对于一对一关系不是充分理应关系建构同等数，但对于一对一关系不是充分理解解第三阶段（第三阶段（6岁半以后）是对数概念能真正理解的岁半以后）是对数概念能真正理解的阶段，儿童已能用各种方法建构同等性，例如用数阶段，儿童已能用各种方法建构同等性，例如用数的，或用一一对应的方式，并且也能理解守恒概念。的，或用一一对应的方式，并且也能理解守恒概念。不管外观安排如何变化，都不会影响其对同等性的不管外观安排如何变化，都不会影响其对同等性的判断判断10盖尔曼和盖尔里斯特的计数原
11、则（1）一对一原则：计数时要遵循）一对一原则：计数时要遵循“区分区分”和和“标记标记”这两个过这两个过程。也就是集合中的每一个项目只能有一个数字标记，且标记程。也就是集合中的每一个项目只能有一个数字标记，且标记不能重复。不能重复。（2）规定顺序原则：在每一次在计数时，计数的）规定顺序原则：在每一次在计数时，计数的“标记标记”必须必须是遵循同样顺序，也就是在序列中出现的次序是固定的是遵循同样顺序，也就是在序列中出现的次序是固定的（3）基数原则：计数集合中最后一个项目的标记，即代表此事）基数原则：计数集合中最后一个项目的标记，即代表此事物的项目总数物的项目总数（4）抽象原则：指以上三原则均可适用于
12、任何可数的事物，即）抽象原则：指以上三原则均可适用于任何可数的事物，即任何东西皆可拿来数，具体的椅子或抽象的心灵都可数任何东西皆可拿来数，具体的椅子或抽象的心灵都可数（5）次序无关原则：只要遵守其他计数原则，集合中的项目无）次序无关原则：只要遵守其他计数原则，集合中的项目无论从哪一个开始数起，并不影响其结果论从哪一个开始数起，并不影响其结果 上述五项原则，强调计数现象，但这并不意味着儿童能上述五项原则，强调计数现象，但这并不意味着儿童能“明明确且系统确且系统”的完成不同种的作业，这些能力的实际表现会逐渐的完成不同种的作业，这些能力的实际表现会逐渐统和而稳定。统和而稳定。11斯蒂夫等人对儿童数数
13、的发展六个阶段（1）数序。儿童将个数由1开始依序念出，但是不知其意义。这是一种机械记忆（2）以知觉单位为计数对象。儿童开始会数东西时只能数知觉单位（3）以心像单位为计数对象。以心中想象的东西作为数数的对象，称为心像单位。（4）以动作单位为计数对象。不数想象中的东西，而是数自己的动作（5）以语言单位为计数对象。本阶段的数数行为必须有意识地控制念数字之间开始与结束的时机（6）以抽象单位为计数对象。知道一个数字代表一个集合的数12位值从从20世纪世纪70年代位值概念就一直是数学教育心理学年代位值概念就一直是数学教育心理学的一个研究热点，其中的一些重要成果：的一个研究热点，其中的一些重要成果：l贝德纳
14、兹、詹妮弗的研究发现（贝德纳兹、詹妮弗的研究发现（1）学生把）学生把“个、个、十、百十、百”的位值含义更多的根据位值顺序来理解的位值含义更多的根据位值顺序来理解（2）学生把借位的含义解释为）学生把借位的含义解释为“删去一个数位删去一个数位u，拿走一个，在下一个数位上加一拿走一个，在下一个数位上加一”l整数和小数之间的位值联系对学习是有利的，但是整数和小数之间的位值联系对学习是有利的，但是儿童通常只注意整数方面而未能适应小数方面儿童通常只注意整数方面而未能适应小数方面l对位值缺乏理解的学生在理解小数时有一段困难时对位值缺乏理解的学生在理解小数时有一段困难时期期l有色的筹码是金钱经常被用来作为表示
15、位值概念和有色的筹码是金钱经常被用来作为表示位值概念和运算的操作工具，但是他们却增加了已知的复杂性运算的操作工具，但是他们却增加了已知的复杂性l学生学习位值概念时产生错误的主要原因是英语中学生学习位值概念时产生错误的主要原因是英语中位值系统的语言复杂性位值系统的语言复杂性13为了减少位值概念的教学困难，一些教学辅为了减少位值概念的教学困难，一些教学辅助工具便应运而生，最为著名的是狄恩斯助工具便应运而生，最为著名的是狄恩斯的的“狄氏多层算术积木狄氏多层算术积木”，他提出了下列，他提出了下列四项原则：四项原则：活动原则：教儿童玩积木时，首先就该任活动原则：教儿童玩积木时，首先就该任其自由的玩耍积木
16、，让他们了解积木的意其自由的玩耍积木，让他们了解积木的意义义活动原则：活动原则：数学变化原则。数学变量的变换情况并不数学变化原则。数学变量的变换情况并不影响变量之间的一些恒定影响变量之间的一些恒定直觉变异原则：数学概念结构不会因为知直觉变异原则：数学概念结构不会因为知觉受体的改变而改变觉受体的改变而改变149.1.2.3分数图形中整体的一部分图形中整体的一部分子集子集集合关系集合关系除法中等分除的商除法中等分除的商小数小数数轴上的一点数轴上的一点比比 作为数学概念的分数，由于表征形式的不同，作为数学概念的分数，由于表征形式的不同，而产生了多种意义，包括：而产生了多种意义，包括：15 莱什等人进
17、一步从有理数的子结构的角度深入讨莱什等人进一步从有理数的子结构的角度深入讨论了分数的意义，除了上述六种意义外，他们还讨论了分数的意义，除了上述六种意义外，他们还讨论了分数作为论了分数作为“算子算子”的意义，把分数看做是一个的意义，把分数看做是一个变换，给出了各种意义之间的关系（下页）变换，给出了各种意义之间的关系（下页）由图可见：由图可见：1.拆分和部分整体的子结构是其他子结构的基础拆分和部分整体的子结构是其他子结构的基础2.子结构中的比是促成掌握等价概念的中介子结构中的比是促成掌握等价概念的中介3.算子和度量子结构在加法和乘法理解中具有重要算子和度量子结构在加法和乘法理解中具有重要的意义的意
18、义由于分数具有多重的意义，而且这些意义之间具有由于分数具有多重的意义，而且这些意义之间具有一定的层次性，因此，儿童分数的形成不是一个简一定的层次性，因此，儿童分数的形成不是一个简单的过程单的过程16拆分和部分整数拆分和部分整数比比算子算子商商度量度量等价等价乘法乘法解决问题解决问题加法加法分数意义关系网分数意义关系网17皮亚杰对皮亚杰对3-8岁儿童的分数概念发展过程：岁儿童的分数概念发展过程：1. 4岁岁4岁半儿童对于将一个物品分为两半非常岁半儿童对于将一个物品分为两半非常困难，在分割之前没有预想的计划或图示困难，在分割之前没有预想的计划或图示2.4岁岁6岁儿童对于规则的、小范围的东西有分岁儿
19、童对于规则的、小范围的东西有分为两半的能力，如果整体增加，分成一半迟缓为两半的能力，如果整体增加，分成一半迟缓3.6岁岁7岁能过成功的实施三等分，不必利用试岁能过成功的实施三等分，不必利用试误的方法误的方法4.10岁左右儿童能实施六等分，首先是以三等分法岁左右儿童能实施六等分，首先是以三等分法分一个饼，然后三块饼进行二等分分一个饼，然后三块饼进行二等分18赫伯特和特尼森研究58岁分数概念发展情形改成长度模式为伯特尔和萨瓦达发现，儿童处理等分长方形或圆形区域，其分数概念的发展顺序为61513141216151413121151915131814121、19哈特分数概念理解的层次u能用部分全体来表
20、示 的分数意义u能利用子集集合来表示分数（ ）u能利用等值分数写出分数符号或图标u能解决需要不止一个运算的分数问题3221、623120分数概念形成过程之中，有四个关键因素u对单位量的认知。处理分数问题最重要的一个概念就是单位量的确认u具有等分割的概念，处理分数问题的另一个重要的概念就是一个可以除尽的全体u理解部分与整体之间的关系u确认单位分量（数）21小数和分数异同的比较小数和分数异同的比较小数知识（真）分数知识类似（）不同（）A.小数的值1.在0和1之间表达一个值2.整数被分成很多较小的等分3.在0和1之间有无限个小数存在B小数符号1.一个单位被分成几个的数隐含在数字的位置中2.有多少等份
21、表示在小数的量中3.整数仅可被分成10的幂次方A.分数的值1.在0和1之间表达一个值2.整数被分成很多较小的等分3.在0和1之间有无限个小数存在B分数符号1.一个单位被等分成由分母明确界定的2.有多少等份表示在分数的分子中3.整数可被分成任一个等份的数（）（）（）（ ）（ ）（ ）22小数和整数知识的比较小数和整数知识的比较小数知识整数知识类似（）不同（）A.数值1.数字从5到右时，值会变小2.左边数字是右边相同数字的10倍3.“0”有位值的意义4.一个数的右边增加“0”时，其值不变5.从小数点开始往右其值递减B数位1.小数点以后名称按数字次序读出2.小数部分从十分位开始3.位名顺序是从左到右
22、4.读数字的顺序是十分位，百分位，千分位，-C读法小数点左边整数部分按照整数读法，右边的数字依数字次序读出A.数值1.数字从5到右时，值会变小2.左边数字是右边相同数字的10倍3.“0”有位值的意义4.一个数的左边增加“0”时，其值不变5.从小数点开始往左其值递减B数位1.没有小数点以后的数字2. 从个分位开始3.位名顺序是从右到左4.读数字的顺序是千分位，百分位，十分位，-C读法依整数十进制结构读出（）（）（）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）23小数概念的形成形成两条基本途径 :1.通过分数的“部分与整体”关系，或者利用整数的位值概念2.一位小数是记录十分之几的分量，两位小数是记录百分之
23、几的分量24从整数的位值概念来看小数概念的形成从整数的位值概念来看小数概念的形成u位值彼此之间关系以位值彼此之间关系以10为基底的指数形式表示出为基底的指数形式表示出位名位名 -千位千位 百位百位 十位十位 个位个位位值位值 -数字数字 - u为了使个位也能无限制地向右延伸过去，可将指数范围扩为了使个位也能无限制地向右延伸过去，可将指数范围扩大至负整数大至负整数;利用往左扩展一位是乘以利用往左扩展一位是乘以10的结果，因此往右的结果，因此往右扩展一位除以扩展一位除以10的结果，有了新符号（小数符号）及新位的结果，有了新符号（小数符号）及新位名的产生：名的产生： 指数指数 小数小数 新位名新位名
24、 =0.1 十分位十分位 =0.2 百分位百分位 -310210110010a3a1a2a01-102 -10251989年的数学课程与评价标准1.能了解数的基本意义2.能探索数字之间的多重关系3.能了解数字的相对大小关系4.能了解运算对数字的影响5.能发展参考物参考物来测量一般的物体2000年的数学课程与评价标准1.能了解数字及其表征的方法、数字之间的关系和数字系统2.了解运算的意义以及运算之间的关联性3。流利的计算并做合理的估计9.1.3数意识形成与发展数意识形成与发展数意识的解释，目前并不统一，几种代表性的说法数意识的解释，目前并不统一，几种代表性的说法26汤普森和瑞特梅尔（数意识分成四
25、种成分）1.能了解数字的意义与关系2.能了解数字的相对大小3能了解运算对数字的影响4.能了解如何使用参考点于日常生活情景麦克英特（数意识包涵的六种能力）1.了解数字的意义与大小的能力2.了解并使用等值形式及表征数字能力3.了解运算的意义和影响的能力4.了解并善用等值形式解题的能力5.发展计算和数数策略的能力6.运用参考点的能力肖德恩数意识包含九种成分1.数字的分解与组合2.辨认数字相对大小的能力3.处理数字绝对大小的能力4.使用参考点的能力5.以有意义的方式连接数字、运算及相关符号的能力6.了解运算对数字的影响7.以创新的方式进行心算，使运算更为方便的能力8.发展估算的能力，并指导何时估算是适
26、当的9.使数字意义化的能力279.2运算、估算技能与算法思想的形成运算、估算技能与算法思想的形成9.2.1 整数加减法的研究运算技能的形成 乘除法的研究 分数与小数的运算u加减法的研究斯塔奇和格尔曼学前儿童也能理解将元素并入或移出集合的效应有关加减运算问题的基础知识是所谓的部总知识1.部分和总体之间的运算关系知识2.加法交换律知识3.加法和减法互补关系知识28格里尔的教学主张1.算术运算教学应该关联到广泛情景2.重视儿童非形式的求解方法菲斯宾等人的研究主张每一个算术基本运算，一般都结合着一个隐藏的潜意识的、原始的直观模式。当解一个含有两项数值资料的应用问题时，对运算的选择并非直接发生，通过一个
27、中介模式发生，且这个模式会对选择过程加以一些限制u乘除法的研究u小数与分数的运算小数与分数的运算塔特苏特分数加法错误类型1.带分数转换假分数的错误2.整数转换为等值分数的错误3.通分时转换等值分数的错误4.求公分母的错误5.加法程序的错误6.不会化简或约分派特尔1.分子加分子，分母加分母2.求出公分母后放在分母。而分子为原分子相加3.分母相乘，分子相加4.分母相乘，分子相乘299.2.2估算技能的形成u强调估算技能的原因 与数学应用有关、源于对数意识的重视u一个好的估算着至少应有的素质l重组：改变数字数据以方便心算l转换：把原有的结构转成更易处理的形式l调节：计算中及后，可调节估算值至接近的近
28、似值u估算技能与心算技能密切相关，重视心算技能培养的原因 1.心算是大多数人运用的主要的计算方式 2.在大多数情况下，心算是最简单易行的 3.做心算有利于对数的特性的理解 4.心算过程本身就是一种创造性的问题解决活动309.2.3算法思想的初步形成算法思想的初步形成u算法的一般要求可以归纳为：算法的一般要求可以归纳为： 算法的可行性、确定性、有穷性、有效性、普算法的可行性、确定性、有穷性、有效性、普遍性遍性 在小学阶段学在小学阶段学习算法的思想习算法的思想1.在世界范围内，算法都是小学数学课程的传统内容2.算法可以有效的解决一类问题3算法是一种经过压缩的、一般化的解题课程4算法是自动化的5.算
29、法是目标指向的6.算法可以为计算过程提供书面的记录7.算法是可教的8.对于教师来说，算法易于处理与评价31算法程序过早教学有一些不利因素l算法程序常常与人们的习惯思维不一致l算法的运算会诱使学生放弃他们自己的想法l算法不利于数意识的形成l算法使学生习惯于依赖数字的空间排列l算法会使学生盲目接受运算的结果l在实际生活中，书面算法很少使用329.3算术中的问题解决算术中的问题解决u在探讨小学生解决算术问题方面三种研究方法：在探讨小学生解决算术问题方面三种研究方法： 个别交谈、反应潜伏期、用手指和客观直接模个别交谈、反应潜伏期、用手指和客观直接模仿，或直接回忆加法表仿，或直接回忆加法表9.3.1算术
30、问题的基本类型及其解题策略算术问题的基本类型及其解题策略 1.加减法应用题的基本类型加减法应用题的基本类型 2.乘除法应用题的基本类型乘除法应用题的基本类型 乘：大小改变、交叉运算、比例因子乘：大小改变、交叉运算、比例因子 除：求同单位量之间的比率、求异单位量之间的除：求同单位量之间的比率、求异单位量之间的比率、除数为异单位量之间比率的除法、除数为大小改变因比率、除数为异单位量之间比率的除法、除数为大小改变因子的乘法、求反因子子的乘法、求反因子 四则运算的统一分类：如马绍尔将算术文字题分四则运算的统一分类：如马绍尔将算术文字题分为五个类型：改变、重组、比较、重复、变化为五个类型：改变、重组、比
31、较、重复、变化339.3.2算术问题的难度分析算术问题的难度分析影响算术问题难度的主要因素：影响算术问题难度的主要因素： 1、未知数的位置、未知数的位置 ：在：在“改变改变”类型中，类型中，不管是添加型或拿走行，未知数所在的位置越在前不管是添加型或拿走行，未知数所在的位置越在前面，难度越高。是由于语意结构与儿童解题的策略面，难度越高。是由于语意结构与儿童解题的策略产生冲突产生冲突 2、语言的表述：解题的难度受题目中的、语言的表述：解题的难度受题目中的叙述语的不一致性的影响叙述语的不一致性的影响 3、数字的形式：对于乘法应用题来说，、数字的形式：对于乘法应用题来说，问题类型对学生的影响不大，数字
32、形式才是关键问题类型对学生的影响不大，数字形式才是关键 4、问题的结构、问题的结构 ：学生在解决除法问题：学生在解决除法问题时往往会形成时往往会形成“等分模式等分模式”的思维定势的思维定势 5、 单位的变化单位的变化 6、问题的表征、问题的表征349.4数与运算的教学数与运算的教学9.4.1数与运算教学的认知分析数与运算教学的认知分析u9.4.1.1认知层次认知层次基伦分数概念学习5个连续层面1.把分数作为整体的一部分2.对一个事先分成若干的整体，通过数其中一部分的份数而得到分数3.把整体平均分成若干，对整体的份数和部分的份数分别进行计算4.通过数“份数”对两个同分母分数求和5.根据分数加法原
33、理，对两个异分母分数求和哈特从位值研究小数6个认知层面1.千位数以内的位值概念2.一位小数3.二三位小数4.与左边的位值关系5.更复杂的位值关系6.从除的结果发展到小数之间的小数有无限多个德恩特蒙特小数学习的五个层面1.具体物的层次2.操作说明的层次3.程序的层次4.心智模式层次5抽象的层次35u9.4.1.2难点解析难点解析u小学的教学与有理数概念有关小学的教学与有理数概念有关 多数发展都产生于重要的认知改组的初期多数发展都产生于重要的认知改组的初期 重要的质变发生在那些用来描述这些结构并使其模型化的表征重要的质变发生在那些用来描述这些结构并使其模型化的表征系统中系统中 表征系统的作用是迥异
34、不同的表征系统的作用是迥异不同的 有理数概念包含了一大套整合了得子结构和加工过程有理数概念包含了一大套整合了得子结构和加工过程u有理数概念的教学难点主要集中在小数和分数上有理数概念的教学难点主要集中在小数和分数上 计数系统知识、运算规则知识、数量表示的知识计数系统知识、运算规则知识、数量表示的知识u整数的减法和带余除法的困难（例哈特等人的研究）整数的减法和带余除法的困难（例哈特等人的研究） 学生在标小数点上有难度例学生在标小数点上有难度例2.3*10=2.30 学生容易产生学生容易产生“乘法使结果变大乘法使结果变大”“”“除法使结果变小除法使结果变小”的的 想法想法 学生缺少小数的稠密性概念学
35、生缺少小数的稠密性概念 缺乏位值概念，比较大小有困难缺乏位值概念，比较大小有困难369.4.1.3概念误解概念误解u数与运算部分中分数概念的误解大体以下三方面：数与运算部分中分数概念的误解大体以下三方面： 单位量问题、等分观念的错差、受整数图示的影响单位量问题、等分观念的错差、受整数图示的影响u小数概念方面小数运算过程中三个关键点：小数概念方面小数运算过程中三个关键点： 如何将运用问题或横式问题改为竖式计算如何将运用问题或横式问题改为竖式计算 计算数值的答案计算数值的答案 决定小数点的位值决定小数点的位值u乘除法的学习中学生容易产生的各种错误：乘除法的学习中学生容易产生的各种错误： 1以为要使
36、结果变小就用除法以为要使结果变小就用除法2相信乘数越大、积就越大相信乘数越大、积就越大 3.习惯用大数除以小数习惯用大数除以小数 4.等分除与包含除混淆等分除与包含除混淆 5.会以表面线索来解题会以表面线索来解题 6.不考虑包含除的余数不考虑包含除的余数 7.以为除法就是等分除以为除法就是等分除 8.“几个几几个几”与与“几的倍数几的倍数”混淆混淆379.4.2有关数与运算教学的几点建议有关数与运算教学的几点建议u数与运算的教学几点建议数与运算的教学几点建议 提倡算法的多样化提倡算法的多样化 既注重句法规则，又关注语义分析既注重句法规则，又关注语义分析 要合理的使用教学模型要合理的使用教学模型 要关注表象操作层面要关注表象操作层面389.5研究展望1.小学生解决算术问题有什么特点？2.中国学生是如何学习数与运算的？3.位值概念对数与运算的学习有什么重要意义？4.估算技能与运算技能在形成的机制上有什么不同？5.计算机的使用对学生的运算技能和估算技能有什么影响？
